BIELLES PAR ARBALÉTRIER

(b) Nœud N° 4. — Indétermination apparente. — Moyens de la lever. — A ce nœud aboutissent quatre barres, et les tensions de trois d'entre elles sont inconnues ; il y a donc indétermination momentanée, et il faut trouver, par une autre méthode, la tension inconnue de l'une des barres.

Nous pouvons employer trois méthodes générales qui sont les suivantes :

I. Méthode de Culmann. — Elle consiste à couper le système par une surface, plane ou courbe, ne rencontrant pas plus de trois barres, pourvu que ces barres ne se coupent pas en un même point ; soit WW ce plan (fig. I). Cherchons sur le dynamique la résultante de toutes les forces situées d'un même côté du plan WW, à gauche par exemple ; cette résultante est ea (Dyn.) en grandeur, et son point d'application se trouverait à l'intersection du côté 4 du funiculaire avec la ligne de fermeture <*fT: ce point serait hors de l'épure.

Nous pourrons décomposer cette force en trois autres suivant les trois barres EO, OP et PA que rencontre le plan de section, comme il a été dit au n° 32, page 10.

Cette méthode est générale, mais elle est souvent d'une application difficile , les forces à décomposer étant très petites et les constructions sortant des limites de l'épure.

IL Méthode de Hitler. — Si nous considérons encore le plan de section WW, les tensions des trois barres qu'il rencontre doivent équilibrer la résultante de toutes les forces situées à gauche de ce plan.

Par suite, la somme des moments de ces trois tensions, par rapport à un point quelconque du plan, doit être égale au moment de la résultante, par rapport au même point, mais de signe contraire.

Prenons les moments par rapport au nœud 8, où se croisent deux des barres, EO et OP, ce qui éliminera les tensions de ces barres, parce que les moments de ces deux barres par rapport à ce point seront nuls ; nous n'aurons plus à considérer que le moment inconnu de la barre PA. En appelant T la tension de cette barre et h la distance du nœud 8 au tirant PA, le moment a pour expression T X h.

La résultante partielle de toutes les forces situées à gauche est ea (Dyn.) ; son moment par rapport au point 8 s'obtiendra en menant par ce point une parallèle à ea, et prenant le segment yo intercepté sur cette parallèle entre les côtés 4 et a[3 du funiculaire (v. n" 34) ; cette ligne, mesurée à l'échelle des forces, sera multipliée par la distance we du pôle du dynamique à la résultante partielle ae.

Nous trouvons ici = 8600 k., ws = 7m,70 ; le moment est donc égal à 8600X7,70 = 66220 km. et il est négatif.

Nous en tirons T

Vérification. — Nous aurons une vérification du résultat trouvé en prenant le moment de la résultante fa des forces situées à droite et opérant de la même manière ; nous trouvons ainsi

T = 490U.XJ3'80 = 8590k»,

valeur suffisamment concordante avec la première, étant donnée l'échelle de l'épure. Cette méthode est générale et d'une application toujours facile.

Nota. — On pourrait aussi opérer arithmétiquement, c'est-à-dire : 1° abaisser du sommet de la ferme, 8, des perpendiculaires sur chacune des forces situées à gauche ; 2° mesurer les bras de levier ainsi obtenus ; 3° multiplier chacun d'eux par la force correspondante, ce qui donnera un moment partiel ; 4° faire le total de tous ces moments partiels; et 5° opérer ensuite comme ci-dessus.

III. Méthode de fausse position. - - Cette méthode est également générale; elle est purement graphique, et les constructions qu'elle nécessite se tiennent toujours dans les limites de l'épure; elle est basée sur le théorème suivant :

1° Théorème. — Etant données trois droites A, B, C et quatre directions concourantes 1, 2, 3 et 4 (fig. 367), si l'on mène successivement des droites 1', 2', 3' et 4', respec-

Tns

Fig. 367

tivement parallèles aux directions données, et allant d'une droite à la suivante, le lieu géométrique des points de rencontre M de la ligne initiale 1' avec la ligne finale 4' estime droite.

La théorie des dynamiques et des funiculaires nous donne la démonstration immédiate de ce théorème. En efiet :

Nous pouvons considérer les directions 1, 2, 3 et 4 qui concourent au point 0 comme les rayons polaires d'un dynamique dont ce point 0 serait le pôle.

Menons trois droites consécutives A', B', C s'appuyant sur les quatre rayons polaires et respectivement parallèles aux droites A, B, C ; et fermons, par une droite R', le contour ainsi obtenu.

FERMES MÉTALLIQDES

FERME POLONCEAL A TROIS

BIELLES PAR ARBALETRIER

Le contour l'2'3'4' sera un funiculaire du dynamique A'B'C'R', par suite le point M, intersection du côté initial 1' et du côté final A', sera toujours un point de la résultante des forces A'B'C dirigées suivant les trois droites A, B, G. Le lieu géométrique de ce point sera cette résultante; ce sera donc une droite ; C.Q.F.D.

Remarque. — Le théorème est général quel que soit le nombre n des droites et le nombre n -+- 1 des directions données.

2° Application du théorème. — Considérons le nœud n° 4; la tension al est connue et si nous avions la valeur de la tension ap du tirant de ferme AP, la difficulté serait levée.

