CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

Décomposition des fonctions de seconde espèce.

Voîci le procédé original par lequel M. Henni te a, pour la première fois, exposé la décomposition des fonctions de seconde espèce. Soit 'f(w) une telle fonction, ayant les propriétés

Il existe un élément simple ^l>{u), ayant les mêmes multiplicateurs,

par un calcul facile, déjà fait ici (p. 228), on trouve

ÎTzp = Tj log|x' — t/ logiJL, iiza = to' lofç ;«. — lo \o^[x\

La propriété (i 3), appliquée à ^(«), entraîne cette conséquence

*lH u — 'xui' ) — —, *b( u ).

Si Ton prend donc le produit F('^)

on a composé ainsi une fonction de Zj doublement périodique, dont la somme des résidus est nulle. En raisonnant comme ou Ta fait dans Tavanl-dernier paragraphe, on obtient la formule de décomposition telle qu'on Ta établie au Chapitre Vil (p. aay).

Intégration dans l'étendue d'une période.

Soit une fonction fractionnaire /(a), ayant la propriété

(i5} f{u-\-iui)—f{u) = c\

nous considérons son intégrale rectiligne, prise dans Tétendue d'une période, à partir d'une origine quelconque if :

l'-J-ÎO)

(lO) «ï>(i»)= f Au) du.

Par différentiation, on a, suivant la propriété supposée (i 5),

en sorte qu'on doit conclure

117) 'l»(i') = cr-+- Y,

Y étant une constante. Mais celte constante n'est pas entièrement indépendante de r. Soit, en effet, v^ une autre origine prise pour la même intégrale. Considérons le parallélogramme dont les sommets consécutifs sont

et prenons l'inlégi'ale de /(u) le long de son contour et dans cet ordre. Soit p la somme des résidus des pôles intérieurs; l'intégrale totale sera égale à ± 2/7:0, suivant le sens de rotation qu'amène la disposition de la figure. IjCs deux intégrales partielles suivant les côtés (ç^H-^iw, r,4-9.co) et (vt, v) ont pour somme c{i\ — i'), les deux autres sont <I>(r) et — ^(i'i ), en sorte qu'on a

Si donc ^(i^) est donné par l'égalité (17), on aura

La ({uantité v, -- y qi 2/7:0 est donc, en réalité, non pas une constante, mais une fonction disconliniie de r; ses valeurs diverses sont des constantes successives, qui changent brusquement quand le point v^ franchit une droite parallèle à la période 2 o> et contenant des pôles de /{u).

Prenons comme exemple la fonction '^Uy pour laquelle la con-