I. — Carrés et cercles de front

179. Avertissement. - Les problèmes de perspective directe, traitésau chapitre III, n’exigeaient pas la connaissance des points principaux de fuite et de distance; leur solution était donc indépendante de certaines données optiques, et, par conséquent, dans une certaine mesure, de la position du spectateur. Or, on remarquera que ces problèmes avaient pour objet de diviser en parties qui devaient être égales entre elles ou proportionnelles à des longueurs données, soit une même ligne droite, soit des droites du géométral, perspectivement parallèles entre elles. Nous pouvons donc, dès maintenant, conclure de cette étude que si un spectateur se déplace devant un tableau, soit en reculant, soit en avançant, soit en se portant à gauche, soit en allant à droite du point de vue, pourvu que son œil reste toujours dam le plan d’horizon , les rapports de division d'une même ligne droite, ou de droites perspectivement parallèles entre elles, ne semblent pas changer pour lui.

Au contraire, dès qu’il est question d’angles, c’est-à-dire, en dernière analyse, quand il faut soit apprécier soit réaliser des rapports de lignes droites qui ne sont pas perspectivement parallèles entre elles, nous allons voir qu’il est nécessaire de connaître la position exacte du spectateur, c’est-à-dire les points principaux de fuite et de distance.

180. Construire un carré sur une droite de front comme côté. — Soit ab le côté de front et soit p le point principal et D/2 le point de demi-distance (tig. 246). Menons les fuyantes principales ap-bp. Ces droites seront les côtés du carré. Prenons le milieu i de ab , et joignons-le au point D/2 ; nous aurons en C le troisième sommet du carré.

Nous savons, en effet, que cette droite fuyant au point de demi-distance intercepte sur la ligne de front ab, un segment ib qui est la moitié du segment bc intercepté sur la fuyante principale. On a donc dans l’espace : bc = 2 fois id,

et, par suite, bc = ab.

Menons ensuite la ligne de front cd et nous aurons en abcd la perspective d’un carré.

Remarque. — Si l’on avait à sa disposition le point 1/3 D

(tiers de distance), on l’aurait joint au point j situé au tiers de ab. On généralisera pour tous les cas de distance réduite.

Fig. 246

181. Sur une droite de front, comme diamètre, construire un cercle : (a) Méthode , dite par recoupements.

Cette méthode est fondée sur les remarques suivantes ;

Fig. 247

Soit AB, CD (fîg. 247), deux diamètres à angle droit d’un cercle.

Menons une perpendiculaire quelconque MN sur le diamètre AB. Menons les lignes à 45° AC et BC. Prenons les

PERSPECTIVE DIRECTE EXIGEANT LES POINTS PRINCIPAUX

intersections M et Q avec la ligne MN. Joignons AQ et BM ; ces deux droites se rencontrent en un point S, qui appartient au cercle. On le démontrera en considérant les trois droites MQ — AQ — BQ comme les trois hauteurs d’un même triangle AMB, qui, on le sait, se rencontrent en un même point, ce qui prouve que l’angle ASB est droit.

Déplus, si l’on mène l’horizontale CI et si l’on joint IS, cette dernière droite est tangente au cercle.

On le démontre en prouvant que CI = IS et comme CI est une tangente, IS le sera aussi comme étant égale à CI.

En effet : CI = IM = IQ, puisque les lignes CM et CQ sont inclinées à 45° ; donc I est le milieu de MQ; de plus, l’angle MSQ est droit, nous venons de le démontrer; donc IS = 1Q = IC. C. Q.F. D.

On voit immédiatement l’application de ce qui précède à la mise en perspective d’un cercle (flg. 248).

Si l’on met en perspective la figure 247, les lignes à 45°, AC, BD, fuiront aux deux points de distance D et D'. — Les lignes parallèles à AB resteront de front.

Les lignes perpendiculaires à AB fuiront au point principal P, etc...

L’épure perspective (fig. 248) est la traduction évidente de la figure géomélrale (fig. 247).

(b) Méthode , dite far les angles droits inscrits.

Soit HKI (fig. 249), un carré circonscrit au cercle. Divisons le demi-côté BI en un certain nombre de parties égales, en quatre, par exemple, aux points F, E, D. Doublons les lon-

gueurs de ces divisions et portons-les sur l’autre côté de H en A, B et C.

Enfin, joignons les premiers points de division D, E, F, à l’extrémité II de gauche du diamètre et les seconds points A, B, C, à l’autre extrémité K.

Ces droites se recoupent en des points M, N, Q..., qui sont des points de la circonférence.

En effet : le petit triangle tel que B DH est semblable au grand triangle tel que AHK, comme ayant un angle égal (angle droit), compris entre deux côtés proportionnels. Le rapport de similitude est 1/2.

Donc, l’angle aigu BHD du petit triangle est égal à l’angle aigu AKH du grand. Et comme chacun d’eux doit avoir pour mesure la moitié de l’arc intercepté entre leurs côtés, il faut que les côtés IID et IvA passent par un même point M de la circonférence. C. Q. F. D.

Perspectivement, cette construction ramène le tracé perspectif du cercle à une division de droites en parties égales.

Fig. 250

Supposons, en effet (fig. 250), que ABCD soit la perspective, supposée exacte, d’un carré circonscrit à un cercle.

On inscrira, dans ce quadiilatère, l’ellipse perspective du cercle, en procédant comme suit :

1° On divise perspectivement tous les côtés en un même nombre de parties égales (en huit, c’est ce qui est préférable). Soit abcd , les points de division sur un côté, et

soit I, J, D, R les points de division sur l’autre. Ces

derniers ne seront à prendre que de deux en deux, et on prolongera la division, au-delà, jusqu’en R.

Remarquons que le tracé a donné en I et K et L les milieux des côtés.

2° On joint le point milieu I aux points de division abc... et le point milieu K aux points de division de deux en deux , de l’autre côté, c’est-à-dire aux points J DR.

Les recoupements de ces lignes donnent en mnq, des points de la circonférence perspective.