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l'origine O au milieu de AB et adoptant le sens OB comme sens positif, on voit que le point (a3) est défini par
si l'on pose OB = o.
En résumé, pour représenter par un abaque à points alignés l'équation (E) ci-dessus, il suffit, ayant pris sur Ox les points AefB symétriques par rapport à O {le point B étant sur la partie positive de Ox), et mené par ces points deux axes parallèles Au et Bv, de porter sur les axes A u, Bc et Ox, à partir de leurs origines A, B et O, respectivement les échelles définies par les formules (a4), (a2) et (a3).
Remarque. — Pour que les échelles des variables (a,) et (a2), prises comme indépendantes, comprennent l'échelle (a3), il faut que la fonction/^ soit constamment positive entre les limites considérées. Si elle devenait négative à partir d'une certaine valeur, on aurait recours à un fractionnement (n° 63) en posant
73. Disposition des échelles (1). — Faisant en sorte, en vertu de la remarque précédente, que les points (a3) soient situés entre les axes Au et Bc, on pourra toujours, comme on l'a vu au n° 67, disposer de li et /2 de façon à donner aux. échelles (o^) et (a2), entre les limites adoptées, la même longueur, les droites PiP2 et Qj Q2 qui joignent leurs extrémités ayant d'ailleurs une inclinaison quelconque par rapport à la direction des axes Au et Bp, telle cependant, quant à présent, que l'angle P1Q2P2 soit inférieur à l'angle P1P2Q2 (fig- 69).
Nous sommes libres également de disposer de l'écartement des axes parallèles. Pourrons-nous encore ici le fixer de manière que l'angle sous lequel l'index rencontrera le support P3 Q3 de l'échelle (a3) ne tombe pas au-dessous d'une certaine limite?
Si, par le point P1? nous menons des parallèles d'une part Pi ^2 au
(') La discussion mathématique de la meilleure disposition à donner à un tel abaque, développée clans ce numéro, n'est évidemment pas indispensable à l'application de la méthode; elle est intéressante toutefois en ce sens qu'elle fait connaître une disposition limite permettant de tirer de la méthode les plus grands avantages. En pratique, on ne s'y astreindra pas toujours, se contentant d'une sorte de tâtonnement ; mais nous avons tenu, dans les applications subséquentes, à nous y conformer rigoureusement de façon à fournir de véritables modèles théoriques.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. AliAQUES A ALIGNEMENT.
support P3Q3, de l'autre aux diverses positions de l'index, nous voyons que le minimum de l'angle en question est Q^P,'/,, inférieur au minimum
Q0P1Q1 de l'angle que l'index fait avec les supports parallèles. Ce dernier
angle varie, en effet, de Q2P1Q1 ou P1Q2P2 à P1P2Q2 en passant par -»
et nous venons de supposer par hypothèse PiQ2P2< PiPaQ2- Toute la question revient donc à fixer la position relative des échelles, de façon à rendre V angle Q2Pi^2 le plus grand possible.
Si d'abord, en conservant l'inclinaison de la droite Qi Q2, nous changeons l'ccartement des axes, toutes les largeurs devront être modifiées proportionnellement. Le problème peut donc s'énoncer ainsi : Parmi tous les couples de points Q2 et q2 pris sur la droite Qi Q2 et tels que le rapport
n soit constant, quel est celui qui est vu du point Pi sous le pi us
grand angle ?
Soit ( fig. 70) q'%, Q'2 l'un quelconque de ces couples de points. Pour en
Fig. 70.
obtenir un autre quelconque q'!,, Qg, nous n'avons, après avoir joint les points q'.2 et Q', à un point quelconque S" de Q[ P1; qu'à mener par Pj des parallèles Piq'i, P1Q2 aux droites S'q'ti S"Q',. Il suit delà que l'angle M. d'O. l '•
sous lequel le segment q\ Q2 est vu du point Vx est égal à l'angle q\ S"Q'2. C'est done ce dernier qu'il s'agit de rendre maximum. Il le sera lorsque le cercle circonscrit au triangle <72S"Q'2, cercle qui passe par les points fixes q\ et Q'2, sera de rayon minimum, et cette circonstance se produira lorsque ce cercle sera tangent à la droite P1Q1. Soit alors S son point de contact. L'angle maximum est donc égal à q\ SQ'2 et les points <?2j Q-2 correspondants s'obtiennent en menant par le point Vx les parallèles P1Q2 et PiQ2 à S<72 et à SQ2. Le problème est ainsi résolu. On peut en mettre le résultat sous forme analytique. En effet, de ce que
Q^S* = Qi?ixQiQi,
il résulte, par proportionnalité, que
Q1P1 =Qi?*xQ,Qa;
QiQ5
ou, si l'on représente par k le rapport constant — — — ? qu
/cQiPi =QïQ2 ,
ou encore, si l'on appelle L la longueur P1Q1 des échelles parallèles, D la distance Q1Q2,
D = Lv/A.
