TU

2W U'e* 3*1 a ^ V' /<7"* 2(0 / jr

Tvrr 3—= 14-4 7, », cos ma = — /ei — p(a -r- (o ),

t: UL' 3*3 a ^^ I -h <7"» TU ^ * '^^ ^

ITC

2(0 Ue * 3'3M / V/ ^i /t^ 2(0 , -,-

TU UU 3*2 a ^^^ i-i-<7"* TU '^^ ^

Ces formules ont une grande ressemblance avec celles qu'on a déjà obtenues pour développer !J/^ et ^{u -f- w'); nous transcrivons ici ces dernières (3 j), (34), avec les notations abrégées actuelles

— [LU ^ 1 ~ cola -T- 4 7 — sin ma,

TU\^ (0/ ^^i — *7'» '

ma.

Changeant^ dans celles-ci, u en (w + co) et retranchant les quatre égalités membre à membre, deux à deux, puis tenant compte de la formule d'addition pour les fonctions ^ (V, 16), on obtient d'autres séries analogues, qui s'expriment encore par les quantités

yjpu — ea, par exemple

^ V^pw — ei/pM — ^8 -•^i— 7*'*

Mais il n'y a aucune utilité à reproduire ici toutes ces formules, que l'on peut retrouver aisément et qui n'offrent en réalité aucun élément nouveau.

Des formules (43) on peut en déduire d'autres encore, se rapprochant de celles qui donnent logî^a^ (^6)? • • •> (^o)* On les obtient par voie d'intégration. C'est qu'en effet on peut exprimer en termes finis les intégrales des douze fonctions (43), comme le montre la formule suivante, facile à vérifier :

d . yje^ — «3 \le^ — ^, /p m — e^ , ,-

-r-arcsin-^ = —-4 = V^^i— JH" "*- ^ 0-

"" y pu — €3 y V^ — 1'3

Par des changements évidents, on voit que les douze fonctions

sont ainsi les dérivées de fonctions connues. On peut aussi, et c'est la même chose au fond, exprimer les intégrales par des logarithmes, comme on le voit par la relation

De celle dernière, on déduit, par e]!^emplc.

loff I ^-^ 0) sin a = î > - -' —

— cosmrt

et, de la précédente,

arcsin -— = a -f- { 7 -^' —