I JO
où T représente le tonnage de course.
p le périmètre,
L la longueur à la flottaison,
s la surface de voilure.
Elle peut s'écrire
On voit dès lors qu'elle pourra être représentée par l'accolement le long
(') Pour donner le degré d'approximation requis par les calculs de banque, cet abaque devrait être construit sous des dimensions qui rendraient son emploi impraticable. Tel quel il permet d'obtenir un résultat approché pouvant être utile lorsqu'on veut se faire une première idée d'une opération projetée.
de Ox des échelles binaires définies par
i3T hP cv=——l et x — — L
s/ s io
/ étant un module quelconque.
Fig. 187.
fa Op3 0,
Annuité pour un emp
ÎTv* °>ib 0,iô
Si l'on représente par V et /" d'autres modules, la première sera consti-
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o7
tuée par les droites cotées
(T) y = Tl\ (s) r = *^f
la seconde par
Ce dernier système de droites cotées du second degré rentre dans un type étudié à part (n° 45).
L'abaque correspondant, construit par M. Ghancel (J) avec les modules
l = V ' — 6,n,n, 25, l" =il = i2mm, 5,
et que reproduit la fig. 1 38, présente plusieurs particularités intéressantes.
i" Les deux échelles binaires ont été accolées de façon que le point o de l'échelle (T) corresponde au point 16 de l'échelle (L).
En outre, les droites parallèles à Ox correspondantes n'ont été tracées qu'à des intervalles assez grands pour ne pas embrouiller la figure. Aux parallèles non tracées, on a substitué, ainsi que cela a été indiqué d'une manière générale au n° 1-4, un transparent portant d'une part des parallèles que l'on fait glisser sur celles de l'abaque, de l'autre un axe perpendiculaire à leur direction et portant les graduations (T) et (L).
L'emploi de l'abaque peut alors s'énoncer ainsi : le bordel inférieur du transparent étant appliqué sur le bord inférieur du cadre, on fait glisser ce transparent jusqu'à ce que le point coté L de son échelle mobile se trouve sur la droite cotée p. La cote du point de l'échelle mobile qui se trouve alors sur la droite cotée s fait connaître le tonnage T.
Sur la fig. 1 38, on a dessiné la position de l'échelle mobile pour l'exemple numérique
L = i2m,8o, /? = i3m,8o, s = 2io,nf'
Cette position est définie par la condition que le point L — 12,8 se trouve sur la droite p = 1 3 , 8. On voit que la droite s = 210, qui appartient au faisceau (s) inférieur, passe alors par le point
dont la cote est la valeur du tonnage cherché.
2° La valeur du périmètre p variant dans le même sens que la longueur L, on a limité chaque droite (p) à la portion qui correspond aux
(') Étude et graphique de la formule de jauge de l'Union des Yachts français. Grenoble; 1894.
valeurs de L qui peuvent lui être jointes. C'est là ce qui produit ces sortes de gradins qu'on observe sur la fig. i38.
3° L'échelle binaire (s,T) a été fractionnée (n° 1-16) à la ligne T=i6, la seconde partie du système (s) étant remontée à la ligne T = o. Si donc on a affaire à un point d'une ligne (s), pris dans le faisceau supérieur, l'horizontale T passant en ce point a pour cote la valeur de T, lue sur l'échelle de droite, augmentée de 16.
i° La forme de l'équation représentée montre qu'on peut appliquer le principe des multiplicateurs correspondants (n° 21) en posant
IV = f* L, p'= [jLjo, s' = v9- s, T" = [Jt2 v T.
Voici un exemple numérique emprunté à l'auteur : Les données sont
Pour avoir des nombres rentrant dans les limites de la graduation, prenons les multiplicateurs
fX = 2, v = '1.
