COMPOSITION DES FORCES DANS L'ESPACB AD MOYEN DU PLAN A L'INFINI

Il résulte de ces équations que, lorsquon fait in somme des forces menées normalement aux plans projetants, c'est-à-dire lorsquon les compose comme des forces formant UH faisceau, la résultante S est aussi normale au plan ( U^imCm^m).

1^ grandeur (le la résultante est donnée par

w'S = iù' \/x« -f Y* -f Z« + i YZcoj -f 2ZXtù^ + gXYco, = w' Em , on

La résultante est donc égale au moment de la force M qui ne passe pas par le point {l'y'!!).

En ce qui concerne la direction de la force S sur la normale au plan et le si^e

correspondant de -, il convient do remarquer que S doit être porté du côté du plan

projetant qui correspond à un sens de rotation détorminé du moment, et que, si

Ton déplace le plan du moment parallèlement à lui-m^me suivant la direction de S,

le sens de ce mouvement suivant chacun des axes coordonnés détermine le si^ne de

¥^ , ^T ce •

¥j tj ta

Pour terminer ces développements généraux, nous ajouterons quelques observations au sujet du système de coordonnées adopté. Les formules auxquelles nous sommes parvenus justifient le choix d*axes obliques; aucune formule n'est en effet devenue plus compliquée, et les fonctions des angles des axes, y compris le sinus de l'angle solide, ne sont intervenues que dans les expressions d^s facteurs normaux. En serait--il de même si nous avions adopté des coordonnées tétram étriqués? Sans aucun doute; mai;*, dans ce cas, les expressions des facteurs normaux seraient beaucoup plus compliquées, ainsi que nous Tavons fait remarquer au commencement du numéro précédent. L'addition des forces a pour base une opératiop consistant à mener une parallèle à une force donnée par l'extrémité d'un polygone des forces. Pour exécuter cette opération au moyen de coordonnées tétramétriques, il faudrait introduire dans toutes les formules les coordonnées du plan à Tinfini, qui ne sont plus 00 01. et les expressions des facteurs normaux contiendraient ainsi uji bien plus grand nombre de termes; aussi, nous croyons inutile de les développer ici. D^Ds le numéro précédent, nous avons montré que, dans tous les cas où il s'ainssait seulement de déterminer la position des forces et des éléments conjugués, on pouvajt sans difficulté passer d'un système à l'autre. Quant à la réduction d'vm système de forces à une force unique et à un moment, on peut la déduire des formules précédentes en prenant pour le plan (Ç"ti"C1) le plan à l'infini. Nous examiaeroDS ce cas dans le prochain numéro.

68. COMPOSITION DES FORCES DANS l'ESPACE AU MOYEN DU PLAN A l'iNFINI

Si J'en choisit, pour décomposer les difTérentes forces suivant le procédé indiqué daps les numéros précédents, un point situé à distance ^nie^ et comme p|an, le plan à Tinfini, on obtient, pour les composantes d'une force qiielcoqque du système, la force olle-môme transpprtée parallèlement à sa direction de façon qu'elle passe par le point, et un montent qui est égal au moment dp la force par rapport i. ce point. La déterini-

12H C0lirt>SITION DKS fOKUCS.

nation de la résultante des forces qui passent par le point choisi n'est autre chose que la composition des forces données, comme si elles agissaient toutes au mCme point. Soit M cette résultante ; elle reste constante

en grandeur et en direction, quelle que soit la position du point choisi: elle passe donc toujours parle même point du plan à l'infini, propriélé qui n'est d'ailleurs que rc.\lension au plan à l'inllni de la propriété générale démontrée an n' 60, p. 204. Nous avons aussi démontré, dans le mônie numéro, que la hauteur de la résultante qui passe par le point, par rapport au plan choisi, est indépendante de la position du point; il cette propriété correspond, dans le cas actuel, la constance de l'intensité de la résultante M, car le plan Si l'inflni doit être regardé comme perpendiculaire à tous les rayons d'une gerbe.

