Incidence normale. La face
par laquelle pénètre le rayon SO
est parallèle à Taxe optique. Les
rayons ordinaire et extraordinaire
se propagent à l'intérieur selon la
môme direction (fig. 79) avec des
vitesses différentes. A la sortie en
0', ils se réfractent différemment,
et font avec le rayon incident les angles Dq et D^ que l'on trouve
en appliquant la construction d'HuYGENs. Il faut pour cela prolonger
le rayon incident jusqu'à sa rencontre avec la surface d'onde du cristal
tracée autour de 0', construire les plans tangents BqAq et B^A^ qui sont nécessairement parallèles à l'axe, et par les droites A^^ et A^ mener des plans tangents à la surface d'onde du milieu extérieur. Les formules (a. 34, p. 27)
Fig. 79.
no = -
sin (A + D)
sin A sin [A + D')
sin À
et
s'appliqueront alors et permettront de déterminer Uq et n^.
7L Dispersion. La dispersion se produira évidemment pour les deux rayons ordinaire et extraordinaire, car pour chaque couleur, nous aurons une surface d'onde distincte. Ces surfaces sont concentriques, et leurs axes principaux coïncident, mais ont des longueurs différentes, qui croissent avec la période des vibrations.
§ 6. RÉFLEXION TOTALE, i
72. Section quelconque. Considérons un premier milieu isotrope plus réfringent que le cristal. La construction d'HuYGENs nous
1 H. DE SÉNARMONT, Compt. rend. Acad. Se. Paris. 42. 1856, 65. Pogg. Ann. 97. 1856, 605. Journ. de Math. 1. 1856, (2), 305. Ch. Soret, Arch. Se." Phys. et •nat. 9. 1883, 5. Tii. Liebisch, N. Jahrb. f. Min. L 1885, 246: 2. 203; 2. 1886, 52.
Réflexion totale
montre que, lorsque l'angle d'incidence prend une certaine valeur d^ pour une position donnée de la surface d'onde, une onde plane se propage alors normalement au milieu de séparation. Cette onde plane qui est ordinaire, est tangente à la nappe sphérique et normale au rayon lumineux qui est contenu dans le plan réfringent. Pour une valeur de l'angle d'incidence supérieure à ô„, le rayon ordinaire subira la réflexion totale.
Pour une autre valeur particulière de l'angle d'incidence qui, selon que le cristal sera positif ou négatif, est plus petite ou plus grande que #0, l'onde plane extraordinaire se propagera à son tour normalement au milieu de séparation, mais comme le rayon lumineux ne coïncide en général pas avec cette normale, celui-ci sera situé, selon la position du point de contact, soit dans le premier milieu, soit dans le deuxième, ou encore dans le plan réfringent lui-même.
La réflexion totale aura lieu lorsque le rayon réfracté se dirige parallèlement à la surface de séparation; Tonde plane qui lui correspond est généralement inclinée sur ce plan, et ne lui est perpendiculaire que pour
certaines positions du rayon qui n'est lui-même généralement pas contenu dans le plan d'incidence comme l'on sait. La construction d'Huygens montre que pour trouver le rayon extraordinaire réfracté provenant d'un rayon incident quelconque, il faut mener par la droite B (fig. 80), un plan tangent à la nappe de l'extraordinaire. La
Fig. 80.
Fig. 81.
Fig. 82.
limite de réflexion totale sera atteinte au moment où le plan mené par JB, sera tangent à cette nappe dans le plan réfringent lui-même, ce qui aura évidemment lieu lorsque la droite BB' normale au plan d'incidence AB, sera elle-même tangente à la nappe en question.
Cristaux aniaxes
Le point R de contact dans le plan réfringent qui est celui du dessin (fig. 81), est situé, en général en dehors du plan d'incidence AB normal au plan de figure, et l'onde plane dont la trace est la droite BB\ est en général oblique sur le plan réfringent. Il est aisé de voir que le rayon se propagera dans le plan d'incidence , lorsque les axes de symétrie de la courbe d'intersection (qui est ici toujours une ellipse), de la surface d'onde avec le plan réfringent coïncideront avec le
plan d'incidence lui-même (fig. 82).
La vitesse de propagation du rayon extraordinaire dans le plan de la lame variera avec l'orientation du plan d'incidence; il s'ensuit que les rayons extraordinaires qui subiront la réflexion totale, ne seront plus situés, comme dans les milieux monoréfringents, sur un cône circulaire, ce qui est le cas pour le rayon ordinaire (fig, 83), mais feront avec la normale au
Fig. 83.
plan de séparation des angles 6 variables, donnés par la relation
n smw = ïK = ir
dans laquelle la quantité V (fig. 81) est proportionnelle à la vitesse AB de déplacement de la trace BB' de l'onde plane dans le plan de la lame. Cette quantité V ne doit pas être confondue avec la vitesse normale AN (fig. 84), car la droite AB qui, dans le plan réfringent, joint le centre de la surface d'onde avec la trace BB'y n'est pas normale à l'onde plane. L'équation qui précède permet de construire le lieu des points B, c'est-à-dire la courbe atteinte dans le plan réfringent après une unité de temps, par les ondes planes correspondant aux rayons comme AR^ qui se propagent dans ce plan. Il faudra pour cela déterminer la valeur de l'angle limite pour tous les plans d'incidence passant par la normale à la face réfringente. Cette courbe B sera évidemment la podaire de l'intersection de la surface de l'onde avec le plan réfringent. Si cette intersection est un cercle, le point B se confond avec le point JB, et le rayon sera normal à la trace de BB\ la quantité n^ de l'équation
7*1 sin ff s= n^ = '
sera alors un indice de réfraction pour un rayon.
