CHAPITRE IV. — VOUTES SPHÉRIQUES ET EN SPHÉROÏDE. 3o
qui se construiront aisément , ainsi que l'indique notre épure ; et alors un point quelconque t' de lellipse a'& fournira, par ses coordonnées, les deux axes O'H' et OV de Thyperbole H'a' suivant laquelle se projette ici une ligue de la première courbure; tandis que chaque ligne de la seconde courbe se projettera, sur ce plan , suivant une ellipse Q'M' dont les axes seront fournis par les coordonnées d'un point m' pris à volonté sur Fhyperbole auxiliaire a'y\ On saitd ailleurs que les points (a, a') et (&>, a') sont les deux ombilics {G. D,, n° 739) autour desquels lellipsoïde présente une courbure uniforme dans tous les sens,comme celle d une sphère.
714* Mais , pour la question de stéréotomie , il ne faut pas tracer arbitrairement ces deux^ séried de lignes de courbure. On devra d abord diviser la demi-' ellipse verticale WG^ en un nombre impair de parties égales; et après avoir projeté chaque point de division, tel que 2', au point a sur le plan horizontal, on mènera les coordonnées %h et AH de Thyperbole auxiliaire , ce qui déterminera les axes de lellipse aH suivant laquelle se projette laréte de douelle qui correspond à 1 assise considérée. Ensuite , pour avoir la pi*ojection verticale de cette même arête de douelle, il faudra projeter le sommet H en H'' sur lellipse principale de htfig. 3; et ce dernier point H'^ étant ramené en H' sur la^^. 2,permettra de tracer les deux coordonnées lA'i' et t'u' de lellipse auxiliaire, lesquelles seront les demi«-axes de Thyperbole demandée M!^'.
Maintenant , on divisera le quart AB de Fellipse horizontale en parties égales BL, LM , MN,... ; puis, en projetant le point M en M\ on mènera par ce dernier les deux coordonnées Wm' et m'Q' de Thyperbole auxiliaire, qui fourniront les axes de lellipse M'Q'. Eùsuite , après avoir ramené le sommet Q' en Q" sur l'ellipse principale de la^îjf. 3, on projettera ce dernier point Q" en Q, et Ton tracera les deux coordonnées Q9 et qs de lellipse auxiliaire, lesquelles seront les axes de Thyperbole cherchée QM.
Les lignes de seconde courbure, telles que (Q}M[, Q^M'), serviront à former les joints montants, et il faudra les interrompre alternativement dune assise à lautre; tandis que les lignes de première courbure, telles que (2H9 2'H'), qui forment les arêtes de douelle et correspondent aux joints de lit, devront être continuées dans toute leur étendue. C'est d ailleurs ce que montre Tépure, dans les trois autres quarts de lellipsoïde qui n ont pas servi à effectuer les opérations graphiques.
715. Nous n avons point parlé jusqu'ici delà projection des lignes de courbure sur le plan de la^î^. 3, attendu que cette projection n est pas nécessaire pour le problème de stéréotomie. Mais si Ton veut compléter la représentation gra-
3lO LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES.
phique, il faudra eneore tracer une ellipse auxiliaire X^Z" dont les axes seront
{grandeurs qu'il est facile de construîi^, comme 1 Indique notre épure; ensuite^ après avoir ramené le point a' en D", on tracera les coordonnées D''T" et U"îi" qui seront les axes de TcUipse T''H"a" sur laquelle se projette la ligne de première courbure (aH, 2' H'). Quant à la ligne de seconde courbure (MQ, M'Q'), elle se projettera aussi sur une ellipse WQ^eT dont les deux axes s obtiennent en projetant le point M en M'', puis en traçant les deux coordonnées MV et v"e" de lellipse auxiliaire. On voit donc que , sur le plan de la^. 3, les lignes de courbure des deux séries se projettent tontes sur des ellipses, lesquelles se trouvent tangentes à la corde Xf'Z" qui touche elle-même lellipse principale A"C ' à lendroit de l'ombilic a".
Pl. 44. 716. Des joints normaux. Considérons le voussoir qui a pour douelle le quadrilatère curviligne projeté sur XfxvTt ( fig. i ) , et dont les quatre côtés se cou- ' peut déjà à angles droits dans 1 espace , d'après la propriété des lignes de courbure (G. D., n^ 702). Il faudra d abord construire le plan tangent de l'ellipsoïde au point (X, XQ, eu le faisant passer par les deux droites qui auront pour projections horizontales et verticales, les tangentes aux courbes X|j.,X7r, et X'jx% XV ; tangentes faciles à tracer, puisque ces courbes sont des sections coniques dont on connaît les deux axes. Ensuite, perpendiculairement à ce plan tancent, on mènera ;la normale (Xp, X'p') dont on cherchera la rencontre (f», p') avec l'ellipsoïde d'extrados : pour cela, on conduira par la droite (Xp, Xy) un plan perpendiculaire au plan vertical , et qui coupera lextrados suivant une ellipse dont on trouvera les axes en les comparant à ceux de la section parallèle faite par le centre, ainsi que nous Tavons exécuté au n^ 710; alors la i^ncontre de cette section elliptique avec la normale déterminera le point de» mandé (p,p').
En opérant semblablement pour les normales menées par divers points f ,fx,. .. de laréte de douelle, on déterminera le joint de lit relatif à cette arête, lequel sera une zone de surface développable (G. D., n^ 699), comprise entre la courbe ( Xfi , X'[i') , la courbe d'extrados, et deux droites. On trouvera de même le joint supérieur relatif à l'arête de douelle (m;, tt'v') , et les deux joints montants qui passeront par les lignes (Xtt, XV), (julv, fiV); et ces quatre joints seront évidemment rectangulaires entre eux , en même temps qu'ils se trouveront exac-» tement normaux à l'intrados.