Quant t la détermination du plan correspondant au point choisi, plan dont l'intersection avec le plan h l'infini donne la ligne d'application de la force à l'infini, elle se fera comme dans le cas général : on composera mts comme au n' 60, p. 204, et le moment résultant 3Î sera la B de la force à l'infini.

En comparant les opérations indiquées ici avec celles qui correspondent à la décomposition générale du n° 60, p. 201, on voit qu'on est dispensé d'effectuer la décomposition de la force A, fig. 122, p. 202, en deux composantes B et C, car la composante B, qui passe par le point choisi, est égale à A ; en outre, on ne peut se passer des moments pour la détermination du plan R. Comme d'ailleurs les droites, points et plans correspondants sont plus faciles à déterminer, quand on a une force à distance finie M et une force à l'infini 9J, que quand on a deux forces à distance finie M et N, il convient de se servir du plan à l'infini pour la composition des forces dans l'espace. Nous indiquerons dans un des nu-

COMPOSITION DES FORGES DANS L*ESPAGE AU MOYEN DU PLAN A l'iNPINI. 237

méros suivants les moyens pratiques d'effectuer cette composition ; nous rechercherons auparavant comment se comportent, dans ce cas, les propriétés projectives.

Soient M la force à distance finie et ^l la force à Tinfini, auxquelles on a réduit un système de forces donné, en décomposant chaque force suivant deux directions dont Tune passe par un point fixe à distance finie, et dont l'autre est située dans le plan à Tinfini. Il s'agit de déterminer le plan correspondant à un point quelconque x.

Soit 9? le plan de projection de la force à l'infini 91; la droite /, qui joint le point x au point d'intersection de ce plan et de la force M, est une directrice du système; elle est, par suite, située dans le plan cherché. Il ne reste plus dès lors, pour obtenir ce plan, qu'à composer les deux moments 91 et X M en partant de l'intersection / de leurs plans respectifs. Nous réduisons les deux moments à la même base, en prenant comme bras de levier commun la distance */j du point x au point de rencontre Mîî. Nous portons, pour cela, la force M sur sa direction à partir de ce point, et la perpendiculaire H abaissée de l'extrémité de M sur /, est la longueur représentative du moment de M. Nous réduisons aussi le moment 9t à la même base /, , de telle sorte que /jRj = 9t, et alors R, est la longueur représentative de ce moment. Cela fait, nous composons ensemble H et Rj, en portant R, à partir de l'extrémité de H dans le plan 3f parallèle à 91, perpendiculairement à /j. Le plan cherché QQ' passe par l'extrémité de R^. L'intersection de ce plan QQ' avec le plan 9Î' est parallèle à /, , puisque les plans 9t et 9i' sont parallèles ; par suite, cette intersection est normale à Rj et tangente au cercle décrit du point M91' comme centre avec Rj pour rayon. Le plan QQ' est dès lors tangent au cône qui a son sommet à l'origine de M et pour base le cercle 9Î'.

Uéquation /jR| = 9Î est indépendante de la direction des lignes l^ et Rj dans les plans 91 et 91'. Par suite, le cône que nous venons d'indiquer sera le môme pour tous les points du plan 91 situés à la même distance du point M9Î. Nous pouvons donc dire d'une façon générale :

Si^ par les extrémités de la force M et par la force à V infini^ on mène les plans 91 et 9i', et que, de ces extî'émités comme centres, on décrive y dans les deux plans, deux cercles ayant respectivement pour rayons les longueu7*s 1^ et Rj, qui mesurées, Vune à Céchelle des longueurs, Vautre à Véchelle des forces, donnent un produit égal au moment ^ de la force à F infini; que Ton considère Vun quelconque des deux cercles comme la base d'un cône ayant pour sommet le centre de t autre cercle, le plan correspondant à chaque point de ce dernier cercle est un plan tangent au cône passant par ce point, et inversement.

