P : Q :: CH : CG

et , réciproquement, Téquilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par conséquent, en appelant p et q les perpendiculaires CG et CH , 1 équation d*équâibre sera

Pp = qq.

Oa appelle ikoment dune force par rapport à un points le prodoil de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa difection; Ainsi , la condition d'équilibre dans le levier consiste en ce que les momensde la puissance et de la résistance, pris par rapport au point d'appui , sont égaux ; ces deux forces tendant d'aiUeurs à ÙLire tourner le levier en sens opposa.

Si Ton suppose les droites CG et CH liées inva^ riablement au levier, on pourra prendre G et H pour les points d'application des forces P et Q , et remplacer le levier de fîgure quelconque ECF par le levier coudé' GCH (fîg. ii)« Les perpendiculaires CG et CH s'appellent les brcis de leuierj de la puis* sauce et de la résistance. La condition de l'équilibre ne dépend pas de la grandeur de l'angle GCH ; et c'est aussi ce que l'on peut voir à priori.

En effet , si du point C et d'un rayon CH on décrit l'arc de cercle HH^, qu'on le suppose lié invariablement au levier , et qu'on applique au point H^ deux forces égales à Q, agissant en sens contraires, suivant les parties H'B' et H'B' de la tabgente en ce point, il est évident que la force Q, dirigée sni-

76 TRAITÉ DE MÉCAIïIQUE.

vant H'B", sera détruite par la force Q dirigée suivant HB ; car ces deux forces tendent à faire tourner le système en des sens opposés/ et il n'y aurait pas de raison pour qu'il obéit plutôt à Tune qu'à l'autre. La seconde de ces deux forces se trouvera donc remplacée par la force Q dirigée suivant H'B', et l'angle GCH sera changé dans l'angle GCH'^ plus grand ou plus petit ^ sans que l'équilibre soit troublé.

Far ce changement^ l'angle des deux bras du levier pourra devenir iSo** ou zéro; alors le levier sera droit ; )â puissance et la résistance seront des forces parallèles dirigées dans le même sens ou en sens contraires; et, pour l'équilibre, il faudra toujours que leurs intensités soient en raison inverse des longueurs de leurs bras de levier.

45. Si l'on appelle R la résultante des deux forces P et Q concourantes au point M (fig. 10), et itz l'angle AMB compris entre leurs directions, on aura (n° 29)

R» = P»+Q*+2PQcosm;

et la valeur de R fera connaître la charge que le point d'appui C aura à supporter dans l'état d'équilibre. Appliquée en ce point, la force R aura pour direction la droite CD, prolongement de MC. La fi*gure 10 suppose le point C situé entre les points d'application E et F de la puissance et de la résis-^ tance. Le contraire a lieu dans la figure 12; mais les raisonnemens qu'on vient de faire s'appliquent à ces deux cas : ils différent l'un de l'autre en ce que, dans le premier cas, les forces P et Q agissent de deux côtés difTérens du levier, et l'angle AMB est aigu, ai^

Jieu que; dans le second cas, elles agissent d'un même côté , et l'angle AMB est obtas.

Lies trois points E, F, C^ restant les mêmes, si le point de concours M des trois forces P, Q, R, s'éloigne à rinfini , ces forces deviendront paraUèles. I>ans le cas de la figure 10, Tangle m devient alors infiniment petit; on a costtz = 1, et conséquemment

I>ans le second cas, c'est le supplément de l'angle m qui devient infiniment petit; on a. donc cos m = — I , et

en supposant P < Q, Par conséquent, la résultante de deux forces parallèles est égale à leur somme ou à leur difiérence , selon que ces forces agissent dans le même sens ou en sens opposés; et quand leurs directions sont contraires, la résultante agit dans le sens de la plus grande. Dans ces deux cas, les' composantes P et Q sont en raison inverse de leurs distances CG et CH à la résultante.

