partie supérieure, par le changement du signe de ^3, et en outre

l remplaçant a^i, iPe, ^2» ^3> ^4» ^5>

( par —^6, —^1, — ^3, —^2» —^5, — ^i.

La partie moyenne du Tableau correspond aux discriminants positifs. Les résultats relatifs aux valeurs extrêmes, ainsi qu'à g^3=zo, ont été trouvés précédemment. Pour ^3 = ^'3, deux racines conjuguées deviennent égales entre elles et leurs parties imaginaires changent de signe : la considération des signes des

parties imaginaires, pour ^3 = 4//^) et pour ^3=0, montre

que ce changement de signe concerne ^4 et ^3. C'est de la même manière que Ton trouve les racines devenant purement imaginaires

pour gz^= g"z' Entre ^3=0 et g^=^ — i/ l^\ , les résultats se

déduisent de ces derniers par les changements (A).

Il n'y a aucune continuité entre les fonctions elliptiques quand le discriminant change de signe. Mais les quantités Xm-, fonctions algébriques de g^, sont continues. C'est leur continuité qui est figurée dans le Tableau par la disposition des colonnes verticales. D'après les égalités (56) et (Sy), donnant, toutes deux, l'expression approchée de chaque racine pour g^z=^i/ l~\ , et relatives,

la seconde, aux valeurs supérieures, la première aux valeurs inférieures de ^3, on voit que la même racine dénommée Xm dans la partie supérieure du Tableau doit être dénommée x^^m dans la partie moyenne, l'indice ^m étant d'ailleurs pris aux multiples près de 7. Pour connaître ensuite les indices relatifs à la partie inférieure du Tableau, il faut faire d'abord la substitution (A), puis

diviser chaque indice par 4> et faire, de nouveau, la substitution (A). Par ces opérations, Tindice m de la partie supérieure, devenu ^m dans la partie moyenne, est changé successivement en

— - — ) — > i6m. Ce dernier nombre, qui se réduit à 2/w

4/n lo/n ^

(mod 7), est égal à l'indice demandé. Ainsi, par exemple, une même racine de l'équation (i5), quand ^3 varie de 4-00 à — 00, est successivement dénommée x^^ Xj^ et x^*

Généralités sur la division des périodes par un nombre

premier.

Nous allons passer en revue quelques-unes des propriétés, reconnues précédemment dans la division des périodes par 5 et par 7, et qui peuvent être étendues à la division par un nombre premier quelconque. Soit n ce nombre premier. Les /i»^"«« parties de périodes, c'est-à-dire les arguments dont le produit par n faît une période, étant pris pour arguments de la fonction jd, font acquérir à cette fonction des valeurs en nombre ^(/^^ — i). Ces valeurs de p peuvent aussi être définies comme étant les racines d'une équation algébrique i|>„=o (t. I, p. 99); mais l'analyse employée ici les fait trouver d'une autre manière. Soit a l'une

fi. Cl)

d'elles, répondant à l'argument — > 2(0 étant une période quel-

conque. Aux multiples de cet argument répondent d'autres valeurs de J3, analogues, que nous désignons par è, c, rf, . . . , comme nous l'avons fait au début de ce Chapitre. Entre a, è, c, rf, ... nous avons vu comment on peut former des équations algébriques. Ces équations, dans leur ensemble, sont entièrement symétriques relativement à a, è, c, rf, . . . , et c'est là une propriété essentielle, qui n'aurait point lieu si n n'était point un nombre premier. Multipliant, en effet, une /i»^™« partie de période par les nombres'!, 2, 3, . . . (/2 — i), on obtient, quand n est premier, de nouveaux arguments qui sont, eux-mêmes, des /i»«™*« parties de périodes et dont les différences, deux à deux, ne peuvent être des périodes : en prenant donc, pour lettre initiale, 6, c, ... au lieu de a, on retrouve, dans un autre ordre, toutes ces mêmes quantités. Au contraire, quand n n'est pas premier, il existe, dans la suite i , 2, 3, . . . ,