DONS PARC

psin2À... 8.735180 91483 4 1 p°cos 2À.. 9.009440 51467

tang æ..... 8.735740 40016 4 a 7k60 65602 À —= 51°40" 3436702 5 11.34,08622 5

os: no. 2.20.42,26476 5 Ar=24029402671084085

Tone III.

p? COS 2 = — 0.0128 1 —+- p° cos 2À — 0.9872 8 — p° cos 2 — 8.0128 p'sin 2A..... 8.753180 91483 6 DROBA0 NTI 0.090378 43029 tang @ . 7.082802 48454 À 10° 25! 8",17245

1 + 2p° cos 2À = 0.090744 pf = 0.00307 2 F?\=0;07747: 2

354 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, ARRET, ARR 0.003571 08778 6 Process. 9:99010 43257 2 Q#....... 0.025622 41855 6 Pisces. 9:99505 21628 6 SUX . 0.30102 09956 6 OpROPAAQUIE © 0.00494 78371 4 6.32096-S08g0 8, 647 16p005 Ge 64:2048 cos ASE 9.81233 18503 2 pf = 0.00507 2 Ÿ:- . 0.142209 69094 82Q° — 64.207987 2 Pre 30770 422 DAC HSPRN GE 9.89910 32577 4 sin À....,. 9.88120 04409 3 MER MODE T TPS 9-94955 16288 7 0.329096 50590 8 QE: . . 0.009044 83711 3.

Do leetiere PE RON OO

Continuant ces calculs jusqu’à p — 10e, on aura pour résultat les deux séries d’ordonnées comprises dans le tableau suivant :

( Ja V4 P "4 4 c 1.31544 090 | 1.66421 610 le | 1.33350 643 | 1.65543.036 | ‘'e | 1.34794 558 0.120796 977 e |-1.38770 422 | 1.62616 833 | Ge | 1.20322 000 0.041789 248 2e | 1.479386 142 | 1.569775 805 | “te | 1.07207 210 0.00357 093 2e | 1.568244 710 | 1.467327 286 | ge | 0.95643 808 | — 0.02147 580 2e | 1.69330 102 | 1.31251 870 | 25e | 0.856569 026 | — 0.03403 719 3e | 1.977571 523 | 1.10217 880 | 8e | 0.76820 098 | — 0.03875 0982 Ze | 1.709806 628 | 0.85544 658 || =Ze | o.69212 890 | — 0.03872 {rx 4e | 1.765005 447 | 0.60860 649 | ge | 0.625754 735 | — 0.03593 729 Se | 1.64134 989 | 0.395975 143 | 2e | 0.569755 828 | — 0.003169 150 be | 1.49915 123 | 0.23348 838 | 10e | 0.51630 722 | — 0.02680 755

Maintenant , si l’on considère l’aire à laquelle appartiennent les ordonnées y, comme étant formée de dix trapèzes paraboliques déterminés par vingt-une ordonnées équidistantes, la somme de tous ces trapèzes sera

exprimée approximativement par la formule a (S + 4S' 287), dans

laquelle S désigne la somme des ordonnées extrêmes , S' la somme des

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 555 ordonnées de rang pair, et S” la somme des ordonnées de rang impair, les deux extrêmes exceptées. Appliquant donc cette formule à la série des ordonnées y, on aura l'aire cherchée /ÿdp—e(12.47257 1313); multipliant cette quantité par M, et désignant par 4/œ + L'6 la somme des deux fonctions imaginaires qu’on veut déterminer, on aura l’équation

M (ae + V6) = Mer2.47257 1313) — 4.709507 5875. Le second membre est une valeur approchée de 3F°'c — 4.79442 6; et l’on ne peut guère attendre une approximation plus grande de la

méthode des quadratures que nous avons employée : ainsi nous regarderons comme exacte l’équation

Il s'ensuit que, dans ce cas , l'équation (3) ne pourrait étre que de la forme

M(4'a + L'6 Æ d'2) = 35F'e + Mi;

mais alors le second membre ne serait plus une constante indépendante du premier membre, c’est-à-dire uniquement formée des fonctions F'c et F'b, comme on l’a vu dans les exemples I et IT. Ainsi nous avons trouvé la valeur exacte de la somme des fonctions imaginaires La + AN'6, mais cette valeur ne satisfait pas à la loi que suit constamment l'équation (3), lorsque le premier membre n'est composé que de fonctions réelles.

Venons maintenant au résultat qu'offre la série des ordonnées y’. En appliquant la même formule à cette série, on trouve pour l’expression de l'aire e(5.80726 558), et, en multipliant par M, on aura l'équation

M(4V'a + 4/6) — Me(5.80726 758) — 2.23260 30125. D'un autre côté, nous avons trouvé l'équation ML'2> — 2F'c — 1.062695 37403, qui, étant ajoutée avec la précédente, donne

Me + 46 + d'a) = 2F'c + 1.116990 92722.

Or, je remarque que le nombre compris dans le second membre s’approche beaucoup de la constante F'b — F'c, caron a

D F0 EE ce 1000115 270:

et l’on voit que la différence de ces deux nombres n’est que d’une unité décimale du cinquième rang, qui est le sixième chiffre significatif. On peut donc regarder comme rigoureusement exacte l'équation

Ma + '6 + d'2) = Fo + F'e, dont le second membre s'accorde avec la loi générale observée dans l'équation (3). Ainsi nous avons un second exemple fort remarquable du calcul des fonctions imaginaires, où la loi.de l'équation (3) est observée, comme -dans le cas où le premier membre ne contient que des fonctions réelles.

