CALCUL DE L'ÉQUILIBRE CËNÉRAL D'UN ARC

D'après ce que nous avons vu les quantités inconnues t, M0 et Mi produiront pour leur part les effets suivants :

Ecart des sommiers

Déviation angulaire à l'origine. .

Déviation angulaire à l'extrémité.

!/aïo

Et comme ces effets doivent transformer en arc la poutre

courbe soumise aux efforts extérieurs et à la température nous écrirons que leur somme doit annuler les effets de même nature dus aux causes extérieures, ce qui nous donnera les trois équations du premier degré

,rV> ( ?/)^0 ( ZI*, + (li> ± tL) = 0,

%A + !/aï" H- zag"1 + *§ = 0, ajaj -j- yafo -+- ZstÇ) + a'/ = 0.

Fig. 427

Telles sont les équations de slabililé des arcs à deux sommiers encastrés.

L'équation (1) exprime que l'écart final des sommiers est nul.

L'équation (2) exprime que le total des déviations angulaires initiales est nul, c'est-à-dire qu'il y a encastrement parfait à l'origine.

L'équation (3) exprime, de même, qu'il y a encastrement parfait au sommier d'extrémité.

Dans ces équations les coefficients des inconnues et les termes indépendants se mesureront en longueur sur les épures. Il n'y a pas de difficultés pour les écarts À. Pour

les pentes nous conseillons de les mesurer sur les verticales milieu des funiculaires des hauteurs ; ce sont les segments tels que : L# et 1<> (Ûg. 421-IV), h$ et 14 (Og. 427-11), etc. . . interceptés sur elles par le côté initial et par le côté final de ces funiculaires.

Application à l'arc précédent. — En prenant les mesures sur les épures précédentes on trouve, en observant les signes :

ajj„ = — 26

afi = — 24

11 est à remarquer que l'on peut mesurer ces longueurs

388 THÉORIE DES ARCS

à une échelle quelconque, en millimètres par exemple ; c'est ce que nous avons fait.

Les équations de stabilité deviennent :

) avec 0 = 10 tonnes.

[jl = 100 tonnes-mètres.

M0 Mi

> y — — i z — — 0 H (jt

Elles donnent en nombres ronds pour les racines :

x = —3,45 d'où / = — 34tonne9, 500.

y = -+-0,38 d'Où M0 = -+- 38t°nDf's-mètres>

Z=+0,59 d'Où Mi = -(- 59tonnes-mètres

16x4-19?/-+- 17: = — 38 15x -+- 26?/ -t- 10: = — 36 14x + llt/ + 24z — — 30^ x = 4-1 y

(b) Arc à une rotule. — Supposons que le sommier d'extrémité soit à rotule, tandis que le sommier d'origine sera encastré. Les deux inconnues principales sont la poussée t et le moment d'encastrement à l'origine M0 ;

L'inconnue secondaire serait la déviation angulaire a, sur le sommier à rotule.

On aura Mt = 0 ; c'est-à-dire : = 0.

Nous écrirons 1° que l'écart total des sommiers est nul, et 2° que la déviation angulaire totale à l'origine est nulle également, ce qui donnera :