Cela étant, si l'on mène une perpendiculaire commune aux trois forces parallèles, et qu'on appelle a la partie GH de cette droite (fig. i5 et 14 j comprise entre les deux composantes P et Q , et ^ la distance CH de la résultante R à la composante Q qu'on suppose la plus grande, on aura

P : Q :: jc : û q= ^,

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur.

selon que P et Q agiront dans le même seiis (fig. 1 5)

ou en sens cootraîres (fîg. i4)' On -ea dédtiH

P : Q ± P :: jc : a,

et, par ooméquent^

ce qui fera connaître la position de la résultante, dont la valeur sera en même temps Q zb P.

44- Lorsque les forces P et Q agissent en sens contraires, et qu'elles différent très peu Inné de l'autre, leur résultante, toujours dirigée dans le sens de la plus grande, se trouvera située à une très grande distance des forces données. Mais quand elles seront rigoureusement égales, cette distance deviendra infinie ; ce qui signifie que deux forces égales , parallèles et agissant en sens opposés, ne peuvent être remplacées par une senle force j et, en effet, il n'y aurait aucune raison pour que cette force unique agit plutôt dans un sens que dans l'autre.

Deux semblables forces agissant aux extrémité d'une droite GH (fig. i5), feront tourner cette ligne autour de son milieu K; effet qui, évidemment, ne saurait être produit par l'action d'une seule force. On -peut les remplacer d'une infinité de manières différentes par deux autres forces qui tombent dans le même cas j car on ne changera rien à leur action en appliquant, par exemple, aux points G et H, suivant les prolongemens GE et HF de la droite GH, des forces égales et de grandeur quelconque ; or, la résultante des forces dirigées suivant GA et GE, et celle

-des forces dirigées suivant HB et HF^ seront encore des foMes égales » parallèles et dirigées en sens opposes , suivant des di'oites GC et HD , et ces résultantes remplaceront les forces primitives qui agissaient solvant G A et HB. Si l'on appelle Pia grandeur com- Tanne de ces de«ix foix^es , et a leur distance mutuelle, l'une et l'autre de ces deux quantités changeront par l'opération que nous Indiquons; «nais leur produit aV demeurera constant , ainsi qu'oie le prouvera tout à l'heure.

45. Au reste, ce cas particulier est le seul dans lequel «m système d'un nombre quelconque de forces P, P\ f, etc. , comprises dans tin même plan et agissant sur des pomts matériels liés entre eux d une manière mrmmble , ne puisse pas se réduire à une seule fonce. En effet, soit que les deux forces P et P' concourent en tm point, ou quelles soie^it parallèles, on les rédaira à une seule force Q, par ]a règle du parallélogramme des forces , ou par celle du numéro précédent. On léduira de même à une seule force Q', ^sette première résultante Q et ¥"; pais à une seule force Q*, la seconde résultante Q' etP"'; et ainsi de mate y jusqu'à ce qu'on ait réduit toutes les forces données à deux seulement , qui se réduiront étles^mêmes à une seule force R , à moins qu'elles ne tombent dans le cas d'exception dont il s'agit.

Dans le cas général , cette force R est la résultante des forces données P, P, P*, etc. ; et si Ton joint aux composauftes une force R' égale et cofiFtraire à R, Il y aura équilibre dans le systèute. La grandeur de R et sa position dans le plan des forces données ne dé-

8o TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

pendra nullement de l'ordre dans lequel on aura pris ces forces dans les réductions successives qu'on yîent d'indiquer; car^ en changeant cet ordre» si l'on parvenait à une force S différente de R en grandeur ou en direction » il fjpiudrait que l'une de ces deux forces prise en sens contraire fit équilibre à l'autre; ce qui serait impossible.

Pour l'équilibre des forces P, P', P*, etc. , quand elles seront appliquées à un levier situé dans leur plan» il faudra d'abord qu'elles se réduisent à une seule force ; car si elles se réduisaient à deux forces parallèles S et S' non réductibles à une seule , et que S' fut la plus rapprochée du point d'appui » on pourrait décomposer S' en deux forces Q et Q', parallèles et agissant dans le même sens» dont la première serait directement opposée à S et la seconde passerait par le point d'appui : ces deux composantes seraient l'une et l'autre moindres que S' ou S» la force Q' serait détruite» et il ne resterait qu'une foi^ce S— -Q» qui ferait tourner le levier dans le sens de S. Les forces données étant réduites à une force unique R» il fau*dra » en outre » pour l'équilibre du levier» que cette force vienne passer par son point d'appui. Cette con*dition s'exprimera par une équation» au moyen du théorème que nous allons démontrer.