Alors
Qi^
Appelons «3 et b% les valeurs de la variable a3 correspondant aux points P3 et Q3 (Jig. 69). Nous avons, en vertu de la formule (2) du n° 57, et en nous reportant à l'équation (a3)0 du n° 72,
P1P3 li Mat)
P1P2 hM"*) -+- l*
Q1Q3 = ïiMh) Q3Q2 ' h
QiQ3= hM*>^
et, par soustraction,
ou
1 Qiga
ï " Q1Q1 "" [hMaz)-^h][hMh) + h]
/i^L/.(*8)-A(aa)]
Si la valeur de la fonction y3 est infinie pour l'une des limites, b3 pai
exemple, on a
Il n'y a plus qu'à porter cette valeur de k dans la formule (1).
L'écartement qui vient d'être déterminé, en vue de rendre maximum l'angle <72PiQ2> est indépendant de l'angle que QiQ2 fait avec Q1P1. Si l'on fait varier cet angle, les points q2 et Q2 parcourent les cercles décrits de Qi comme centre avec les rayons
Ql?2
QiQ2 = L/A3
et, puisque le point Pt se trouve entre ces deux cercles, l'angle g^PiQ» augmente au fur et à mesure que Q1Q2 se rapproche de Q1P1 {fig. 71).
Mais on ne saurait faire croître cet angle indéfiniment, parce que l'angle PiP2Q2 devenant, contrairement à l'hypothèse faite jusqu'ici, plus petit que'PiQ2P2, décroîtrait indéfiniment.
Arrêtons-nous dans la position pour laquelle les angles P1Q2P2 et Pj P2 Q2 sont égaux. Le triangle Pi Qi #2 est alors isoscèle, et le point Q2 se trouve sur le cercle décrit de Pj comme centre avec l'écartement D, calculé par la formule (1) pour rayon.
D'autre part, les triangles P-iQi^2 et P1Q1Q2 ayant un angle commun Qt compris entre côtés proportionnels, car
QiP
Qi?
sont semblables, et le triangle QiPi<72 est lui-même isoscèle.
En résumé, ayant fait choix des modules ly et /2, de façon que les deux échelles (aj) et (a2) aient une même longueur L. et ayant calculé k par la formule (•>.), on prend pour point Q2 l'un des points de rencontre des cercles décrits de Pi et Qi comme centres avec le rayon Ly/A\ Le support de V échelle (a3) est alors une droite antiparallèle de P1Q1 et P2Q2 par rapport à Pi P2 et QiQ2.
Il va sans dire, encore une fois, que la disposition des échelles qui vient d'être étudiée, théoriquement la meilleure, ne s'impose pas rigoureusement dans la pratique, et qu'il suffira, pour les applications, de choisir une disposition qui n'en soit pas trop éloignée.
On pourra notamment substituer aux valeurs de lu de l2 et de k rigoureusement calculées des valeurs arrondies qui n'en diffèrent pas beaucoup.
Remarque. — Si les points P3 et Q3 coïncident respectivement avec les points Pj et Q2, on a k — i, et les triangles PiQtQ2, P1Q2P2 sont équilatéraux. Mais le minimum de l'angle de l'index et du support P3Q3 descend ici nécessairement à zéro.
74. Exemples : i° Septième type d'abaque de multiplication (J). — Ecrivons l'équation de la multiplication
aja2 = a3 sous la forme
«i a3 Elle sera dès lors représentable (n° 72) par les systèmes de points cotés
(ai) u = ,
ai
Convenons de faire varier o^ et a2 de 1 à 10. Puisque les segments
portés sur Au et Bp sont de sens contraires, et que u décroît lorsque a,
augmente, le sens de la graduation sera le même sur les axes parallèles.
Prenons dès lors
ce qui nous donne
et, en outre
/i(&i)-/iOi) =1-— = ->
/*(&*) — fî(.&i) = — l -+- 10 = 9.
T/échelle (a2) étant régulière, prenons pour cette échelle la graduation du décimètre, c'est-à-dire
/ .cm
fc-2 — • i
<l OU
(') Corrélatif du troisième type (n°27).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. \(u)
Pour que l'échelle (at) ait même longueur, il faut doue que
d'où
IO
/l = IO
La formule (2) du n° 73 donne alors
( hi](io+i)
\lO / II
