VIOL
toute la partie de la courbe où l’on a c positif et > PE: ; elle jouit de
cette propriété, que si æ, 6, y sont les abscisses de trois points placés dans cette zone sur une même parallèle à l'axe , la somme des fonctions da, NE, dy, prises avec les signes convenables, et en changeant en 4’ si labscisse est négative, sera égale à la constante 1 — 54; — 0.47888 24859 435.
La zone suivante, située entre les parallèles à l’axe menées par les
points c et m, comprend toute la partie de la courbe où l’ordonnée pom +
LE le minimum
sitive c est comprise entre la valeur Cc —
Mme — 0.090705, etc.; alors la somme des trois fonctions déterminées par les trois abscisses qui répondent à une même valeur de c, est égale à la constante 41 Hi4d/+— 2.02857 87636 905.
Enfin, la troisième zone, placée au-dessous de la parallèle m'J, comprend la portion de courbe dans laquelle l’ordonnée c est négative et plus grande que le minimum mM' = 1.776153, etc. Dans cette zone la constante sera A1 +34d/1=—73,57827 50414 375.
On voit, de plus, qu'il existe une quatrième zone comprise entre les deux parallèles my, m'd\, menées par les points 7» et m° où l’ordonnée est un rninimum. Mais toute parallèle à l’axe, menée au dedans de cette zone, ne rencontrera que la branche de courbe IA, ce qui signifie que les deux autres intersections sont imaginaires.
258. Nous ajouterons encore que dans chaque zone on peut déterminer généralement les signes des trois fonctions 4 ou 4’ qui composent le premier membre de l'équation (5).
Soient 4, —6, — 7 les abscisses des points dans lesquels toute parallèle à l'axe, menée dans la première zone , rencontre la courbe, on aura «> AB, C< AD, y > AD, et l'équation des fonctions sera, sans au-
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 255 cune ambiguité, Qe + VE — y = Jr — sde En effet, dans la limite supérieure, lorsque c —+, on a æ — AB, 6 — AD et y — +; alors l'équation devient 4 (AB) + 4'(AD) — 41 + 5 d'5, comme on l’a déjà trouvée (254).
. « 0 pr m Dans la limite inférieure, onac=——, a =1, 6 = 0.71592...,
7 —= 4.52015...; alors l'équation devient
+de Vy= d'—iVs, où dy —Vé=iÿe, équation comprise dans notre tableau (art. 254.)
Dans la seconde zone, 1l y a deux cas qui donnent lieu à deux équations de forme différente.
Premier cas. Si la parallèle est menée dans la partie supérieure de la zone, entre les parallèles 7 et ba, les abscisses des trois points d’intersection seront désignées, comme dans la première zone, par æ, —6, — y, avec cette seule différence qu’on aura 6 0.71592... et y << 4.520...; l'équation des fonctions sera, dans ce cas,
da — V6 + dy = di + ie Cette équation se vérifie immédiatement sur les parallèles c7 et ba. Second cas. Si la parallèle est menée dans la partie inférieure de la zone,
c'est-à-dire entre les parallèles ba et my ; appelons a, 6, — les abscisses des points d’intersection, on aura l'équation
Ja + dE + d'y = di Hi Celle-ci est liée avec la précédente par la loi de continuité , car si 6 devient — 6, L6 se changera en — 4/6.
Dans la troisième section, où l’ordonnée c est constamment négative et prend toutes les valeurs, depuis le minimum M'm'=— 1 .-77613.... jusqu’à l'infini, soient &æ, — 6, —" les abscisses des points d’intersection d’une parallèle à Faxe avec la courbe, on aura & < AB, € > AD, y > AM’, et l'équation des fonctions sera
! ! pdt 3 / solame nr ee AIN AS Cette équation se vérifie à la première limite, où l’on a 6 — 7, ainsi qu’on le montrera ci-après; elle se vérifie également à la dernière limite ,
où C——+, car alors on a = AB, 6 = AD et y—#+. L'équation des 20%:
fonctions devient, dans ce cas particulier, (AB) + 4L'(AD) + d': —1J1+5Vt, ou L(AB)+d'(AD)= d1i+id/i; ce qui s'accorde avec le deuxième cas du tableau (art. 254).
259. Par cette énumération des différens cas, on voit qu'il importe de fixer la position des points m» et m° où l’ordonnée est un minimum, puisque ces points déterminent, l’un la limite inférieure de la seconde zone, l’autre Ja limite supérieure de la troisième.
Désignons toujours par £ l’abscisse AM du point m, et par c l’ordonnée Mm ; l'équation (18), mise sous la forme rationnelle, sera o—Ac?+2Bc+2D, en faisant, pour abréger,
A = (m + 3)& + 4t — om — 3,
B = (m — 1)é + (om + 2) — m—1,
D=Ë — {(m— ie + (m+i)t.
