G DIVISION DES MATHÉMATIQUES

ainsi que les rapports nécessaires qu'ont entre eux les différents éléments des figures étendues. La géométrie pure raisonne sur ces figures sans rien emprunter à l'algèbre. Elle étudie : a) les figures planes, qui sont situées dans un même plan et n'ont que deux dimensions, la longueur et la largeur ; — b) les figures dans l'espace, qui ont leurs parties situées dans différents plans et qui présentent trois dimensions : longueur, largeur et profondeur. — A la géométrie dans l'espace on rattache la Géométrie descriptive, dont l'objet est d'étudier les figures au moyen de leurs projections sur des surfaces déterminées.

II. ■ — Arithmétique : science du nombre ou grandeur discontinue. Elle étudie d'abord les nombres entiers et ensuite les autres nombres. Elle est plus abstraite que la géométrie, car elle ne s'occupe pas de la forme des figures ni des grandeurs concrètes : elle ne considère que les idées de quantitéet de nombre sans les supposer dans aucun objet particulier. Cetteindétermination permet d'obtenir des vérités très générales : vg. les propriétés du nombre 9 s'appliquent aussi bien à 9 hommes qu'à 9 moutons.

III. ■ — Algèbre : c'est une arithmétique généralisée. Elle est donc encore plus abstraite que l'arithmétique. Elle ne considère que les rapports entre les nombres sans tenir compte de la valeur particulière de ces nombres. Aussi a-t-elle recours à des lettres, symbole plus indéterminé que les chiffres. Cette indétermination plus grande simplifie et généralise l'arithmétique.

I\'. — Analyse : elle étudie les relations de dépendance entre diverses grandeurs. On rattache à l'analyse :

!« Le calcul infinitésimal.

2° La géométrie analytique, qui n'est qu'une apphcation de l'algèbre à la géométrie. C'est Descartes qui opéra cette grande révolution en" géométrie. Il remarqua que, à chaque variation de position dans les points, la direction des lignes ou la forme des courbes et des surfaces (toutes choses qui sont des qualités), correspond un rapport particulier de quantité entre deux ou trois coordonnées rectihgnes {rapport susceptible d'être exprimé cdgébriquement) Q-) Il réussit à « substituer en géométrie de pures considérations de quantité à toutes les considérations de quahté». (Comte) C^^). Parla même, les problèmes relatifs aux figures dans l'espace peuvent se traiter sous la forme de lois de la quantité la plus abstraite : les lignes sont ramenées à des nombres ; et les rappoi'ts des hgnes à des équations. La géométrie analytique consiste donc à s'affranchir de la considération directe des figures et à leur substituer de simples expressions algébriques. — La trigonométrie peut être regardée comme une branche de la géométrie analytique.

(M Renouvier, Critique philosophique. Avril 1882. — Cf. Cournot, Essai sur les fonde' ments de nos connaissances, T. I, n. 197-201. — Liard, Descartes, Ch. I. {-) Comte, Cours de Philosophie positive, Leçon XII, T. I, p. 313.

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l'fi La théorie des fonctions : on jDeut encore abstraire davantage, si l'on ne considère que ta dépendance d'une quantité par rapport à une ou plusieurs variables; même en admettant une relation arbitraire entre les variables et la quantité dont elles déterminent la variation.