ÜM : OE :: EE' : PM
d'ou >
OM x PM = OEx EK'.
Représentons par x et y les coordonnées rectangulaires du point P rapporté aux axes O M et 0/«. nous aurons;
OM => x, PM .= y.
fi Soit enfin a le côté d’un carré équivalant a l’aire
OH X EE’ nous aurons l’équation suivante:
xy — a*.
Cette équation est celle d’une hyperbole équilatere rapportée à ses asymptotes.
Pour que le piston puisse rester dans la position SM, U est nécessaire que la charge qui agit dessus soit égale à la force élastique de la vapeur. Mais si celte charge vient à être diminuée d’une quantité aussi petite que possible, le piston devra s’élever jusqu’à ce que l’expansion de la vapeur lui ait enlevé assez de sa force élastique pour contrc-balancer la moindre charge quelle a à supporter. Supposons que l’équilibre étant établi daus In position SM du piston, une certaine quantité de |oids soit enlevée de manière à faire monter le piston en QN. Il est évident que l’effet mécanique, obtenu par la seule génération de la vapeur, sera à l’effet que nous venons «l’obtenir par cette détente partielle, comme le rectangle O K’ est au rectangle Q N X M N.
SI, pour nous servir du langage du calcul infinitésimal, nous supposons que M N ou la quantité dont le piston s’est soulevé soit inflnhneut petite, ce qui comporte une diminution de charge par degrés insensibles, nous pouvons admettre que l’aire du rectangle MN X QN soit égale a l’aire de la figure PMNQ. Il résulte de cette considération que l’effet mécanique développé par la simple expansion de la vapeur, depuis E E' jusqu’en M S, est représenté par l’aire do la figure E' PME, si nous admettons d’ailleurs que l’effet dû à la génération est représenté par le rectangle O E'. Or, d’après les propriété» de l'hyperbole équilatère, nous avons une égalité entre l’aire E'PME et le produit de l’aire
OE' multipliée par le logarithme hyperbolique du rapport Il est donc toujours aisé de déterminer
l’effet mécanique du a un degré quelconque d’expansion de la vapeur.
EXPANSION
Nous avons voulu faire comprendre, à l’aide d'une figure et de considérations purement géométreipics, tout le parti que l’on peut tirer du principe de l’expansion. Cette représentation sensible des effets donne lieu à une impression plus vive et plus durable que celle qui est due a un raisonnement abstrait. Comme il faut cependant traiter la question d’une manière complète, nous aurons recours nu calcul intinitésimal qui s'applique très heureusement dans la circonstance présente.
Soit V le volume occupé (Mtr la vapeur dans le cylindre avant l'expansion de cette vapeur, c’est-à-dirr nu moment ou l'on ferme toute communication avec le générateur. Désignons par p la force élastique (le la vapeur correspondante au volume V, force qui fait équilibre à la charge sur le piston, y compris la pression atmosphérique.
Si alors on permet à la vapeur de se détendre, elle viendra occuper un certain volume x, et sa tension ■/! eorrespondante à ce volume devra satisfaire à la proportion
d’ou : p = p X —
Supposons maintenant que cette tendon continue a agir en restant sensiblement la même pendant un parcours infiniment petit «lu piston, espace que nous représenterons par dx, conformément a la notation infinitésimale. L'effet mécanique gagné par cette détente dx de la vapeur sera mesure par le produit :
// x d x. . . . soit : p. — . d x
Tel est l'effet mécanique différentiel gagné par une détente infiniment petite de la vapeur. Pour avoir l’effet mécanique total produit pur ta détente de la vapeur, depuis le moment où elle occupait le volume Y jusqu’à celui ou elle occupe le volume xy il faudra évidemment prendre l’intégrale de l’expression différentielle que nous venons de donner entre les limites V et x. Nous aurons donc pour cet effet mécanique F :
pldx
Intégrant entre les limite, indiquées, nous trouvons :
i' = fVX log. ~
log. - désignant le logarithme hyperbolique du rapport des deux volumes x et V. Nous savons que
les logarithmes hyperboliques sont ceux qui correspondent a une certaine base >■ = 3,7 1 K38I 8. Bien que ces logarithmes hyperboliques ou Népériens soient publics daus la plupart des tables de logarithmes ordinaires, nous en donnons ci-dessous une table succincte, qui sera grandement suffisante dans tous les calculs relatifs au travail des machines à détente, et qui évitera d'avoir recours a des tailles trop compliquées pour les besoins d'une pratique fréquente.
