I -4- 27» COS uçi/t= (i j- q^z^){i -+-y

et changer alors la formule (9) en la suivante, où apparaissent deux produits distincts, convergents séparément,

(10) e-- ^,u = T\ '-^-^-^ TT î^tl!fl* ,

/? = I, 3, ..., (2(XH-l), . ., -h 30.

On peut encore obtenir d'une autre manière la séparation en deux produits distincts, avec les facteurs qui fîgurent dans Tégalité (7); mais il y a lieu de substituer alors ^n facteur de convergence B/, un autre facteur plus simple. Nous avons

. ^ .Tzu q' —q ' logB„= i — \ 2— T--

Si n est positif, nous écrirons

iogB„ = - '^ i^ii-" =- iiL?^ f. -- -Mf y

^ 20) 1-H7'» 2o> \ i-hq"/

Si n est négatif, n = — m, nous écrirons, au contraire,

^ 2o> i-{-q^ 20) V l-hq"*/

I^ série, composée des termes — ^ — et '^ — > est conver-

gente et sa somme est nulle. On peut donc réduire le facteur de

convergence à e *" , suivant le signe de /i; ce qui donne la formule

ir 710)' U .^, TZ 710)' H- M .^-

cos - '^" cos — "^"

JX Tt niO JX lî 710)

cos „ cos -

Il reste à trouver la signification de la constante a ; c^est ce qui va être fait dans le paragraphe suivant.

ITZ

Démonstration de l'égalité r^m' — r/w= — •

Par la définition de du en produit infini, nous avons trouvé, dans le Chapitre précédent (XI, 19),

gJYj'(a+0)').

Au dernier paragraphe de ce même Chapitre XI, nous avons reproduit la définition de rfaW

d'où résulte que l'addition des périodes ato et ato' a pour effet de multiplier aussi <^a par une exponentielle, du premier degré en u. En particulier, supposant a = 2, c'est-à-dire Wfli= (02:= w -+- o>'; on détermine immédiatement le terme indépendant de u par l'hypothèse M = — 0) ou u = — w' ; d'où résulte

(la)