CHAPITRE X

Recherches ultérieures sur les propriétés des Fonctions r.

90. L4ONSIDÉHONS la fonction (p(pe) exprimée par la suite infinie T. U. , 74

458 INTÉGRALES ELLÉRIENIŒS,

dans laquelle bous supposoas j:< i ; ai on développe celte quantité soir les puisunces de 07, et qu'on désigne, comme ci-deasos, par S, la wm des puissances réciproques du degré n, des nombres oatarels, oa aura

^jc) = S,^ — Sp:" -+- S^x* — S»x* H- etc. Mab par l'équation (i8), on a

iogr(i4.x) = — Cx+jS.a:' — iSj^r'-t-jS^ar* — etc.; diSërenciant celle^ et comparant-le résultat à la valeur de f (x), on en I

d*où Ton voit que la suite désignée par <p(a:) peut être sommée îmmédiai ment, au moyen du coenficient dilFéreotiel de la fonction log r(i-^J puisque d'ailleurs G est une constante connue (art. 86).

Observons que la fonction ^x) peut être mise sous la fijrme

■ alors on voit qu'elle est la diflerence de deux suites qui ont l'une et l'aul une somme infinie, mais qui étant ainsi retranchées terme à terme , l'une Tautre, laissent pour reste une quantité finie. Gette quantité est d'ailleurs même qui a été désignée par C* — N, (art. 8i}, et elle représente par co séquent aussi la somme de la suite harmonique

gi. Puisqu'on a généralement

(- ii.)+e-,-i->a-sT-.) +-• = c + '-^^^ï^ .

on trouvera, par des difierentiations successives , les sommes de différeni séries, savoir :

(TP^-r (> + .)' "'"(T+ï)'-'- (4+,)" ■•■ ""^- — ; 3?—

etc.