Le choix à faire entre les deux plans tangents que donne la construc-

118 t;U])('(iMTl(tN IiBb t

tion, ail les di-Ux pdlnls du <!erdo ti&n« la conslrucliou inverse, ilnit étVÉ tel que le aeas de H, vers /, soil le «enti dé U rotation dU mortietit 'ii, connue on l'u indiqué suc la figure.

Les relations réciproques que nous venons d'exposer doDnent une idée très elaire des points et plans correspondants. Considérons, par esemple, les points et plans correspondants situés sur oU passant jiiar une directrice l. Au point M3t de I correspond le plan ^ ; si le point x s'éloigne du point M3Î sur la directrice I, le plan QQ' se rapproche de M, et, lorsque le point x est à l'infini sur la directrice /, le plan correspondantesl /M. Comme la ponctuelle x et le faisceau de plan^ QQ' sont des formes projectives, toutes les ponctuelles obtenues en coupant le faisceau 00' par une droite quelconque seront aussi projectives à x. Si en parliculltf on coupe le faisceEiu par une droite située dans le plan 9!' et passant par l'ejctrcmité de M, chaque extrémité de M correspondra au point & l'infini do l'autre ponctuelle, et les produits des scf^ltiÈtits correspondants seront conslunls. Soit par suite {fîg. Iâ7) r: un autre point de la directrice /, tl f [, /, les seglTiËnts interceptés par les plans wP et kQ correspondants aut p6ints n et x, sur tine directrice qoolronqne tracée dans le plan 9t'. On aura : ', f , = ',f,. Soit )> l'angle formé par les deux directrices I ail; noua aurons :

H, = f, sin 1 et, comme H, l, = ifi, /,f,sinX = /,/,sini=9t.

Il convient d'observer que, dans les produits entrant daris ces éqdations, l'une des longueurs doit Être raesUrée ii l'échelte des lignes, l'autre à l'échelle des forces.

Les droites P et Q, qui joignent les points xx', itir', sont des droites torrespondanles du système donné, car si au point x correspond le plan xQ, qui intercepte sur / le segment f ,, ûa point x' correspond de la même manière le plan x'Q, qui intercepte sur / le segment /,. Si don6 on a déterminé le plan QQ' correspondant à nn point x d'une droite P, ce qui revient à construire l'intersection fc'V dé ce plan avec SR', on obtiendra un point it' de la droite Q correspondante de P, en menant dans le plan 'Jî, par le point PSÎ' = x', la directrice x'u', qui coupe le plan QQ' en On point de Q- On obtient un second point ic ati moyeh de la proportioniiahlé des segments de / et f .

Nous avons démontré d'une manîÈi-e générale, au n" 61, p. 207, que deux groupes quelconques de deux droites correspondantes sont sitnés sur un hyperbolo'ide. Dans le cas actuel, l'une des quatre droites s'éloîgnant à 1 inQni, l' hyperbolo'ide devient un parabolo'ide. Cela résulte aussi immédiatement de ce que nous venons de démontrer, car deux droites

AXE CENTRAL b'UN SYSTÉHE DE FORCES. 23^

correspondantes déterminant sur les directrices / et /' des segments proportionnels, engendrent un paraboloïde, et à chaque génératrice de cette surface correspond une autre génératrice. On peut aussi déduire facilement des équations écrites ci -dessus la position respective des génératrices conjuguées. On déduit, en e£fet, de ces équations :

* * /j sinX /, sinX

Les rapports y-, y- étant constants, les produits /, /^ seront aussi

constants, et par suite les génératrices conjuguées déterminent sur chaque directrice du paraboloïde une involution dont le centre est sur.

Les points d'intersection des trois lignes MPQ avec le plan à Tinfliii sont situés sur une même génératrice et par suite sont en ligne droite. Si dotic, par un point, on mène des parallèles à ces trois droites, elles seront dans Un môme plan, et on pourra décomposer la foi-ce M suivant les deux autres directions. Nous avons effectué cette décomposition au point X et obtenu les deux composantes P et Q' ; puis nous avons ramené la composante Q en Q' au moyen d'une parallèle à /.