Réflexion totale
Si riniersection est une ellipse, comme c'est le cas pour Tonde
extraordinaire des cristaux uniaxes, la quantité W2 = tf définie par
la relation précédente, n'est pas l'indice de réfraction d'un rayon lumineux pour un plan d'incidence orienté d'une manière quelconque. Si toutefois l'un des axes de l'ellipse devient parallèle au plan d'incidence, le point B se confond également avec R (fig. 81 et 82) et la trace BB' de l'onde normale au rayon, se déplace, dans le plan réfringent, avec la même vitesse que celui-ci; n^ sera donc, de nouveau, dans ce cas, un indice de réfraction du rayon.
Fig. 84.
L'angle limite 0 passera par un maximum ou un minimum en même temps que w^, toutes les fois que les axes de symétrie de la courbe d'intersection de la nappe extraordinaire avec le milieu de séparation, coïncideront avec la trace du plan d'incidence sur le plan réfringent. L'une des valeurs de n^ qui rend 0 maximum ou minimum est un des deux indices principaux du cristal, comme nous allons le démontrer.
Pour que n^ soit l'un des indices principaux rig ou n^ du milieu, il faut que l'un des axes de l'ellipse d'intersection ait une valeur égale à celle de l'un des deux axes principaux de l'ellipsoïde direct, ce qui est toujours le cas. En effet, quelle que soit l'orientation du plan réfringent, celui-ci découpera toujours dans la nappe d'onde du rayon extraordinaire une ellipse, dont l'un des axes a une grandeur
Dnparc k Pearce L 5
66 Cristaux uniaxes
quelconque, tandis que Tautre a une valeur égale au diamètre du cercle équatorial de cette nappe ellipsoïdale, diamètre qui est lui-même égal à Vg ou Vp, inverses de n^ et Tig, selon que le cristal est négatif ou positif. Si le cristal est négatif, c'est la valeur minimum par laquelle passe 6 qui détermine l'un des indices principaux, lequel sera alors Wp, car on aura
dans ce cas n^ sin6^ = — = Up. Si au contraire le cristal est positif,
c'est la valeur maximum par laquelle passe 0 qui déterminera rig, car
on aura alors îi.sinO = — = n„.
Vp ^
On peut également se rendre compte des propriétés du cône qui limite les rayons extraordinaires totalement réfléchis, par le raisonnement suivant:
Les rayons qui se propagent suivant toutes les directions possibles dans le plan de séparation, cheminent avec des vitesses proportionnelles aux axes de l'ellipse découpée dans l'ellipsoïde direct par un plan diamétral tournant autour de la normale à la section. Un des axes de ces ellipses a une valeur indépendante de l'orientation de celles-ci, et fournit par conséquent la vitesse du rayon ordinaire; l'autre par contre, varie et devient pour une certaine orientation du plan diamétral égal à l'axe de révolution de l'ellipsoïde.
Il résulte de ce qui vient d'être dit que, pour une plaque orientée d'une manière quelconque, les rayons qui subiront la réflexion totale sont limités par deux cônes différents. L'un, circulaire, a sa génératrice qui fait avec la normale à la section un angle ô^ constant, défini
par la relation
n^ sin^o = Uq
c'est celui qui correspond aux rayons ordinaires. L'autre, non circulaire, a sa génératrice qui fait avec la normale un angle 0^ variable avec l'orientation du plan d'incidence, c'est celui qui correspond aux rayons extraordinaires. Oç est maximum ou minimum, lorsque le plan d'incidence passe par l'un des axes de la section elliptique formée par l'intersection de la lame avec la nappe extraordinaire. De plus, l'un des indices qui satisfait à l'une des équations
7^, sinô^fl^ = n n, sin6^„„.„ = n
est l'indice principal extraordinaire. Si le cristal est positif, on aura n^s\x\0^j^(i^=^ Ug^ et ??, sin(y,„^„ = w^,, n^, représentant un indice quelconque, compris entre rig et tip. Si au contraire le cristal est négatif, n^ sin ^,,„vï = ^'p ^^ ^'i sin6^,,,„,. = 7^^,. La grandeur de n^. varie d'ailleurs dans les deux cas avec l'orientation de la lame.
RéQexion totale 67
Ces deux côaes ne se touchent pas, et le c6ne des rayons ordinaires est intérieur ou extérieur à celui des rayons extraordinaires, selon que le cristal est positif ou négatif.
Si maintenant on observe les rayons réfléchis & l'aide du dispositif indiqué à propos des milieux isotropes, le champ visuel sera divisé en trois parties d'inégale intensité lumineuse, qui séparent les rayons ordinaires et extraordinaires totalement rénéchis de ceux qui le sont partiellement. Si l'on fait tourner la lame autour de sa normale, l'une des limites aeC ou hb' (fig. 85), selon le signe du cristal, reste fixe, et correspond alors aux rayons ordinaires pour lesquels d est constanL L'autre se déplace entre deux positions extrêmes, pour lesquelles 6 est maximum ou minimum.
En résumé, une plaque orientée d'une manière quelconque fournira trois indices; deux d'entre eux sont ceux de l'ordinaire et de l'extraordinaire, le troisième est un indice quelconque, compris entre les deux premiers, et dont la valeur dépend de l'orientation de la section.
