CHAPITRE I

et l'on en déduit

Cette équation donne ^, en fonction de x et ^o» mais avec plusieurs déterminations. Par exemple, x étant donné, on peut intervertir a el b', on peut aussi changer les signes de s/oa et de \/ob. A cet égard, on doit observer que les équations (i) donnent

(22) /cpa/cp6=(a — by,

en sorte que, ayant choisi «, b et le signe de y/cpa, on n^a plus à choisir le signe de \/^i>. L'indétermination qui subsiste, après le choix de ^, donne donc lieu à quatre valeurs pour Xi. Mais, d'autre part, l'échange simultané de a et de b et de «o et de bo, comme aussi l'échange simultané des signes de y/oa et de y oao, n'altère point Xf. Il y a donc, en tout, pour x^^ quatre valeurs seulement, et la formule (21) donne, en fonction de x et^o^ une quelconque des quatre autres racines de l'équation (4).

Supposons choisis a, b, aQ, b^ et les signes des radicaux, dans la formule (21), qui détermine ainsi Xi. Associons à Xi une autre racine x.^, en changeant les signes de y/cp«o et de^^obo. Nous aurons ainsi

d'où résulte

/ ,x . , I cpa4-cpao i ^b^obo

Échangeons a el b dans l'égalité (20) et, en même temps, d'après (22), remplaçons y/cpa par y/cpè et y/cp6 par — y/'^a. Nous définirons une racine X2' En échangeant ensuite les signes de y/cs^o et de y/cp^o, nous définirons la dernière racine x^ et nous aurons, semblablement à l'égalité (24), celle-ci :

,., , , \ (ob ~h oao icoa-f-cp^o

2 (b — Cli^y 2 (a — 60)2

Les seconds membres (24, 25) sont rationnels en a, b, Œq, bo] leur somme, symétrique en a et 6, aussi bien qu'en Gq et bo, est rationnellement exprimable en j: et û^q. 11 en est de même pour la somme de leurs carrés, et, par conséquent, la quantité ci-après

est une fonction rationnelle de jc et de œQ.

Existence d'une résolvante du cinquième degré.

Cette fonction ^05 q^ie l'on vient de reconnaître comme rationnelle en œ et Xq, possède une propriété bien remarquable : elle ne change point si l'on j remplace œ et Xq par ^4 et x.r, ou par ^2 et X3 :

Nous allons en fournir la preuve. Désignons par 2(0 ou 2w'les deux périodes quelconques qui, dans a et b ou dans «o et ^05 sont respectivement divisées par 5. Soient, en d'autres termes,

D'après les égalités (20) les arguments de a^ et de b^ sont

I (co -f- co') et I (to -f- w'). Pour obtenir Xr,, on a changé les signes

de v^^'^o et de V^p^o? les arguments de a.', et de br^ sont donc f ((0 — co') et I (to — Lô').

Opérons sur x^ et sur ^4, comme on l'a fait sur œ et Xq pour trouver Xi et Xj, ; on obtient, pour un premier couple (a, b), les arguments yW et |w^ — i^- ee sont donc les deux quantités b et a que l'on retrouve, c'est-à-dire la racine x que l'on obtient. Pour un second couple, les arguments sont | w' et | w' ^ — f ^' 5 on retrouve donc ^0 et 6?o, c'est-à-dire la racine Xq.

En opérant ensuite sur Xi et x.r^ comme on l'a fait sur x et Xq pour obtenir X2 et ^3, on retrouve nécessairement X2 et x^, puisqu'il n'existe point d'autres nouvelles racines.

Pour obtenir X2 et ^3, nous avons, dans l'opération qui avait