Pour obtenir le volume 6 du tétraèdre formé sur P et Q, nous n'avons

qu'à multiplier par les rapports — , et — ; le volume du tétraèdre dont

les sommets sont les points xx' rie'. Soit [i l'angle formé par la résultante M avec le plan 91 ; nous aurons :

d'oft

Té t. [/f] = ^ (/j + /,) (/', + /',) sin X .M sin (i

XX' l\ + l\ ' IITC' XX'' /', + /', "" /j + //

6 = ^ /, /*, sin X . M sin |a = - M9Î sin (i. 6 b

On voit que le volume du tétraèdre est équivalent à celui d'une pytamide ayant pour base la surface représentative du moment de la forcé à l'infini, et pour hauteur la hauteur de la force finie par rapport au planât.

t DES FonCES,

AXB CKNTB-VL I» US SÏSTKHE DE FORCES

Nous avons démontré au a' 61 , p. â09, que, pour uu système de forces donné, le volume du tétraèdre construit sur un système quelconque de deux forces équivalent au système donné est constant. Or M est constant que) que soit le point choisi, pourvu qu'on prenne comme plan le plan h l'inflni, et par conscquent 91 sin [i est aussi cunstant. La force à l'inGnî sera donc minima pour sin n ;= I ou }i.= 90'. A ce cas particulier correspond une position unique C de la résultante M, et celte ligne C est appelée ttxe reiilrat du système. D'après ce qui a été dit précédemment, il est facile de construire l'axe central, car il suflîl de chercher le point pour lequel le plan correspondant est perpendiculaire à M. Menons, par l'extrémité supérieure de M, un plan perpendiculaire à M ; le point cherché doit se trouver sur l'intersection m de ce plan et du plan 31 (fig. t27}. Appelons m, la distance de ce point h M mesurée sur la ligne m; nous aurons:

parce que -; — est le rayon du cône 91' auquel le plan est tangent.

Il ne peut y avoir aucun doute sur lo sens suivant lequel m, doit être porté si l'on a soin d'opérer comme nous l'avons indiqué. On voit d'ailleurs immédiatement sur la ligure que m, doit être porté en haut, car, en se hornant aux rotations plus petites que 90', le plan 9J doit, pour devenir normal h M, tourner en sens opposé au sens de la dotation qui rapproche ce plan de QQ'. Par suite m, doit être porté dans un sens opposé à /,. L'extrémité de w, détermine la position de l'axe central C.

Laxe central est rencontré par toutes les lignes de plus courte distance des directiotis de deux forces conjuguces. Supposons, en effet, l'axe central G construit; la ligne de plus courte distance entre une force P et cet axe C est une directrice, car elle rencontre C et elle est située dans un plan normal à C. l'ar suite, cette plus courte distance rencontre aussi la direction de la force Q conjuguée de P, et elle est perpendiculaire à un plan parallèle à ce plan. La ligne de plus courte distance entre P et C est donc aussi la ligne de plus courte distance entre P et Q, et, comme il n'y a qu'une seule ligne de plus courte distance entre deux droites, il en résulte que toutes les lignes de plus courte distance rencontrent l'axe central.

Cette propriété permet de déterminer facilement l'axe central au

COMPOSITION DES FORGES DANS L'ESPACE AU MOYEN DU PLAN A l'INFINI. 24i

moyen d'un système de deux forces, car on obtiendra un point de cet axe en partageant la plus courte distance entre les directions des deux forces en raison inverse des hauteurs de ces deux forces par rapport à un plan perpendiculaire à la directrice de Taxe central. La même construction peut d'ailleurs s'appliquer en prenant, au lieu de la plus courte distance, la ligne qui joint les points de rencontre des deux forces avec un plan quelconque perpendiculaire à Taxe central.

