CHAPITRE XVli. 5i

§ V. Application à V Intégrale T{\^ x).

i83. Nous avons traité fort au long des différeus moyens d'évaluer la fonction r(a, x) dans le cas de a=o. Occupons-nous maintenant du cas 0=7,

qui est celui de l'intégrale Z zzsfdxÇl-j »".

Faisant a l'ordinaire Z-=z. ou x^ser*. on aura sous une autre forme Z :=sf — z »rfae~*, d'où l'on tire, en développant e""* et intégrant,

Z=ri-a.i(i-|+l. 5-^13. f+^.f-etc.) (6.)

On sait d'ailleurs que F^ = ^vr, ainsi étant donné x et en même temps

z = / - , on connaîtra l'intégrale Z par une série d'autant plus convergente,

que z sera plus petit, c'est-à-dire que x approchera plus de l'unité.

A mesare que x deviendra plus petit, la série sera de moins en moins convergente; elle deviendra même divei^ente dans les premiers termes, dès qu'on aura 2^ 3, ou x^ c^ < o.o5. Dans ce cas et dans ceux où x est encore beaucoup plus petit, la série, qui est divergente dans les premiers termes^ finit toujours par être convei^ente, et même plus que toute progression géométrique décroissante. Mais, comme il faudrait calculer un nombre de termes assez grand pour arriver au point de convergence (qu'on peut toup jours déterminer à priori) , et que ces termes ayant une valeur absolue beaucoup plus grande que le résultat qui doit provenir de la série totale, il deviendrait nécessaire de calculer chacun d'eux avec beaucoup de précision , puisque la plus grande partie de leur valeur doit être détruite; on voit par toutes ces raisons qu'il vaudra presque toujours mieux, dans le cas de x tvès petit, appliquer la formule générale (58).

i84- Faisant donc 0 = 7, et Ç = — , on aura la formule

Z = xz— ^•(I^-Ç:(I+aÇ:(I + 3^:(I+4Ç:(I+etc., (65)

où l'on doit remarquer que les numérateurs croissent continuellement de Çp tandis que les dénominateurs sont tous ^aux à l'unité.

Le cfilcul de cette formul^evra se fiiire comme nous l'avons expliqué cidessus art. 176. Pour en donner un exemple, soit arso.oi, on aura zs

log 100= 2M, ^5= — =:ç/?i = 0.10857 563 etc.; d'après ces valeurs, il

faut calculer successivement les quantités X, R, R|, R(,etc.,parle8foT|pules T. II, 84

INTÉGRALES EUUÉR1BNNE5 ,

de l'article cité, savoir ^