Nous avons ainsi
L'horizontale L'= r5,24 rencontre la droite p' = i4,86 en un point dont la verticale coupe la droite s' — 34o du faisceau supérieur sur l'horizontale T'= 8,3. On doit donc prendre, d'après ce qui vient d'être vu (3°),
Donc
5° Abaque pour la résolution des triangles reclilignes dont un angle au moins figure parmi les éléments connus. — Si a1? a2, a:$ représentent les angles d'un triangle quelconque, yij Ta? Y3 les côtés opposés, on peut résoudre tous les cas pour lesquels un angle figure parmi les éléments connus au moyen de la formule facile à démontrer
tan g —
/ al\l Ï2+Ï3
tar ~
-«[-('-t)] t"Ts
dans laquelle on prendra toujours pour y2 le plus grand des côtés donnés, lorsqu'on lui adjoint
(2) ai~f- «-2+ a3 = tc.
Les quatre cas à considérer peuvent se résumer ainsi :
Données. Inconnues.
Premier cas a, B, G A, b, c
Deuxième cas b, B, C A, a, c
Troisième cas a, b, C A, lî, c
Quatrième cas a, b, A B, G, c
3lO CHAPITRE V.
Les formules précédentes permettent de les résoudre, grâce aux identifications suivantes :
Premier cas : Pour at=B, a2 = G, ( i) donne a3=A,
» a2=B, at=C, *(3=a, (i) » Ï2=^,
Deuxième cas : Pour c^^B, a2=C, 12) » a3=A,
» at = A, a2=B, Y2=^? (•) » Ys— c*
Troisième cas : Pour a^C, *[.2=a, -(%= b, (1) » a2=A,
» aj = c, a2^A, (2) » a3=B,
» ai = B, a2=A, Y2 — a-> (0 w Y3 — c-
Quatrième cas : Pour a2= A, Y2 — a» Ï3 — ^> (0 ;) aj = C,
» ai=c, a2=nA, (2) » a3=B,
» a! = À, a2=C, Y3=£, (0 » Y2EEHC-
L'abaque à échelles accolées construit pour l'équation (1) ci-dessus par M. Lallemand est représenté par \ajig-. 139.
En vue d'une plus grande netteté, cet abaque a subi une anamorphose graphique (n° 39). L'exemple du n° 40 n'est autre d'ailleurs que la construction de l'échelle supérieure de cet abaque.
Jci les deux échelles accolées sont placées l'une au-dessus de l'autre, la première étant constituée par les horizontales (Y2) et les courbes ( y3 ), la seconde par les horizontales (aj) et les courbes (a2). De l'une à l'autre, les points se correspondent sur les verticales.
Quant à l'abaque de l'équation (2), il a été superposé à l'échelle inférieure. Il a suffi, comme cela a été expliqué au n°41, de joindre entre eux les points du réseau formé par les courbes (a^ et (a2) pour lesquels la somme ai -h a2 était égale au supplément d'une certaine valeur de a3 pour avoir la courbe a3 correspondante et obtenir ainsi le système (a3).
Gomme exemple numérique, plaçons-nous dans le troisième cas en nous
donnant
a = Tom, b = 43m, G = 6o°.
Pour rester dans les limites de nos graduations, nous diviserons par 10 la longueur de chaque côté. Dès lors, l'horizontale Y2 — 7 et ^a courbe Y3=453 de l'échelle supérieure se coupant en un point, suivons la verticale de ce point jusqu'à l'horizontale at = 6o° de l'échelle inférieure. Par le point ainsi obtenu passent les ccurbes a2 = 820 et a3 = 38°;
donc
A = 820 et B = 38°.
Puis, si du point de rencontre de l'horizontale a! = 38° et de la courbe a2 = 820, nous remontons par une verticale à l'échelle supérieure, nous obtenons sur l'horizontale Y2 = 7 un point par lequel passe la courbe Y3=6,i; donc
c = 6im.
Fig. .:;.).
I Côtés .
Notations.
CHAPITRK V.
119. Abaques hexagonaux à échelles binaires. — En remplaçant une, deux ou trois échelles simples d'un abaque hexagonal (n° 32) par des échelles binaires accolées aux axes correspondants, ainsi que M. Prévôt en a eu l'idée ('), on introduit une, deux ou trois nouvelles variables.
La fig. i/(o indique la disposition générale d'un abaque hexa-
gonal à trois échelles binaires, c'est-à-dire à six variables. Le type de l'équation correspondante est, d'après ce qui a été vu au n° 32,
/i(«ii Pi)-H/*(a*, h) =/3(a3, p3).