Nous avons vu précédemment que les deux forces d'un même groupe peuvent être déplacées parallèlement à l'axe central sans cesser d'être conjuguées. Supposons que nous ayons ainsi déplacé tous les groupes possibles de systèmes équivalents de deux forces, de façon que leurs lignes de plus courte distance soient situées dans un même plan, nous aurons un moyen commode d'étudier toutes les positions possibles des éléments conjugués. Nous utiliserons pour cela la fig, J27, p. 236, en supposant que M soit normal au plan 91, et que / soit la plus courte dislance des directions conjuguées P et Q, c'est-à-dire que / soit perpendiculaire à un plan parallèle aux droites PMQ, par exemple PM'Q'. Nous aurons à faire en même temps H = M. Gela posé, désignons par x^ l'angle que le plan QQ' fait avec M; nous aurons MtgXj = Rj. Si nous posons 5ï=Mc, c représentant une longueur constante, que l'on peut regarder comme l'unité du système, et si nous nous rappelons d'ailleurs que S=/,R,, nous pourrons établir, entre la position d'un point x situé à une distance l^ de l'axe central et la position du plan correspondant qui fait un angle x, avec l'axe, la relation simple

Pour /j = 0, on a X, = 90% c'est-à-dire que, pour tous les points de l'axe central, le plan correspondant passe par la force à l'infini. Pour /,=x, on a X, =0, c'est-à-dire que, pour tous les points de la force à l'infini, le plan correspondant passe par Taxe central. Enfin, pour /, =c, X, =45% c'est-à-dire qu'aux points situés à une distance c de l'axe central correspondent des plans inclinés à 45** sur l'axe. L'équation précédente détermine complètement la position respective des éléments correspondants, puisque le plan correspondant à un point passe par la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe central, et qu'inversement le point correspondant à un plan est situé sur la perpendiculaire à Taxe central menée dans ce plan par l'intersection du plan et de l'axe.

Si l'on connaît les plus courtes distances l^ et /,, par rapport à l'axe central, de deux directions conjuguées, ainsi que les deux angles x, et X,, la position de ces directions [conjuguées relativement à l'axe central sera complètement déterminée, car chacune d'elles est située dans un

Ua COMPUSITIUN DES fUnCKH.

plan perpendiculaire k la direclion commune do /, ot l,, et Tait avec l'axe l'HDglâ s, ou l'angle x,. Si nou^i écrivous l'équation /, tgx, =c sous la forme

',lg«, = ',tgx„

/, et /, représenterant, dans cetlo équation, les plus courtes distances à l'axe central de deux droite» conjugiiées (ce& plus courtes distances sont sur une même ligne droite), et »t,, x, représentent les angles que ces droites font avec l'axe. Nous avons ludique «es angles sar la fig. 137 ; mais il faut toujours supposer que, sur cette Qgure, le plan 9t est perpendiculaire à M, au lieu d'être oblique. Deux droites conjuguées quelconques restent conjuguées si on les lait tourner autour de l'axe, et, dans cette rotation, elles engendrent deux hyperboluSdes de révolution. Doux hyperboloïdes conjugués ne peuvent jamais avoir aucun point réel commua, à moins qu'on n'ait /, ^ l^. Si en effet on coupe deux hyperboloîdes par un plan passant par l'axe central, on obtient deux hyperboles dont les asymptotes font avec M l'angle x, pour l'hyperbole dont l'axe réel est /, , et l'angle x, pour l'hyperbole dont l'axe réel est (,. Or, s! ou suppose, par exemple, /, <f,. on aura aussi x, <x,, et par suite l'hyperbole /, enveloppe complètement l'hyperbole /, sans avoir aucun point commun avec celle-ci.

Deux hyperboloîde.s conjugués n'ayant aucun point commun, il en résulte que ces surfaces ne contiennent aucune directrice du système rie forces donné.