46. Considérons d'abord deux forces seulement et leur résultante. Le moment de cette résultante » par rapport à un point situé dans le plan des trois forces» sera égal à la somme ou à la différence des momens des deux composantes par rapport au mênpie point : à la différence » quand le centre des momens est situé dans

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE. 8i

Tangle des composantes, ou, dans 'son opposé, au commet; à la somme, quand ce point est hors de ces deux angles.

En effet, sment F et P' ces deux forces , MA et MA^ (fig. i6 et 17) leurs directions, Q leur résultante agissant suivant MB , C le centre des momens^ /?, p'^ 9, les perpendiculaires Gi, Ca', G&, abaissées du point C sur la direction de F, F', Q. Décomposons chacune de ces trois forces en deux autres, dirigées sui^ vant la droite MC et suivant la perpendiculaire KMK' à cette droite; et coasidérons les composantes perpendiculaires. On a évidemment

cosBMK = sinBMC = ?,

en d^gnant par c la longueur de la droite MC ; donc la composante de Q suivant MK sera égale à -^. De méme^ les composantes de F et F' perpendiculaires à MC seront -^ et -^. Elles agissent en sens contraire, quand la ligne MC traverse Fangle AMA' (fig. 16), et dans le même sens, quand elle tombe hors de cet angle. Or, la somme de ces composantes, dans le second cas, et l'excès de la plus grande, sur la plus petite, dans le premier, doit reproduire la composante de Q^ puisque Q est la résultante de F et F'; en supposant la composante de F plus grande que celle de F', et supprimant le diviseur commun c, on aura donc

ce qu'il s'agissait de prouver.

8t TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si Von îniagirie que le point G soit fixe et qtie les perpendiculaires Ca, Ca'p Cb, forment uasystème invariable, les forces P, P', Q, qui peuvent être censées agir aux extrémités a, a', bp de ces droites, ne pourront produire qu'un mouvement de rotation au-* tour du centre dés momens. Or , l'inspection de la figure 1 7 > à laquelle répond le signe supérieur dans 1 équation précédente, montre que quand le point C tombe hors de l'angle AMB, et de son opposé au sommet, les trois forces P, F, Q, tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens slu^ tour du point G; au contraire, lorsque ce point tombe dans l'un de ces deux angles, la figure i6, qui répond au signe inférieur, fait voir que les forces P et P^ tendent à faire tourner les points a et a' en sens opposés; et Ton voit aussi que, dans ce cas, la résultante Q tend à faire tourner son point d'application dans le même seûS que la composante qui a le plus grand moment. D'après cette remarque ^ le théorème qu'on vient de démontrei' revient à dire que le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme ou à la différence des momens de ces deux forces, selon que les composantes fendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens ou en sens opposés autour du centre des mo-, Inens, et que la résultante tend à Êiire tourner dans le sens de la composante qui a le plus grand moment.

Ce théorème ayant lieu pour des forces dont les directions font un angle quelconque, doit encore sub*sister lorsqu'elles deviennent parallèles; c'est effecti-<

▼emeàt une conséquence facile à déduire de la corn-* position des forces de ce genre (n** 45).

47 . L'avantage de ce dernier énoncé est de pouvoir facilement s'étendre à un nombre quelconque de forces P, V, V^, etc., dirigées dans un même plan. En regardant le centre des momens comme un point fixe, autour duquel les forces tendent à faire tourner le système de leurs points d'application, liés entre eux d\ine manière invariable, le moment de la résultante est égal à la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner dans le même sens qu'elle, moins la sonmie des momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraire.