Prenons arbitrairement pour le point p une position d'essai p' sur la parallèle menée par le point a à la barre AP; le dynamique d'essai qui en résulte est ap'm'la.

Passons au nœud 5; nous aurons, en acceptant provisoirement les résultats qui viennent d'être obtenus, le dynamique cklm'n'dc.

Nous en déduirons alors pour le nœud n° 7 le dynamique m'n'o'p'.

Le point o', obtenu comme conséquence de ce dernier dynamique, devrait se trouver sur la parallèle menée par le point e à la barre EO; comme cette condition n'est pas remplie, l'hypothèse faite sur la position p' du point p est fausse.

Faisons une seconde hypothèse; soit p" la deuxième position d'essai du point p; nous en déduirons comme cidessus les positions des points m", n" et o".

Le point o" n'est pas non plus sur la droite eo ; mais, d'après le théorème précédent, le lieu du point o lorsque le point p se déplace sur la droite ap est la droite o'o". L'intersection de cette droite o'o" avec la droite eo donnera donc la position exacte du point o et par suite celle des points p, m et n.

Nous avons en effet les droites rp, Im et dn entre lesquelles nous menons les droites successives o/>, pm, mn et no du dynamique (fig. II) respectivement parallèles aux quatre directionsconcourantes du funiculaire (fig. I) OP, PM et NO et le lieu du point a est une droite déterminée par deux points o' et o". (Pour sa direction, v.Rem. II).

Remarque I. — Si nous placions le point m" en jjl, intersection des droites dn et Im, le point o" se confondrait avec le point j* et l'on pourrait par suite éviter le second essai.

Remarque II. — Il résulte encore de la démonstration du théorème précédent que si on mène sur la ferme (fig. I) la droite 4, 6, elle est parallèle à la droite o'o" du dynamique, car les droites LM et ND sont respectivement parallèles aux droites Im et nd.

On peut donc éviter les essais en menant par le point pt

une parallèle à la droite 4, fi, de la ferme, jusqu'à sa rencontre en o avec la droite eo; on en déduit ensuite les points m, n et [->..

Remarque III. — A cause de la symétrie de la poutre année qui constitue l'arbalétrier, et de la symétrie des charges, les triangles mno, jkl, du dynamique sont isocèles et égaux; il en résulte que leurs bases jk et no sont en ligne droite, et que leurs sommets sont sur la droite Im, qui est parallèle à la fois aux droites jk et no; de plus, le point m est au milieu de l'intervalle des deux droites dn et eo, ce qui permet de le déterminer à priori et par suite d'en déduire la position des points n, p et o.

Il en résulte aussi que la différence entre les tensions des barres consécutives OP et MP (fig. I), d'une part, AJ et AL d'autre part est la même, et qu'elle est égale à la tension des barres MN et KL.

On voit encore que les tensions des petites contrefiches sont égales entre elles et égales à la moitié de la tension ml de la grande contrefiche.

Enfin, les tensions longitudinales dans les divers tronçons de l'arbalétrier croissent en progression arithmétique.

(c) Fin de la construction du dynamique. — Les tensions des barres aboutissant au nœud n° 4 étant déterminées par l'une quelconque des méthodes précédentes, on continuera facilement la construction du dynamique. Les remarques faites pour le côté gauche de la ferme s'appliquent aussi au côté droit; elles fourniront une série de vérifications importantes à faire.

(d) Calcul du moment fléchissant dans l'arbalétrier. —

L'égout de gauche supporte une charge verticale de 6375 k. qui, augmentée de la composante verticale du vent dont la valeur est de 4775 k., donne une charge verticale totale de 11150 k.

Chaque panne en prend un huitième soit

11150 : 8 = 1393", 75 ou 1394 k.

La projection de l'entre-panne sur l'horizontale est de 30m : 8 = 3m,7o.

Le moment M produit par la charge d'une panne, ou 1394 k., appliquée au milieu du tronçon d'arbalétrier est égal à

M = , 1 = 1306,875 ou 1307 Km.

(e) Calcul des pièces de la ferme. — Nous dresserons d'abord le tableau des tensions des différentes pièces, en ne nous occupant que de la demi-ferme de gauche, qui est la plus éprouvée ; les deux demi-fermes seront, d'ailleurs, construites avec les mêmes dimensions, car il est probable que le vent pourra souffler d'un côté aussi bien que de l'autre. Cependant, si nous faisions l'épure en supposant que

FERMES MÉTALLIQUES

le vent souffle sur l'égout de droite, du côté de Lappui à roulement, nous trouverions pour les tensions des barres de ce côté des valeurs un peu inférieures à celles que nous avons trouvées pour les barres du côté gauche dans l'épure actuelle; nous pourrions donc, si la différence était assez importante, donner aux barres du côté droit des dimensions un peu moindres qu'à celles du côté gauche et réaliser une économie sur le poids de métal employé.

Nous ne ferons pas ici les calculs relatifs à la détermination des barres ; ils ont été donnés avec beaucoup de détails dans l'étude de la ferme précédente.

Aûn de permettre au lecteur de comparer quelques types des fermes, au point de vue des efforts qui sont développés dans leur intérieur, nous allons donner, presque sans explications, les épures relatives à des fermes de même portée (8m,00), de même pente et présentant, à une unité près, le même nombre de barres.

DESIGNATION