Si Ij ^/,,on aura aussi x,=x, et les deux hyperbololdes conjugués se confondent. Dans ce cas, les génératrices rectilignes de l'un des systèmes de cet hyperboloîde unique sont toutes des directrices; les génératrices de l'autre système sont conjuguées deux à deux, et leurs points de rencontre avec le cercle de gorge forment une involution dont le centre est le centre de l'hyperbololde. Cet hyperboloîde est un de ceux queaoua avons considérés au n' 61, p. 206.

Si l'on a i, =3 j, = c on aura x, = x, = 45*, et l'hyperbole génératrice de l'hyperboloiidg est équilatère.

il résulte de ce qui précède que, parmi tous les hyperbololdes en nombre infini, correspondant à une même valeur de /,, c'est-à-dire nyant le même cercle de gorge, il n'y en a qu'un seul qui contienne des directrices. Cet hyperboloîde est son propre conjugué.

RELATIONS ENTRE LA FORCI A L'INFINI BT LA POUGI FINIE CORRESPONDANTE. 94d

70. RELATIONS ANALYTIQUBS ENTRE LA FORCE A l'iNFINI ET LA FORGE HNIB CORRESPONDANTE.

Si Tune des deux forces conjuguées est à Pinfini, Tautre doit passer par le foyer f^kift^iO^^O du plan à l'infini. Les coordonnées de cette force seront par suite ^ki^ki^ki'^it"hi^9i'> 6^ ^^ ^ pourront être pris arbitrairement, pourvu qu'ils satisfassent à réquation de condition

qui exprime que ces coordonnées sont celles d'une droite. Ofl en dMttit» oomnie an d* 05, p. S88 :

Smm « Sa* = OnOf* + Of^kt + «IfÛl» = SU*

et Ton a d'une &çon générale :

mi» -f n<» = a».

Les coordonnées de la droite n conjuguée de m sont par suite :

Pour déterminer la grandeur des forces M et N, on a :

w = ea, «=aO

c est-à-dire M = e» et N = 0, comme On pouvait le prévoif .

Pour tous les plans qui passent par la droite à Tinfini n, on a, diaprés le n* 47, p. 165 :

V = ihz, Ta' = wsi, f = nj,.

En substituant ces valeurs dans l'équation du n" 67, p. 232, on ob^iéni :

d'oïl

1 oïj coj njs co, 1 coj n,i

COj Ci>| 1 Tiff 'lis ''Si "IS

Enfin la hauteur de la force M par rapport au plan 91 est :

Msin|i=— -,

f:(»MPOHITHIN liES (■■OIICES.

il'oùc

la déduit, puisque M =

irrÎTo au même résultat en formant, par an procédé puremeat géométrique. B âe l'angle que la druile a Tait avec le plan n. Pour obtenir les coordonnées e contrul, écrivons :

^, + Un"l)-

,<fl, + n,

Il suffit, pour que les n soient tes coordonnées d'une droite perpendieulsiro 1 l'axe qui passe par le point à l'inllni inOtiOnO, que ces coordonnées soient proportionnelles aux quantités entre parenthèses: le facteur dlts'o est ■ëcessaire pour que l'on ait :

De ces espr«Bsione, on déduit facilemant les coordonnées de l'&xe contrai, savoir :

En substituant dans 91* les valeurs de n ci-dessus, on a : W'^ 1 s» ^'"'

d'où on déduit sin )j. =: 1 , ce qui vérille la perpendicularité de l'axe central sur le plan corresponSant 'Sî.

Les autres propriétés, que noua avons démontrées géométriquement dans les deux numéros précédent)!, peuvent se démontrer très tellement par l'analyse au moyen d'une transformation de coordonnées. Prenons pour origine des nouveaux axes le point [xi!/it,u,], et faisons passer ces axes respectivement par les points à l'infini 6n*iiinO, ctjCuCnO, 04,01,0^0, c'est-à-dire prenons pour axe des ;' la droite désiijnée jusqu'à présent par m.

Nous aurons alors :

i = ^j:' + -y y- Jr — '.'-V '^, j, = .^ a* + ^ V' + ^ i' -I- Kl.