Pour ûxer les idées , supposons que les trois pre* mières forces P, F, F, tendent à faire tourner dans un même sens, et toutes les autres dans un sens opposé. Reprenons la série de réductions du n*" 4^* Soient Q, la résultante deP et F, et Q' celle de Q et F', ou de P, P', F. Soient aussi p, p', />', q, q\ les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de P, P', P", Q> Q'; nous aurons, d'après ce qu'on vient de voir,

Q9 = P/, + Py, QY = Q9 + P/>%

et, par conséquent,

QY =.?/> + py + py.

De même, si l'on désigne par Q^la résultante.de toutes les autres forces P^, P", etc.; par q; la perpendica^ lair« abaissée du œntre des momens sur sa direction ; par p", />'% etc., les perpendiculaires abaissées du

même point sur les directions de P'", P*% etc. , oo

aura aussi

Q^q^ = Py + T'y + etc.

Dr, la résultante R de toutes les forces données sera celle des deux forces Q' et Q^; si , donc, on représente par r la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur la direction de R, et si Ion considère que ces forces Q' et Q^ tendent à faire tourner en sens opposés, on aura

selon que Q'ç' sera plus grand ou moindre que Q^q,. Dans le premier cas, la force R tendra à faire toumer dans le même sens que Ja force Q', et, conséquemment, dans le même sens que les trois forces P, P', P*. Nous supposerons que ce soit ce premier cas qui ait lieu; et en substituant pour Q'g' et Q^q^ leurs valeurs, nous aurons alors

Rr=Pp4-Fp'+Py — PV — P'y — etc.; (i)

équation qui renferme le théorème qu'on voulait démontrer.

En supposant que le centre des momens soit le point d'appui du levier auquel les forces P, P', P*, etc., sont appliquées, il faudra, pour Téquilibre de ce levier, qu'on ait

Pp + F/ + F/ — PV — P'y^ — etc. = o, (a)

puisque, dans ce cas, ces forces doivent avoir une résultante qui doit passer par le point d'appui (d!'^5), ei pour laquelle on a donc r=: o.

46. On peut rendre l'équation (i) plus générale , eu supposant que par des décompositions et recomr positions des forces P, F, P^, etc. , on les ait transformées en d'autres forces S ^ SV S% etc., dont lensemble soit équivalent aux forces données. En désignant J>ar Sf sfy ^'y etc. , les perpendiculaires abaissées du centre des momens sur les directions de S» S', S', etc., on trouvera, par le même raisonnement que dans le numéro précédent ,

S^+SV+SV+etc^Pp+Py+P*/;'— P*/>*— P*>»^— etc.;(3)

équation dans laquelle on devra prendre avec le signe +f ^^ momens des forces S, S^S', etc., qui tendent à faire tourner dans le même sens que P, P', F; et avec le signe -— *, les momens de celles qui tendent à £aire tourner dans le même sens que P'^', P'% etc.

Le Q8U3 particulier où les forces P, Y, P*, etc. , sont irréductibles à une seule, est compris dans cette dernière équation. Soient alors S et S' deux forces égales, parallèles et non directement opposées ; et appelons h leur distance mutuelle. Si le centre des momens est situé entre leurs directions, on aura ^ -f- / = A ; elles tendront à faire tourner dans le même sens autour de ce point; on donnera donc le même signe à leurs momens, et il en résultera

S^ + SV=S/i.

Si, au contraire, le centre des momens n'est pas compris entre S et S', et qu'on suppose ^>. j', on aura' s — s'z=h} ces deux forces tendront à faire tourner en sens opposés; on devra donner le signe + ^u mo-

ment de S et le signe ^^ an moment de S^; et il en

résultera

Par conséquent, l'équation (5) deviendra toujours SÂ=Pp + Py + F/-F>-F7,-etc.

Son second membre se composant de quantités qui sont toutes données, il en résulte que si les valeurs de S et A viennent à changer, leur produit demeurera constant, ainsi quon l'avait déjà dit plus haut.

