En supposant, comme à l’art

Die v1E 7) — ( 7) = 0.793560 44933 34840,

RER (=) + PE de r.46758 65158 35052,

nous avons trouvé l'équation Are UE CA AC Ainsi l’on devra avoir pour les fonctions 4 l’équation ere RIRES NS en effet, on trouve par les formules précédentes J6 — 0.786235 81508 05 da — 0.33147 71051 82 17,6 — 4, — 0.45476 10257 13.

Cette constante s'accorde très bien avec la valeur de + 4",5 — Ar, comme on le voit ici :

Vis = 1.19057 98216 195 d,1 = 0.753581 87960 81 LUE — du = 0.454;6 10255 585.

Ainsi l’on aura exactement V6 — du = id, — ds,

comme la théorie l’avait indiqué.

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 267 Exemple III.

277. Nous avons trouvé ci-dessus (268) pour les fonctions Lx l’équation Va + VE + ds + d'a se 24e En passant des fonctions £ aux fonctions 4,, il n’y aura à changer que le signe des fonctions /, et l’on devra avoir l'équation

die — 6 + 45 + 2 = — sé;

c'est ce qu’il faut vérifier par le calcul de ces nouvelles fonctions.

Calcul de 4,5 par la formule (20).

9-64097 80574 3) PE RES È 7) etc. 2 -.00240 O0 ee esse 849485 nee 4 N,+ —— 0.12556 58083 88.

Calcul de 4,2 par la formule (24).

ms, I T LE 28 ?

1) 24° .... 0.15051 49978 32 1) = 1.414321 35625 751 + OINERE 8.149485 00216 80 2) — 200 68260 83 8.657597 73191 78 1.41220 47562 go

268 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 7.350294 23386 9 1.41220 47362 90 8.494385 00216 8 3) 2 46619 27 9-59425 46538 1.41222 03982 17 3) 5.39202 70141 7 4) — 4350 64 DADATE 00216 8 1.41222 80631 53 9-75167. 63549 5) 89 95 4) — 3.63855 33907 5 - 6) — 2 03 8.419485 00216 8 7) etc. 4

ss bp ae UN DES Den tn Ù = :.41222 89719 49

5) 1.099398 93025 N+ 2.358115 96432 59 8.419485 00217 PR TN Taupe 9.85945 Gigot

Calcul de X,;« par la formule (20).

FANS 8.58813 58034 849 1) = 0.00075 03115 145 1)+a@. 6.873524 16113 06 2) 93 @.... 2.940067 90174 24 it = 0.00075 03115 238.

Calcul de A',6 par la formule (24).

6..... 2.643557 31944 037 1) 10 1009 53 0030401009 == |LIR use. 735642 68055 963 V3 — 2.388115 06432 39 u.... 8.675821 34027 981 17,6 — 2.28582 66128 217.

At 070: 10 99956 64. 64 1). 0.097924 33984 G2

Au moyen de ces valeurs, on trouve que la somme 4,4 — 4,6 + 4,1 d',2 se réduit à — 1.19057 48216 199, nombre qui s’accorde, aussi bien qu'il est possible , avec la constante connue......

LI CAE |

51.109097 98216 195; ainsi l’on a exactement d”,6 pers da eme à NE Fi \/,2 — LUCE

comme la théorie l’avait indiqué.

x°dx x?dx

Des intégrales À,x — LE RES NT VG+ =

278. Ces intégrales représentent la première fonction de seconde espèce sous les deux formes dont elle est susceptible, selon que x est positif ou négatif, Nous allons d’abord chercher la valeur de la première dans sa limite x = 1, et celle de l’autre dans sa limite x — :. Nous nous occuperons ensuite des moyens de calculer les deux intégrales indéfinies.

Si l'on met x5 à la place de x dans l'intégrale fx*dx(1— x°)"?, elle deviendra +fx 5dx(1—x) *; et en appliquant la formule

— — Fprq Game LA dont +) RE — J ( ) T(p + 9)?

qui a lieu lorsque l’intégrale est prise entre les limites x=0, x =1…, on aura l'intégrale complète

OM D (060) EE ANNE TNT2 TL(E,6a)

st PDT TON SAN (T ro) EAU CEA + 9.)2287 87452 803 SEP Par 0.24857 49363 47

se 09-7442: 50251 153, V1 = 0.554090 03837 066.

Venons maintenant à l’autre intégrale d/,x — =/f > 7 ne LT: ; elle devient

infinie dans la limite x — +; mais si on la compare à la simple inté-

Tor = °re7 . grale Le 7e ? ou fl x “dx =2Vx, la différence des deux, savoir :

fL= ‘dx — He J

est une quantité toujours finie, et dont la valeur pour la limite x =! se détermine exactement par la formule (a) page 378, tome Il; en effet, faisant a—+, x —5, cette formule donne

Che pese

e sin

Tu aide

d’un autre côté, la formule (Z), page 377, FA

270 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, À = fat —'dx(i x) * — Nes 5 cos — 5 cos — | Pre

donc x devenant infini, on a

mi F6)

2x — d/,x = B — 3 sin — AU sin — 10 10 FA Lt 9-74421 50251 15 Sin eee 9:48998 23640 86

log B — 0.254235 26610 29 B— 1.709560 5562381.

De là on voit que plus le nombre x sera grand, plus l’équation VX —=2Vzx—b approchera d’être exacte.

279. Cherchons maintenant les formules par lesquelles on calculera

les deux mêmes intégrales pour toute valeur donnée de x.

re 2dx Si l’on a x° +, l'intégrale 4,x = 7 se calculera par la 29 $ V’ ( ji ed re) P

série ordinaire 1.3 he 1.3.5 Je x Si l'on a x > À, soit 1—2x —=u, et En OR on aura 4,x = 4,1 — U, et U se calculera par la suite NUE u° 2-71 U =su (is A LR PEN 2 + etc. ) Ces deux formules, adaptées au Calcul numérique, pourront s’écrire

comme il suit :

az T+ Pa’(9.27300 12720 64) + Paf (9.90654 56598 9) + Px°(9.66420 78980 77) + Px*(9.91828 64174 4) (25) + Px(o.57948 06011 56) + etc.

+ Px°(0.83555 27221 1) 1 + Px(o.8688r 23141 2) CU L Px5(0.80085 55305 8)

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 271 U= ; 2 + Pu (9.124953 85366 08) + Pz (0.898093 40272)

+ Pu (9.62324 92904 o) + Pu (9.91178 40704) (26) + Pu (9.75696 19513) + Pu (9.921735 20970)

+ Pu (9.82027 44563) + Pu (9.92966 21597)

+ Pu (9.857333 24964) + etc.

x°dx

280. À l'égard de la fonction 4/',x — Pre VE F5) elle se calculera

par la formule (25), si l'en a x° < :, en ayant soin de prendre négativement tous les termes de rang pair.

CA

dx (ii —=u\

Si lon a xÿ>+etx <1, il faudra faire x°dx du Var

2 er: UE ce qui donnera u ‘du(i—u) **, et en intégrant,