RELATIONS ENTRE LA FORCE A L'iNFINI ET LA FORGE FINIE CORRESPONDANTE. 345

0 = e + iî- e' -f -^ V + — i;'

eafib

CdSe €afib Cb^e

CaSe €alSh ^b^e

o=«+-2-r + -ïi-v + -^i:' +

etee

ea^bCc

Dana ces équations, les e représentent, comme précédemment, les coefficients normaux des coordonnées, qui sont désignées par leurs indices, et, dans les deux déterminants de substitution ci-dessous

Pi Pi Ps P*

^41 ^4î ^ki

û*1 Û4î «4ÎI X, Vi Zi 1

Yi Yî Y$ Y4

nous considérons les éléments du second comme les coefficients des éléments du premier.

Après la substitution, nous pouvons disposer d*un u et d'un v, mais toutefois pas d*une manière complètement arbitraire, car il faut, dans le cas actuel, que le

produit fftti\ n* 67, soit égal au produit correspondant formé au moyen des nouvelles coordonnées. Ce produit représente en effet six fois le volume constant du tétraèdre formé au moyen de deux forces correspondantes; c*est un invariant.

Désignons par Uk, comme au n* 66, p. 229, les nouveaux coefficients que Ton déduit d*un coefficient au moyen des atk et des éléments du déterminant de gauche À l'exception des e. Nous obtiendrons, en procédant comme dans ce numéro :

^1 î — S«m — JC, ^28 — Sa*» ^si ^I4 = 'l4 = 0, /j4=84.

'OCJ

On a /,4 = /24 = 0, parce que nous avons fait passer Taxe des z' par le foyer a^i a^%a^%0 du plan à Tinfini, et que les droites à Tinâni ab et bc sont ainsi devenues des directrices.

Si de plus nous prenons les axes des x' et des y\ ou les points (b^ib^^b^^O) et (^4i^4t<^480), dans le plan 7i conjugué à (^iVi^tl), les équations

^l«18 + *»îWa, + *4S«18 = 0, <^4l'*«8+C4in3, + C4,7li, = 0

seront satisfaites, et les axes des x* et des y' seront aussi des directrices. Nous aurons donc aussi :

Sa* =^ Ooé ^^ 0.

Les équations du nouveau système focal sont par suite :

fUe'bCe

'Steaebee fSte'bee

ej,"

eàCc

ûtetec

116 coMpuaiTioN inLa forces.

La racine 9t' dM uouveaut dâtermin&DU de ce« caeiBcienls et le s nouvel angle solide sout :

d'où on âëdult, ce que l'on savait ilAj.'ï :

M en résulte auasi <]ue les coeffleienta du q'E") et :', dans eea équations, lont égaux a — . Mais ea est, comme noua l'avons vu, p. £43, la réaultante a^^asant suivant l'axa <)es c, réaultante que noua dâdigueroDu dorâoaTaot [>ar K, au lieu de M. Les éqnstionB ae réduisent alors aux suivantes :

i' = %', n' = — Itr', On tire des deux dernières équations :

c'aet-à'dire que le plan correapoodact A un point J^.Vril coupe l'axe dea x point doat l'ordonnée eat égala à :,. On tire dot deux premières équations ;

c'est-à-dire que la ligne qui joint le point iiViS,! au point de rencontre du plan correspondant et de l'aie des i est parailMe à la trace de ce plan sur te plan des xy.

Si maintenant on pose s = — - = R, la perpendiculaire R, abaissée de l'origine

du plan sera :

o\ et 0] désignant le ainua et le cosinus de l'augle des axes des x et des y. Mais U distance du point & l'axe des £, mesurée parallèlement au plan dee xg, est :

On en déduit par suite, comme au n° 70, p. :

9t étant le moment agissant dans le plan t>/.

