MODÉRATEURS A FORCE CENTRIFUGE

285. Les m ode* râleurs, dont l'influence s'exerce directement sur le moteur, se composent toujours d'un appareil sensible aux variations de la marclie et d'une connexion de celui-ci avec le récepteur.

Parlons d'abord de cette dernière, qui est la môme pour tous les modérateurs. On doit citer comme la plus simple la connexion directe, mais elle présente un défaut grave. En effet» si la machine s'accélère, l'appareil sensible en ressent l'influence-, le moteur se calme. Dès lors la vitesse tombe, l'appareil subit l'influence en sens inverse, le moteur reprend de l'activité. L'accélération reparait, etc. ; et, par suite, la marche se trouve soumise à une oscillation continuelle et très- fâcheuse.

Pour celle raison, on préfère de beaucoup interposer dans la connexion le système d'embrayage qui a été décrit ci-dessus (235; PL XJI,Jig. 109). L'appareil sensible se trouve alors en rapport direct avec le manchon d'embrayage M. et l'organe qui modèle le moteur avec la roue d'angle A. Si la marche ne subit que des modifications insignifiantes, le manchon oscille entre les roues H, IV sans se mettre en prise et sans caler ces roues; le moteur ne ressent donc aucune influence. Si la marche s'accélère par trop dans un sens ou

dans l'autre, le manchon M vient saisir pour quelques instants Tune des roues B, B\ qui cesse d'être loi le et manœuvre dans le sens convenable l'organe modérateur. Le moleur cesse par suite son effet accidentel, la marche revient à l'état normal, le manchon reprend la position intermédiaire et rend la liberté à la roue qu'il avait calée. Aucune connexion n'existe plus entre l'appareil sensible et le moleur, de sorte que l'on évite la réaction en sens contraire, qui est inévitable avec la connexion directe (').

Quant aux appareils sensibles, il en existe un assez grand nombre que nous répartirons en deux genres, suivant le principe employé pour créer celle sensibilité.

Premier genre. — Modérateurs à force centrifuge. Second genre. — Modérateurs à ressort.

286. Modérateurs a force centrifuge. — Le mouvement de rotation uniforme d'un point matériel m, avec un rayon ret une vitesse angulaire o>, s'effectue sous t'influence d'une force centripète idéale m »V* dirigée, suivant le rayon, vers le centre, et qui s'obtient en composant les forces réellement appliquées. On peut donc dire inversement que la force égale et opposée à la force centripète, et qu'on appelle centrifuge, ferait équilibre à ces forces réelle-;, et c'est ainsi que l'on envisage le plus ordinairement le phénomène. Comme la force centrifuge dépend de la vitesse angulaire, il est clair que cet équilibre ne sera pas le même pour toutes les vitesses. L'appareil par lequel il doit s'établir ne restera donc pas toujours dans le même état si on lui donne la pos-

(') J'ajouterai qifon peut établir la connexion dans les machines à vapeur avec le papillon d admission ou avec l'organe de détente. Ce mode est de beaucoup préférable, car le premier ci ce, par l'cirangli-ment de la veine* une détente dont l'cllet est perdu ; tandis qu'on l'utilise dans le cylindre même avec le second système.

MODÉRATEURS. aC)9

sibilité de varier, ce qui revient à dire qu'il sera alors sensible aux variations de la marche. Tel est le principe général des modérateurs à force centrifuge.

287. Bcgulatettr à boules. — Le plus ordinaire est un losange articulé (182), dont deux branches portent des boules massives, ou des lentilles pour diminuer la résistance de l'air (Pl. XF,ftg. a34). Son articulation supérieure participe à la rotation d'un arbre vertical qui fait partie de la machine. La force centrifuge écarte plus ou moins les boules, ce qui détermine l'ascension de l'articulation inférieure. Celle-ci est embrassée par une fourchette qui permet sa rotation, mais qui est entraînée par sa translation le long de Taxe. Elle bascule donc, et c'est ce mouvement que l'on utilise pour la réglementation.

