CHAPITRE IV. — DES LIGNES COURBES

581. Trouver la perspective d'un hexagone régulier, dont un coté est parallèle Pl. 18 au tableau. PiQ ,q^

On peut aussi tracer cette perspective sans constniire le géométral, en* se donnant la grandeur ab du premier côté, et sa distance a^ au tableau ; car si, après avoir tiré Pa et P6, je mène la droite c^D, on sait {n? 305) que cette dernière déterminera une profondeur A'a = a&y de sorte que A'B' sera la perspective du côté donné. Ensuite, comme la diagonale BH formerait avec B6 un angle de 3o^, si je rabats Vœil en O et que je tire O'F de manière à former un angle PO' F = 3o**, le point F sera le point de fuite de cette diagonale, laquelle aura ainsi pour perspective B'F. Cette dernière droite coupe A'P au point H' qui me permet d'achever le rectangle perspectif A'B'G'H'; et la diagonale A'G' me fournit le centre G par lequel je mène une horizontale indéfinie qui, combinée avec G' F et A'F, déterminera les deux derniers sommets E- et K'.

D'ailleurs, on peut remarquer que comme le point I est le milieu du rayon CE parallèle au tableau, on doit avoir C'r = TE' en grandeur absolue. En outre, les côtés K'H' et B'E' doivent concourir vers un point de fuite F' situé à une distance PF' = PF.

Si Ion n avait pas de rapporteur pour former langle PO' F = 3o**, on pourrait construire un triangle équilatéral aêy, et mener O'F parallèle géométrale au côté êy.

582. Trouver la perspective d'un octogone régulier, dont un côté est parallèle au tableau.

Soit encore ab la grandeur de ce côté, et 6^ sa distance au tableau; en me- FiG. 13. nant Pa, P6 et De?, on déterminera, comme ci-dessus, la perspective A' B' du premier côté. Ensuite, pour avoir le côté xy du carré circonscrit, qui nous servira de moyen auxiliaire, je décris sur ab une demi-circonférence, et je prends les distances 6Y et aX égales à la corde bjr" qui soutend un quart de cercle, ce qui me donne la vraie longueur XY du côté de ce carré. Alors les droites PX et PY, combinées avec le prolongement de A'B', déterminent deux sommets x' et y' de ce carré perspectif, et on l'achève aisément au moyen de sa diagonale Dx' qui fournit le sommet z' et le côté zV. Cela posé, ce dernier côté détermine les sommets H' et K' de l'octogone, et les droites DR', DH', DA', DB' fournissent les quatre autres sommets L', M', G' et E'. D'ailleurs les points M', 1', E', doivent être sur une parallèle à XY, aussi bien que L', S', et G', ce qui fournira des vérifications.

585. Nous avons dit (n** 575) que la perspective d'un cercle était toujours une ellipse; mais cet énoncé n'exclut pas le cas où cette ellipse aurait ses deux

l5o LIVRE II. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

axe^ égaux, et deviendrait conséquemment un cercle. Or cela arrive évidemment quand le cercle original est dans un plan parallèle au tableau, puisqu alors le cône des rayons visuels est coupé par un plan parallèle à sa base; mais sans rien changer au tableau ni au point de vue, le cercle peut prendre une seconde direction dans laquelle sa perspective se trouvera encore circulaire. Pl. i8, En effet, soit OAB un cône dont la base est le cercle AEB que nous regar- FiG. 4. derons comme horizontal; en abaissant sur le plan de cette base une pei^endi-cuiaire OZ et tirant le diamètre CZ, nous déterminerons un plan OZG qui four* nira les deux arêtes particulières SA et BS, et qui se nomme le plan principal du cône, attendu qu'il divise évidemment en deux parties égales, toutes les cordes de cette surface qui lui sont perpendiculaires. Gela posé, si Ion coupe le cône par un plan VXY perpendiculaire au plan principal, et qui soit incliné de telle sorte que sa trace verticale VX fasse un angle OA'B' égal à OBA, je dis que la section A'MB' ainsi obtenue sera un cercle.

Pour le démontrer, par un point quelconque M de cette courbe , menons un plan parallèle à la base; ce plan coupera le cône suivant un cercle GMH, et la section donnée suivant une droite MQ évidemment perpendiculaire sur le plan principal OAB ; de sorte que MQ sera une ordonnée commune aux deux courbes , et perpendiculaire sur les deux diamètres GH et A^B\ Alors, dans le cercle GMH, on aura

(i) MQ^ = GQxQH;

mais les deux triangles A'GQ et B'HQ étant semblables d'après la condition admise plus haut, que l'angle OA'B' égale OBA, on aura la proportion ^

GQ:B'Q::A'Q:HQ,

laquelle change l équation (i)eîï celle-ci : (2) MQ' = A'QxBU

Par là, on voit que chaque ordonnée de la section A' MB' est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre A'B' qui lui est perpendiculaire ; donc cette section est un cercle. Elle est connue sous le nom de section anti-parallèle, parce que le triangle OB' A' étant retourné , aurait sa base A' B' parallèle à AB.

PiG. 5. 3t84. Diaprés cela, étant donnés un cercle AEB dont je regarde le plan