Dans le cas du minimum de la quantité c, on pourra différentier, par rapport à #, l'équation o — Ac? — 2Bc + 2D, en regardant c comme cons-
tante ; ce qui donnera une seconde équation o = Ac? — 2B'c + 2D, où l’on suppose A' = 2(m+3t +4, 2(m — 1)é + 9m + 2, D' = 5% — (m— it + m+.
Éliminant c de ces deux équations, on aura, pour déterminer £, l'équation (AD’ — A'D}° — 2(AB' — A'B) (BD' — BD), qui peut se développer ainsi :
o = [(m + 3) H BE —12(m + x) 8 + 8 — 4 (m + 3)] 8m 41) Le (Ve | 0) + 40m 0 Gm4a1)+fam— 61.
C'est donc par une équation du huitième degré qu’on pourra déterminer directement la valeur de #, tant pour le point m que pour le point "/; et
il ne paraît pas que le degré de cette équation puisse être abaissé au-dessous de 8; car une autre manière de traiter le problème conduit à l'équation
am ee vos = 64382 (m+ 1)H+(m+3t+o,
qui semble plus facile à résoudre par les fausses positions, mais qui, dégagée du radical, monterait au douzième degré.
Remarquons cependant que l'équation du huitième degré, à laquelle nous sommes parvenus, peut se mettre sous une forme plus simple par le procédé suivant.
Ayant mis l'équation (18) sous la forme o = Ac? — 2Bc + 2D, on trouve (Ac — B} = B° — 2AD= (m+1} (1 —#), et la différentielle de cette dernière équation donne
BB’ — AD' — AD — — 5(m + 1)#.
Mais en développant l'équation déjà trouvée (AD' — A'D)° — 2(AB' — A’B) (BD — BD), on en tire (AD' — AD}: — 2BB'(AD' + AD) — 2A'D'B — 2ADB*,
ou (AD' + AD — BB'} — BB: — 2A'D'B° — 2ADB* + 4AA'DD’. Le premier membre de celle-ci — 25 (im + 1)f#, et le second est le produit des deux facteurs
B° — 2AD = (m + 1} (1 — &),
B'2 — 2A'D'— 16 — 8t(1 + m) + 88 — rat (m + 3).
L’équation à résoudre peut donc être mise sous cette forme plus simple
5 ê = (5 +m) == 4 — 2(1 + mjt+2® — 3(5 + mé, et ultérieurement sous la forme SOMME 3— m :
Inn 3 — m — (m — 1)é + RE HA — 3, 260. Après quelques tentatives, on trouve que l’abscisse £ du point m, où l’ordonnée est un minimum, est déterminée à peu près par la valeur log £ — 9.65536 96; elle servira de première hypothèse , d’après la-
quelle nous calculerons les deux membres de notre équation de la manière suivante :
log # — 8.27684 80 M — 1... 0.09204 23554 14 { — 0:18916 814278 Pt NO 00080 OÙ
1 — À —= 0.091083 18572 2 ET era TenEETEE 1) 974741 19554 14
tres 0.49485 00216 8 3—m 58
8 RATE . 202 I oo
Ie JA ZUO M OOO0U TO . L 47199 7.735780 68216 8
Éu...o.. 091078) 2) 8.809276 39195 Dee: e 1e 0: O00TO- 00
MORTE .746 890 5 HU TE AR et NT 2047420 3 — m — 0.763593 20225 002 LATE PARLE, 1) — 0.556900 01898 894 5) 9:44525 00547 20.
0.20493 98326 108 2) + 0.07812 03030 741 0.28305 21356 849 3) — 0.27747 89578 524 0.00557 31758 325 second membre.
M = 0.006557 31532 968 premier membre.
Diff. + 245 357.
Maintenant que nous connaissons l'erreur de la première hypothèse, voici un procédé par lequel on obtiendra assez facilement la correction qu’il faut appliquer à la valeur supposée pour £.
Soit cette valeur corrigée — 1(1+ w), « étant une quantité assez petite pour qu'on puisse négliger son carré. Il faudra substituer, en général, (1 + no) au lieu de #", et alors le second membre de notre équation recevra l’incrément
— (im — 1)to + nt — 358,50,
qu'on peut représenter par @[— (1) + 2 (2) — 3 (3)]; or, on a trouvé 1) — 0.55900 01899 2) = 0.07812 03031 3) — 0.27747 89578.
Aïnsi l’incrément dont il s’agit — — « (1.235519 64573); celui du premier membre sera un peu moins facile à calculer. Par la substitution de t(1 + ©) à la place de £#, ce premier membre devient