On détermine les coordonnées de deux forces conjuguées par un procédé analogue à celui du n" Sô, p. 233, en faisant

RELATIONS ENTRE LA FORCE A L'iNFINI ET LA FORGE FINIE CORRESPONDANTE. 247

et pour tous les autres indices (Uk = 0, au moyen de réquation

Sam Rmif m^^

d OÙ Ton déduit la relation simple

R*ni,=: ât'm^^, ou R*wu = 9i'n0^,

et pour tous les autres indices m,* =— nu .

Les droites suivant lesquellesi sont appliquées deux forces coi^uguéee quelconques n*ont donc, si Ton fait abstraction des signes, que deux coordonnées différentes. Si Ton £ait varier deux seulement des coordonnées d'une droite qui contiennent les quatre indices 12 3 4, le produit des deux nouvelles coordonnées est constant, puisqu'on doit avoir: mi^fn^k + ^^is'^'^s 'i~^i4''>s8 = 0* ^^^ ^ satisfont à cette condition, car on a ^j 2^34 = ^11317134. Si Ton projette la droite m du'sommet 3 du tétraèdre des plans coordonnés, c'est-à-dire du point à Tinâni de Taxe des z, réquation m^^x -{- m^if/ '\- mi^=:0 de la projection sur le plan xy ne contient, comme terme constant, qu'une seule des deux coordonnées variables. Par suite de cette variation, la projection de la droite sur le plan xy se déplace parallèlement à elle-même, et la distance de Porigine à cette projection est proportionnelle au tenue constant m^ , de l'équation. Enfin, si nous substituons, dans les équations du n* 54, p. 218, du point d'intersection de la droite avec un plan, les constantes 00(v, nous obtenons le point d'intersection de la droite avec un plan parallèle au plan xy, savoir:

u'x' = mi^^-\- m^Vj u'z' = ^541;, n'y' = was; -^m^i^v, u' = m^^l^.

u'x et n'y* ne contiennent aucun des coefficients variables; leur rapport ~ reste par

fruité constant, c'est-à-dire que les points d'intersection de la droite variable m avec un plan fixe parallèle au plan xy sont situés sur une droite fixe qui rencontre Taxe

de« s au point — ~. Donc : si on fait varier les coordonnées m^^et m^^ seules^ la droite

m décrit un paraboloïde dont l'axe des z et la droite (\ Vinfini du plan xy font partie» Cest le paraboloïde du n» 68, p. 238, car la droite n en fait aussi partie. Appelons m^ le radical

m, = v/'wSi -f fw«,8 -h 2iWsim3jO,.

La distance de la trace de la droite sur le plan xy à l'origine est /{ = — ; celle

de la trace correspondante «est /2= -2.. Or, comme m^ = 719, et que "iis^s* ®8t constant, on aura :

/j/g = i- = — i- s const.

Donc : les couples de droites correspondantes déterminent sur une génératrice du para- UfkUde une involttiion dont le centre est sur Caxe des « (n* 68, p. 239).

D'après ce que nous avons dit p. 230, on obtiendra la grandeur des forces qui agissent suivant deux droites conjuguées au moyen des équations

oïl m et » ont la signiûcation indiquée p. 230.

Pour détenniner l'axe central tlauB ce systàme, on a, d'aprte ca qui a. éti di

m,, = m|, — mn = 0, m,)=— -jr t^- ""#1 = -g" "i, >n,i = R.

Les trois derniâres CDordoniiéea eoat cailea d'un pUo (guelcoiique normal à l'axe central, ou, ae qui revient au inâme, les coordoonâas d'une droite conjuguée :

Enfin, en substituant cea valeurs dans l'expression de 'ilt*, p. 243, ou obtient le moment (i par rapport & l'axe central

Noua aTonB développé ici les formules convapoodantes à cellea des a" 67 et 6S, el toute* les propriétés, dont la démonstration ne résulte pas immédiatement de ce» formules, peuvent se démontrer làcilement, de sorte que nous n'avons pas besoin de nous arrêter plus lon^tËmpa sur ce sujet. Nous allons mninteuuut montrer comment on peut, dans la pratiijue, exécuter la composition des forces en employant les procédés de la géométrie descriptive.