On conclut aussi de cette dernière équation que, quand son second membre est nul, les forces données ne peuvent pas tomber dans le cas d'exception où elles sont irréductibles à une seule; il s'ensuit donc que l'équation (2) exprime à la fois que les forces P, P', P*, etc., ont une résultante unique, et que cette résultante passe par le centre des momens ; par conséquent, elle est l'équation nécessaire etsajQSsante pour l'équilibre du levier, dont ce centre est le point d'appui. La résultante R que l'on obtiendra par la série de réductions du n* 4^, exprimera la charge qu'il aura à supporter; quand elle sera nulle, les forces P, P', P% etc. , se feront équilibre dans leur plan sans le secours de ce point fixe.

49' L^ condition de l'équilibre dans le levier peut aussi s'exprimer par une équation analogue à la formule (î) du n** Sg.

Soient, par exemple. M, M', M'' (fig. 18), les points d'application des trois forces P, P', P", qui agissent sur le levier ECF, suivant des directions MA, M'A', M^'A^ comprises dans son plan. Faisons tourner infir

STATIQtTE, PREMIÈRE PAaTIË. 87

BÎinent peu de leyier autour de son point 4'dppui C^

de sorte que M , M'^ M", viennent en m, m\ wl'. D'ar*

près la définition du n* Sp^ les arcs infiniment petits

Vkm , MW/ M"m!', que l'on peut prépare pour des

lîfp:se6 droites, seront les vitesses virtueUe{3 des points

dTapplîeation M^ M'^ M''^ des trois'fbrcesque Fou con«

sidère. J abaisse de m^ m', m', des. perpendiculaires

mu, m'a\ m'a', sur les droites MA, M'A', M"A'^, ou

sur leurs prolongemens ; Ma sera la projection de M/n

sur la direction même de la force P, qui tend à faire

tourner le levier dans le sens de la rotation qui a eu

lieu; MV et MV seront }^ projections de Mm' et

M'/n' sur les prolongemens des deux autres forces

P' et P", qui tendent à le faire tourner dans le sens

opposé. Pour cette raison, je considère la première

de ces projections comme une quantité positive, et

les deux autres comme des quantités négatives. Je

représenterai ces trois quantités par ^, 'sr', ^'.

Cela posé, en^ vertu du principe des vitesses virtuelles, la somme des forces données multipliées respectivement par les projections ainsi définies des vitesses virtuelles de leurs points d'application, est nulle dans le cas de l'équilibre^ et réciproquement l'équilibre a lieu quand cette somme est zéro; en sorte que l'équation d'équilibre du levier est

P^ + P'^-f-PV = o; (4)

et, en effet, il est aise de vérifier qu'elle coïncide avec celle que l'on a déduite de la considération des momens.

Pour cela, désignons par p^ //, p', les perpendîca-

laires CG, CG% CG% abaissées du point C sur les dirrections des forces P, F, P*; par c, c\ c% les distances CM, CM', CM', de leurs points d'application au point C; et par y^ y\ y'^ les vitesses virtuelles Mm, M W, M'm'. L'arc infiniment petit M/n se confondant avec sa tan* gente, les triangles Mma et CMG ont leurs côtés perpendiculaires l'un à l'a^itre, et sont semblables ; on a donc

Ma : Mm :: CG : CM;

et à cause de

Mas^r, Mm=:y, CGs=zp, CM = c,

on en déduit

fer ^— — .

On aura de même

en observant que ^ et n^^ sont, par hypothèse, des quantités négatives. De plus, la forme du levier étant supposée invariable, les trois arcs Mm, M'm', M"i»'', décrits en même temps, répondent à un même angle ; et en les divisant par leurs rayons respectif CM, CM', CM', on aura trois rapports égaux. En désignant par 0 la gi*andeur commune de ces rapports, on aura donc

et, par conséquent,

^ = /70, ^'=:— /)'ô, «•" = — /i"ft.

Or, si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (4) » et qu'on supprime ensuite le facteur 8 commun à tous ses termes, elle deviendra

Pp py rp' = o,-

ce qu^ est effectivement Tëquation d'équilibre du levier que nous considérons. Réciproquement, si Ton multiplie cette dernière équation par 0^ elle se changera dans, l'équation (4)*

Le raisonnement serait évidemment le même, quels que fassent le nombre des forces données P,P', P, etc., et le sens dans lequel elles tendent à faire tourner le levier.