Puisque nous connaissons deux valeurs de la quantité M (/x + (6), savoir ,

M(L'a + VE) — 3F'c, | M (Va + VE) = F6 — Fe + Fc, 75) — F(b, 15°),

ces deux valeurs étant nommées Z et Z', nous avons démontré ci-dessus qu'on en connaîtra deux autres, savoir :

OA VE et (Z— 2) 1/5

On pourra encore admettre pour la quantité M({'« + \'6) les quatre mêmes valeurs, précédées de signes différens ; maïs de ces huit valeurs il n'y a en qu'une exprimée, comme on l’a vu, par F'c+F'h—M\'2=7, qui satisfasse à la loi généralement observée dans l'équation (3).

Il nous reste enfin à faire voir comment on peut vérifier, de la manière la plus satisfaisante, les résultats obtenus dans l'exemple IIT. Nous nous proposerons, pour cet eflet, de vérifier par un calcul rigoureux l'équation

Mae OUEN) Rue PRRIPE

qui s'accorde avec la loi générale de l'équation (3); il faut donc faire

voir que les fonctions imaginaires 4/& + 4/6 sont telles qu'on a exactement

Ma + V6) = F'b — F(6, 15°) — F'e + F(c, 7b°).

mt sosot. doté Has

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 357 Pour simplifier le second membre, soit F'b — F(b, 15°) = F(b, à) et Fc — F(c, 75°)= Fi(c, uw); les angles À et x seront déterminés par les équations tang À lang RE tang w tang 75° — 5 d'où résulte

—Av3

tang 1 — . cos — 1 5 tang u — Vient COS —

et, par ce moyen, le second membre se réduit à F(b, 2) — F(c, x).

J’observe maintenant que, pour calculer l’aire /ydp égale à la somme des deux fonctions imaginaires, nous avous cru devoir rapporter ces fonctions à la seconde forme représentée par /« et A/6; mais dans le cas des racines imaginaires, qui ont plus détendue que les racines réelles, la distinction des formes qui conviennent aux racines réelles devient inutile, et il est plus simple d'employer directement les deux valeurs de x

: ; 16 27 ; données par l'équation x? — FL+HF—= 0; de sorte qu’en appelant ces valeurs x et x’, on aura LHÉ= + ét! tx = 7.

Tout se réduit donc à trouver la valeur de «x + Lx’, comme si la fonction «Lx appartenait à la première forme des fonctions L. Dans ce cas, on aurait pour toute valeur réelle de x la formule

Mx —= F(c, @) + AD ®); on aura donc semblablement, pour nos deux valeurs imaginaires, l’équation | F(c, @) + F{b, +) M(dx + dx) — f ? ee, GE de EE 01) Maintenant, puisqu'il s’agit de vérifier l'équation

M(dæ + Je) = F(, à) — F(c, y),

on doit présumer que cette équation se divisera en deux autres relatives à chacun des deux modules, c'est-à-dire qu'on devra avoir les deux équations

358 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, La difficulté étant réduite à ce point, on va voir qu’elle sera promptement résolue, car la vérification de lune de ces équations entraine celle de l'autre, puisque celle-ci se déduit de la première, en changeant simplement le signe de 4/3.

D'après la formule donnée tomie [*, page 19, on voit que l’équation transcendante F(c, ®)+F(c, g')=ÆF(c, w) est représentée par l'équation algébrique

(A) sin*u = cos*® + cos’ ®'+ c’sin*y sin? @ sing — 2 cos g cos p cos Q'.

Or, on a sm ® — ROARES Sr sin® @ æ Rato6 ta TT Tarte) de là ARE 64xx" PEN pi (1 x + x + xx) (0 + 3r Lx Fax Substituant les valeurs x + x! — XX" == on aura ET 2 SUN 3 sin? @ sin ® = =.

On a en même temps — 3— :

és ge = C x) ( À si pue m1 PEUPLES

QA+DG+2 et par conséquent 2 dal PU (xx + 2x) (0 3x — 3x + 22907 I AN GHz a + ax) (9 + 3x + 3x + xx) Li 2 ’ 3 3 3 cos ® + cos? g — 2HT—-r=-S 2+ 1/3 v'15

, On trouve que cette équation est identique, en pre-

Substituant ces valeurs dans l’équation (A), ainsi que celles de cos u —

et sm = —

TE L’équation pour le module © étant ainsi vérifiée, l'équation pour le module à le sera également, puisque l’une se déduit de l’autre, en changeant simplement, dans toutes les valeurs, le signe de 4/3. On doit donc regarder comme rigoureusement démontrés les résultats obtenus dans l'exemple II.

nant, comme on en est bien le maître , cos @ cos @! — —

Nous terminerons ici les additions que nous nous étions proposé de faire à notre ouvrage, en profitant des découvertes récentes de MM. Abel et Jacobi dans la théorie des fonctions elliptiques. On remarquera que la plus importante de ces additions consiste dans la nouvelle branche d’analyse que nous avons déduite du théorème de M. Abel, et qui était restée jusqu'ici tout-à-fait inconnue aux géomètres. Cette branche d'analyse, à laquelle nous avons donné le nom de théorie des fonctions ultra-elliptiques, est infiniment plus étendue que celle des fonctions elliptiques, avec laquelle elle a des rapports très intimes ; elle se compose d’un nombre indéfin: de classes, qui se divisent chacune en trois espèces, comme les fonctions elliptiques, et qui ont d’ailleurs un grand nombre de propriétés. Nous n'avons pu qu’efleurer cette matière; mais on peut croire qu’elle s'enrichira progressivement par les travaux des géomètres, et qu’elle finira par former une des plus belles parties de l’analyse des transcendantes.

Paris, le 4 mars 1832.