CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l4l

valeur commune de N), No, N;j esL donc une quantité positive p^ que l'on d^^^^Xc pression au point M.

Cette quantité p est uae fonction uniforme des coordonnées x^ y, z du point M. Sur tout élément d^ passant par M s'exerce un efiforl qui est une pression normale/? c/t.

D'après cela, dans un fluide en équilibre, la quadrique directrice et l'ellipsoïde des efforts sont, en chaque point, des sphères : toutes les directions, autour de chaque point, sont principales.

Si l'on prend comme unité de force le kilogramme-force et comme unité de longueur le mètre, /> est la pression rapportée au mètre carré évaluée en kilogrammes : on peut dire aussi que, dans ce système, la valeur numérique de p est la hauteur en millimètres d'une colonne d'eau ayant pour base i'"'' et pour poids p kilogrammes; cela tient à ce qu'une colonne d'eau d'une hauteur de i"™, ayant pour base i°'i, pèse i^^.

624. Équations d'équilibre d'un fluide. — Soient, comme dans le Chapitre précédent, X, Y, Z les projections des forces, rapportées à l'unité de masse, agissant sur les éléments de volume du fluide; p la densité du fluide : les équations générales du n° 616, dans lesquelles on fait

pZ.

Telles sont les éc|uations d'équilibre des fluides. Dans ces équations X, Y, Z, p et p sont des fonctions uniformes et finies de x, y, z dans toute l'étendue du fluide en équilibre. La fonction p est assujettie à être continue en tous les points du fluide, puisque ses dérivées partielles sont finies, d'après les équations (i) ; en outre, cette fonction doit reslev positive ou nulle dans le fluide. La densité p est également positive, mais peut être discontinue.

Les équations d'équilibre (i) s'appliquent à tous les fluides quelque visqueux qu'ils soient : c'est seulement en Hydrodynamique que la viscosité modifie les phénomènes.

Lquation unique d'équilibre. Interprétation géométrique . — Soient M un point (^, j', z) de la masse fluide et M' (a; -1- dx, y -i- dy., z -\- dz)

deviennent

dy '

dp

dz

l42 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

un poinl quelconque infiniment voisin. Ajoutons les équations (i) après les avoir multipliées respectivement par dx^ dy^ dz] nous aurons, en désignant par dp la différentielle totale de /?,

(2) dp = 0 ( X dx -^Xdy — Zdz).

Cette équation ajant lieu, quels que soient dx, dy, dz, résume les trois équations (i). Elle a une signification simple. Soit F la force, rapportée à l'unité de masse, agissant en M, l'équation (2) signifie que la différence, dp, des pressions aux points infiniment voisins jM et M', est égale au produit de la densité 0 au point M par la quantité

F.MÂFcosF.MM',

analogue à un travail. On peut dire aussi que la dérivée de la pression dans une direction donnée MM', vyvp' est égale à la densité en M multipliée par la projection de la force F sur MM'

(3) j^, =pFcosFrMM'.

Cette équation donne la condition d'équilibre indépendamment de tout système de coordonnées. On en déduit les équations d'équilibre des fluides dans un système quelconque de coordonnées : il suffit, pour cela, de traduire la condition (3) dans le système adopté.

Cas d'une fonction de forces. — Dans le cas particulier où les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction V(x, y, z), on a

X dx -T- Y dy -i-Z dz ^ dU .

et l'équation d'équilibre s'écrit

dp = p dlj.

La variation infiniment petite de la pression quand on passe de M en M', est égale à la densité multipliée par la variation infiniment petite de la fonction des forces.

62.^. Application du principe du travail virtuel. — La grange a montré, dans la Mécanique analytique, que le iJi'incipe du travail virtuel permet d'établir les équations de l'Hydrostatique. Nous renverrons pour la discussion de celte démonstration à un Mémoire de ]\I. Duliem (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IV).