CHAPITRE VL

Méthode trigonométrique pour construire, d'après un module déterminé, la Table des fonctions F et E.

732. 0: peut construire cette Table par une méthode qui n’exige que des calculs trigonométriques très simples ; voici en quoi consiste cette méthode : .

Supposons qu’après avoir pris un module c à volonté, on veuille trouver l’amplitude ® qui réponde à une fonction F égale à = de la fonction complète F'; cette amplitude se déterminera par la méthode de l’art. 91, si lon a e* +, ou si c* étant > ?, n’est pas trop rapproché de l'unité ; et par la méthode de Part. 75, si 1 — c* est très petit.

Soit dans l'un et l’autre cas, & ou &, la valeur de l’amplitude qui donne F(a)= ;55 F', nous appellerons successivement &,, &,, æ&,, les amplitudes qui donnent F (e,) = 2Fa, F(as)=3Fa, F(a,) = 4Fa, etc., jusqu’à F (as) = 2008 (æ) = F',

Cela posé, la Table que nous voulons construire contiendra, dans la première colonne, les nombres 1, 2,3....200, qui représentent les fonctions F croissant par intervalles égaux , depuis la fonction F(4«) = 2 F" jusqu’à la fonction complète F'; dans la seconde colonne seront les valeurs correspondantes de l'amplitude, savoir, æ,, «,, æ, jusqu’à «.. ou 2x. Cette Table sera en quelqne sorte l'inverse de celle que nous avons construite par la première méthode, et dans laquelle les amplitudes croissent par intervalles égaux ; mais la théorie des fonctions F fournit des formules très élégantes pour construire la Table dans ce nouveau système.

733. Désignons par @ un terme quelconque 4, de la suite &,, &,, &,, etc., en sorte qu’on ait F® = #Fa; nous ferons par analogie F(@”) = (7-1) Faæ, Fg =—{(n+2) Fa, et dans le sens inverse, F(g")=(n—1)Fa, ..... Fp—{(n—2) Fa, etc. Cela posé, soit À (æ) ou y/(1—c* sin* æ) = a, l'équation générale de l’art. 22, deviendra

Ts EE 11

tang (19 + +9) = a tangg.

Mais on a ® — 29 + g = d'@°; cette équation peut donc se mettre sous la forme tang (9 ++ d'p°)= a tang ?; on déduit de là, (a— 1) tange 1+a tang@

Soit «a = TE ou k= Te” cette équation deviendra

lang dpi —

taug + d'@° =

et on en déduit ultérieurement,

sin + d'@ —=— k sin (29 + À d'œ°). Cette équation fait voir que + d*®° est toujours négatif; faisant donc +2 d' = — 0%, on aura

sin & = À sin (29 —w).

Or kest une quantité très petite du second ordre par rapport à æ, puisqu'on a se =, et qu’ainsi # se déduit de csinæ, suivant la même loi que le module c* se déduit du module €. On voit donc que w restera toujours une quantité très petite du second ordre ; son maximum aura lieu à peu près lorsqu'on a @ = 45°, et ce maximum sera à peu près =k... = (£csinæ}) = +c'a sin a; dans les points extrêmes, lorsque @= 0 ou g=+7, la quantité w sera nulle.

L’équation sin © = À sin (29 —w) est facile à résoudre dans les difiérens cas, avec toute l’approximation nécessaire ; on peut d’abord négliger œ dans le second membre, ce qui donnera sin &w = k sin 2@, ou simplement © = À sin 29; ensuite pour avoir une plus grande approximation, on substituera cette valeur dans le second membre. Soit alors # sin (29—«)=p, on aura sin © — p; douc si on appelle R" le nombre de secondes conte-

nues dans le rayon, afin que R'w exprime le nombre de secondes de l’arc & , On aura

k P .3 pt Ro = R"p (: + =. Æ +23 + ete.).

On déduit aussi immédiatement de la formule tang (9: d"g")=atang, une autre valeur de + d'@° ou w, savoir :

w=— 2 de = À sin 29 — À À sin 4 + 3 À sin 69 — etc.