Pour donner, sous une forme simple, la théorie de cet appareil, réduisons-le à un point matériel suspendu à l'extrémité d'une lige sans masse de longueur /, écartée de la verticale sous un angle a (Pl. If^, fi g. 52). Mous considérerons, d'après ce qui précède, ce point comme en équilibre sous l'action de la force centrifuge mw'r ou ww'/sina, et des forces réelles, à savoir : son poids mg, la tensjou inconnue de la tige et une force F d'intensité convenable appliquée tangentiellement au cercle que le point est susceptible de décrire dans un plan vertical pendant son écartement. Comme le corps ne peut, relativement au système tournant, que se déplacer le long de ce cercle, l'équilibre s'exprimera en égalant à zéro la somme des projections de toutes les forces sur la tangente à ce cercle. La tension inconnue disparaît alors d'elle-même, et il reste

F -+- mgsmat — muU sina.cosa = o;

d'où

F = m sina (w'/cosa — g).

La position d'équilibre spontané sans l'intervention

d'aucune force F l'obtiendra en faisant

On peut, pour cela, recourir à Tune ou à l'autre des deux hypothèses

m'/ cosa — g — o, sina = o;

d'où les trois solutions

cosa'=~, a"=o, a"=?t.

Je dis que la première est une position d'équilibre stable et que les deux autres fournissent un équilibre instable.

Supposons, pour cela, la lige placée par rapport à la verticale sous un angle quelconque a moindre que a', nous aurons

cosa> cosa' > -~ ,

m' / cosa — g^> o, F>o.

La force est donc dirigée vers la verticale comme sur la figure, ce qui montre que la tige a tendance à s'en écarter. Nous obtiendrons évidemment les signes contraires pour un angle a. supérieur à a'. On voit done que, dans toutes les positions qui ne sont pas d'équilibre, la tige a tendance à'se rapprocher de l'inclinaison a\ D'après cela, celle solution constitue une situation stable et les deux autres sont instables.

Il est clair d'ailleurs qu'on ne peul réaliser pratiquement qu'une position d'équilibre stable, et par suite la racine a1 satisfait seule à la question. Mais elle donne encore lieu à une remarque nécessaire. Pour les grandes vitesses, on a

m = go , cosa — o , a — - :

MODÉRATEURS. 3oi

la tige est rapprochée de l'horizontale. Si o> diminue, elle s'incline peu à peu, et pour

6>= y/y» cosa'=i, a'=o,

la lige est alors verticale. Pour des vitesses encore moindres, eoset' est supérieur à l'unité et a' devient imaginaire. On comprend cependant qu'il doit exister nécessairement pour la tige quelque position stable suivant laquelle elle puisse se mettre; et, en effet, on peut reconnaître que la seconde solution et." est maintenant devenue stable. Nous avons, en effet, dans le cas actuel,

-<y/fi

on en déduit

et à fortiori, pour uu écart quelconque a,

w'/cosa — £<o, F<o.

La force est alors dirigée de manière à s'éloigner de la verticale, et par suite il y a pour la tige tendance à s'en rapprocher, ce qui montre la stabilité de celte position. Cette nécessité d'un certain degré de rotation pour démarrer les boules n'a du reste rien d'absolu, et ne constitue pas un défaut de l'appareil, car on peut abaisser à volonté cette limite en prenant des liges d'une longueur suffisante, puisque / figure au dénominateur de la vitesse limite.

En résumé, ou voit que la tige reste pendante aux faibles vitesses*, elle ne se démarre de la verticale que pour une certaine valeur

3oa ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

et, à partir de ce point, elle s écarte de plus en plus en se maintenant sous l'inclinaison

cosa = —

On remarquera que celle position est indépendante de la masse des boules; à ce litre, un régulateur quelconque pourrait èlre installé sur une machine donnée, et tous réglementeraient de la même manière la distribution. Cependant si l'on remarque en même temps que F est proportionnelle à iw, on reconnaîtra que l'efficacité d'un régulateur, c'est-à-dire l'énergie avec laquelle il luttera contre les frottements cl l'inertie du mécanisme, ou entin sa rapidité d'inOucnce dépendent de la masse des boules qui devra augmenter avec le degré d'importance de la machine.