On dispose à volonté des trois échelles accolées respectivement aux trois axes de l'abaque hexagonal, pourvu que trois points (a,, (3,), (a2, (32), (a3, p3) pris dans chacune de ces échelles et correspondant à une solution particulière de l'équation ci-dessus se trouvent simultanément sous les trois index du transparent.
L'emploi de l'abaque, si, par exemple, on prend {J3 pour inconnue, est le suivant : deux des index du transparent convenablement orienté passant V un par le point (a,, (3, ), Vautre par le point (a2, (32), le troisième index coupe la courbe a3 de
(') Voir la note au bas de la p. 297.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3l3
V échelle binaire correspondante en un point, et la cote de la courbe j33 passant en ce point est la valeur demandée.
On pourra, dans certains cas, se servir de cette méthode en faisant entrer une même variable dans deux groupes binaires différents, ce qui serait le cas, par exemple, si, dans l'équation ci-dessus, on remplaçait f>:$ par (3,. Il convient toutefois de remarquer que, dans ce cas, la variable figurant dans deux groupes binaires ne saurait être prise pour inconnue. Pour qu'une variable intervenant dans un abaque puisse y être prise comme inconnue, il est évident, en effet, qu'il ne doit lui correspondre sur cet abaque qu'un seul système d'éléments cotés.
Exemples : i° Premier abaque des intérêts composés (l). — La formule des intérêts composés est
A = a(i+r)«, dans laquelle
a désigne le capital placé;
/" le taux;
n le nombre d'années du placement;
A le capital produit.
Il suffit de l'écrire sous la forme
JogA = loga -h n log(i -+- /■)
pour voir qu'elle rentre dans le type ci-dessus lorsqu'on prend le long de deux des axes des échelles logarithmiques ordinaires pour A et a, et le long du troisième une échelle binaire pour l'ensemble de n et de r.
Si / est le module des échelles logarithmiques (A) et (a), l'échelle binaire {n, r) sera définie par
x = In Iog(i h- r),
l'axe des x étant supposé coïncider avec l'axe correspondant de l'abaque hexagonal. On constituera donc cette échelle au moyen de deux systèmes de droites cotées
y= nog(i-hr),
V x = Iny .
L'abaque correspondant, pour lequel, sur la Jig. iZji, on a pris
i= r= - xim,
(') On trouvera plus loin ( n°122), un abaque plus simple pour la même formule.
3 l4 CHAPITRE V.
est dû à M. Prévôt. Jl prête à une remarque intéressante d'où résulte une
Fig. i4i.
no
grande simplification de construction et qui peut trouver son application
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3l5
dans des cas analogues. Elle consiste en ce que, dans le champ de variation très limité de la variable /', les accroissements do Iog(i-4- r) sonl sensiblement proportionnels à ceux de /•.
Calculons, par exemple, au milieu de cet intervalle, logi,oj, en admettant cette proportionnalité. Nous aurons
logi ,04 — logr,o>. 5 1 ,04 — 1 , 02 5 log 1, 06 — log i,oa5 1,06 — 1,025'
d'où
log l,o4 = logl,020 + 757 (log I,06— log 1,025) == OjOlGQjSq.
La véritable valeur de log 1,04 est
log 1 ,04 — 0,0170333.
L'erreur commise est donc
e = — 0,000039 î ou sensiblement
Avec la valeur de /' admise sur la fig. i4r, cela donne pour l'écart entre la position de la droite r = o,o4, obtenue par cette interpolation proportionnelle, et sa position rigoureuse la valeur
| X om, 000 06 = om, 000 04 ,
soit Yé de millimètre, écart qui peut être négligé sans inconvénient.
La position des index du transparent, marquée en pointillé sur la fig. i32, correspond à l'exemple numérique a = 2oooofl', T=o,o4, n — i5<*, pour lequel l'abaque donne A — 36ooofl (1).
2° Abaque de la poussée des terres. — M. Boussinesq a donné, pour le calcul de la poussée des terres sur un mur vertical de soutènement, la formule suivante :
