CHAPITRE II. l

en sorte que X,',^ se déduit de X^^^^ en remplaçant encore chaque indice par son complément à ^. D'après les égalités (ii5), cette substitution équivaut à laisser inaltéré y/^, à changer le signe dey/ç,, à échanger y/^2 et y/^3. C'est donc changer chaque quantité en sa conjuguée. Dans le résultat final, obtenu précédemment, ce changement se traduit par le changement du signe de y' — 7, ainsi que la théorie le faisait prévoir.

C'est pour nous acheminer vers la formation de la résolvante dans le cas général que nous l'avons construite, au moyen de ses racines, dans le cas ^3 :i= o. Dans cette vue, il faut développer le produit des trois facteurs (ii6) et nous y mettrons, pour l'inconnue, au lieu de X, cette autre Y =:: X 4- 3^o. La raison de ce choix apparaîtra bientôt. Les trois facteurs deviennent ainsi

[Y2 - 6^,Y - (149 -- 3 v/="7)^-l]% et voici l'équation obtenue en effectuant le produit :

(117) YT--(2T-v/=^)^lP = 0,

P désignant le polynôme suivant

-II (3. 7.929-283 v/=^)^iY-^ ^(149^3/^)' (35-47 /^)a"l' Au cas g2 = 0, on a (2'y)

572 = ^5 — 0, Xy^=a^x^ Xs — olxq^ ^4 = a^a^o, Tq=(xx,

a étant une racine cubique de l'unité. Il en résulte

X3-0, Xq — 23-^0 1 X2 — aXo, X4=a2Xo,

Xi = a-^2 -h OLxl, X5 = ocXi, Xg ~ a'-Xj.

l34 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

Or on a aussi (26)

^= ~ VJé'a, ^0 = • V/7^3.

Il en résulte

puis

Xi = -|( a2 -.-a ) (^2 ^ ;r H ) + ' ( a2 - a) ( :r2 ;z-^ )

V3(^^-^2)=3.V3/I^(v/7:S)'=(3Î/7"^)-^ /-7, ("8) . X, = -U5-^^\/~~7){v7Jiy-

Le premier membre de la résolvante du septième degré se décompose ainsi en les facteurs suivants :

X3 XJÎ=X3 -1-23. 33. 72^2^.

X3 X3==X3-^gy(5+/:^^)^72^| = X3-^^(5.4.--3V=^7)^^

Pour comparer le produit de ces facteurs au produit analogue, obtenu tout à l'beure dans le cas g^ = 0, nous l'écrirons sous la forme

Le calcul, très simple, donne pour résultat

On doit remarquer, en outre, que l'on peut mettre ici Y, au lieu de X, puisque ces deux inconnues coïncident pour g.y = o

Le même raisonnement dont on a fait usage pour le cas n -- 5 (p. i/\) prouve a priori que la résolvante, dans le cas général, a pour coefficients des polynômes entiers en g-, et g-^, le premier coefficient étant l'unité. De plus, l'homogénéité fait connaître, sauf des facteurs numériques, les divers coefficients. L'équation est de la forme suivante, où nous mettons Y pour l'inconnue,