CHAPITRE I

Les deux relations

conduisent, par le théorème d'addition, aux deux égalités

d'où l'on conclut

Soient

a-\- h ^ X ^ ab =^ y.

Les deux équations, qu'on vient d'obtenir et qui sont symétriques en a et 6, se changent en les suivantes :

I (ôx{x'^— /iy) = \{x^—'ixx) — g^x — igi \ i&{ix^'-^y){x'—/,y)^[\{x^'-y)-g^'\

ou bien

(3) 6^JK=^3|1^2^^^3^

En substituant, dans cette dernière, la valeur de jk tirée de la précédente, on obtient, pour ^, l'équation

Cette équation, du sixième degré, étant censée résolue, on aura, pour chaque racine ^, la quantité y par la première égalité (3), puis a et b comme racines de l'équation

(5) a^ — xa-\-y = o.

C'est ainsi que les douze solutions de l'équation 'h-^ = o se partagent en six couples, dont chacun dépend de deux équations, l'une du sixième degré, l'autre du second. A peine est-il besoin d'observer que l'élimination de x et y entre les équations (3 , 5)

mènerait à l'équation tj^g = o, où pu serait remplacé par la lettre a. On peut écrire l'équation (4) sous la forme symbolique très curieuse que voici :

(6) {x — iok){x-^ikY = o,

en convenant que, après le développement, on remplacera les puissances de A par les quantités ci-après :

A^ - {-hg.Y, A^ = -hg,^,g,, A6 = (|^^3)-^

On doit, dans cette convention, remarquer que, les symboles de A- et A^ une fois choisis, ceux de A'' et A^ sont, par là, fixés si l'on veut que ces symboles deviennent des valeurs effectives quand le même fait a lieu pour A^ et A"'. Mais celte condition unique ne détermine pas le symbole de A'"' ; elle serait effectivement remplie si l'on prenait, pour A*',

\ étant arbitraire. En effet, les symboles de A- et A^ sont des valeurs effectives quand on a

(A.)3--(Aa)^=o = ^,(,^i-.7^l) = (-7^)3A.

Cette forme symbolique (G) devient donc effective quand les fonctions elliptiques dégénèrent par l'évanouissement du discriminant. Ainsi, au cas A = o, A est une quantité effective, et l'équation (6) a une racine égale à loA, plus une racine quintuple égale à — 2 A. A cette dernière, suivant les égalités (3, 5), correspond r = A^, puis a ^7= /^ =; — A. A la racine simple corres-

pondj^= -/A-, puis

Ces deux quantités, a et 6, égales aux deux suivantes