342 PUISSANCE MECANIQUE DE LA VAPEUR D’EAU
T AB LE DES L (Mi A U I T II M LS II YPKRROUQtKS
rom LE CALCUL DU rilAVAlL OEH MACHISTE* A DÉTESTE.
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BQ
Nous pouvons donner a l'expression du travail F une forme plus appropriée aux besoins de l’application. Supposons que le volume de la vapeur, avant la detente, soit ail volume qu’elle occupe après, dans le rapport de U n, nous aurons :
x «= nV.
KXPANSION.
Noos avons . d'ailleurs , en représentant par / la température de In vapeur en (lettres centigrades :
d'ou :
Remplaçant x et pX par ces valeurs dans l'eipresslon de F, nous obtenons : F = 1287 | I + 0,00364 / } log. n
J Telle est la formule analytique de l'effet mécanique dû a la détente seule de la vapeur, le rapport »
de» volumes x et V pouvant être supposé aussi grand qu’on le veut, nous voyous qu’il n'y aurait |»int de limite a l'augmentation de puissance résultant de l’expansion, si l'on imuvnil supposer la vapeur infiniment expansible, et si d'ailleurs il n’y avait point des inconvénients pratiques a exagérer l’application du principe.
La formule que nous venous d'obtenir pourra servir a calculer les diverses quantités de travail gagnées par la détente de la vapeur, suivant que l’on fait commencer cette détente 3 tel ou tel point de In course du pistou. Celle formule représente en réalité le produit d'une pression par un volume; mais comme le v olume n’est autre que l'aire de la base du cylindre multipliée par la hauteur a laquelle la detente de la vupeur soulevé le piston, F sera exprimé en kilograroetres , si on introduit comme diviseur l’aire de la base. Pour plus de simplicité, nous n’avons qu'à supposer cette aire de 1 métré carré, et le calcul de l'expressiou de F, telle qu’elle est donnée, conduira immédiatement a des kllogrometres.
Les v aleurs de n correspondent aux diverses fractions de la course du piston auxquelles ou coupe la vapeur. Si, par exemple, on la coupe à la moitié de la course, » sera égal a 2; si e'est au tiers, au quart, n sera égal à 3, u 4. Voici d'une manière plus géuérale les valeurs de n correspondantes a toutes les fractions de la course où commence la détente :
Fractions de la course Valeurs de ». . .
Ku réunissant l’effet dù a la vaporisation directe et celui dù a la detente, nous aurons pour le travail mécanique total produit par I métré cube d'eau vaporisée et agissant en partie par detente :
T = 1387 | I -(- 0,00364 / j Ç I + log. » J
eu kilogrammes élevés a I mètre.
Pour trouver dans quel rapport l’effet mécanique dù a la vaporisation directe a été augmente par la détente de la vapeur, nous n’avons qu’a diviser la valeur de T par l'expression :
de l'effet provenant de la vaporisation seule. Nous obtenons ainsi pour quotient :
I + log. ».
PUISSANCE MÉCANIQUE DE LA VAPEUR D’EAU
Ce quotient est le facteur par lequel on devra multiplier le travail ordinaire d'une quantité donnée de vapeur, pour se rendre compte de l'augmentation d’effet due à la détente de cette mtvne quantité de vapeur.
Proposons-nous, pour exemple, de déterminer dans quel rapport le travail d'une certaine quantité de vapeur a été augmenté par la détente de cette vapeur commencée aux trois quarts de la cours**. Nous avons dans cette circonstance :
A = — «sss 1,33 . 3 ’
Le logarithme hyperbolique de « sera très approximativement, d'apres la table que nous venons de donner, égal a 0.3. Nous aurons donc:
I 4* log. » = 1.3
pour le nombre qui doit nous servir à multiplier l'effet ordinaire de la vapeur.
Si la vapeur était coupée aux Jj de la course, nous aurions :
et log. byp. de n = 2.013.
L’effet de la vapeur sera donc multiplie dans ce cas par 3.0 13, c'est-a-dire qu’il sera plus que triple.
