POSTULATS MATHÉMATIQUES

autorise, en Mathématiques, la substitution des valeurs égales. Leibniz veut que l'on démontre jusqu'aux axiomes ; il n'excepte que le principe d'identité qu'il regarde comme l'unique axiome indémontrable de cet ordre. Sans doute on peut dire : vg. le tout étant défini : la somme des parties, il serait contradictoire que le tout fût égal à une partie ; car ce serait affirmer qu'il est et qu'il n'est pas en môme temps la somme des parties. Leibniz a raison si l'on peut appeler cela une véritable démonstration.

IV. — Rôle : les axiomes ne sont pas principes du raisonnement mathématique, en ce sens qu'ils serviraient de majeures énoncées ou sous-entendues, d'où l'on déduirait d'autres vérités ; à ce point de vue, Locke, d'Alembert, D. Stewaut, ont raison de prétendre qu'ils ne sont pas principes de la démonstration. « Un homme de talent pourrait méditer éternellement sur les axiomes sans faire un pas de plus dans la connaissance des vérités mathématiques. » (Locke). Ils sont principes de la démonstration en ce sens qu'ils sont la condition, la règle du raisonnement ; ils sont au raisonnement mathématique ce que le principe d'identité est à la pensée en général, la condition sous-entendue qui rend toute déduction possible. On ne déduit rien des axiomes, mais on déduit tout en vertu des axiomes, conformément aux axiomes ; ils sont comme le nerf caché du raisonnement. Aussi Leibniz a pu dire : « Il ne sert de rien de ruminer les axiomes sans avoir de quoi les appliquer (^). » L'esprit ressemblerait à une machine qui marche à vide.