288. Le régulateur ainsi constitué présente encore un défaut grave que je vais faire ressortir. Supposons que la machine serve à effeetner un ouvrage déterminé, pour la bonne exécution duquel il soit nécessaire de conserver une cerlaine vitesse &>, sauf des oscillations sans importance. Mais supposons aussi que Ton veuille effectuer cet ouvrage sardes proportions plus ou moins considérables, de manière à ce que le travail moteur, dont la dispensalion est faite par le régulateur, doive varier en conséquence. On sera couduit à cette double condition, que la lige se tienne, sauf ses variations accidentelles, à une position 9! constante, puisque o) doit l'être, et que d'autre part la distribution du, moteur varie, et par suite aussi l'écartement a' qui la commande. Ces deux conditions sont contradictoires et impossibles à remplir avec le régulateur tel qu'il nient d'être décrit.

On parvient à y satisfaire en modifiant le dispositif. Ou s'arrange pour que la boule, au lieu de décrire dans le plan vertical un cercle de rayon /, parcouie une courbe diffé-

MODÉRATEURS. 3o3

rente dont il faut d'abord reconnaître la nature. La condition d'équilibre peut s'écrire

Oi2

Or, /cosa' est la projection sur la verticale de / ou de la normale de la courbe; c'est donc sa sous-normale, et comme w doit être constant, l'équation précédente exprime que la sous-normale est coustautc ou que la courbe est une parabole. Deux systèmes peuvent être employés pour assujettir les boules à décrire cette parabole.

Régulateur de Franhe. — Un premier mécanisme permet d'atteindre rigoureusement ce résultat; mais il convient de dire qu'il a peu réussi en pratique (Pl. XV, fig. a35). Les boules sont reliées à des roulettes engagées sur des courbes Gxes parallèles à la parabole, c'est-à-dire sur des développantes de la même parabole semi-cubique.

Régulateur Farcot. — Un second dispositif, qui n'est en principe qu'approximatif, réussit beaucoup mieux dans l'application (Pl. XFj fig. ^36). Au lieu d'une parabole, on emploie un arc de son cercle osculateur pour un point intermédiaire de la portion parcourue. Il suffit alors de suspendre, comme dans le premier cas, la tige à un point fixe; mais ce point n'est pins sur î axe de rotation, il est situé au delà ; car on sait que le centre de courbure cT un point de la parabole est toujours situé de Tantre côté de son axe. Pour cette raison, l'appareil de M. Farcot porte aussi le nom de régulateur à tiges croisées.

289. Régulateur de M. Léon Foucault. — M. Léon Foucault vient de construire un nouvel appareil qui résout, avec une rigueur absolue et une extrême simplicité, le problème précédent.

Imaginons que le sommet inférieur du losange soit fixe

3o4 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

et que le sommet supérieur porte, au contraire, le manchon mobile-, donnons de plus aux prolongements des côtés du losange qui portent les boules des longueurs égales à ces mômes côtés. Dans ces conditions, les boules se trouvent dans le plan horizontal de l'articulation fixe pour toutes les déformations du losange; elles ne sortent donc pas de ce plan, et l'influence de la pesanteur se trouve supprimée ('). Il s'ensuit que son antagonisme avec la force centrifuge n'existant plus, la moindre vitesse de rotation aplatira complètement le losange dans le plan en question.

Pour éviter cet effet, on relie les boules à Taxe par des ressorts à boudin dont le point d'attache se trouve de l'autre côté de cet axe sur une carcasse qui tourne avec lui. Ils ont de plus une longueur telle, que leur extrémité naturelle se trouve sur l'axe, l'écartement r de la boule dans chacune de ces positions mesurant par cela même leur allongement. U suit de là que l'action exercée par le ressort sur la boule aura pour expression Er, attendu que les forces élastiques peuvent être considérées comme proportionnelles aux déformations.

La boule peut géométriquement prendre toutes espèces de mouvements dans son plan; mais, en l'absence d'une cause précise, elle s'en tiendra au mouvement circulaire, le seul qui ne fasse pas naître de résistances passives ou d'inertie par le jeu du losange et de la distribution. La force centripète sera alors mesurée par mwV, et par suite on aura

valeur constante; ce qui montre que tous les écartements

(•) Avantage important pour les machines de navigation qui participent au roulis et au tangage du bâtiment.

MODÉRATEURS. 3o5

s'accommoderont de la même vitesse de régime. Ainsi donc cette vitesse sera compatible avec tous les degrés de puissance de la machine, puisque celle-ci est réglée par l'écartement même.

L'appareil fonctionne néanmoins comme régulateur; car, si la vitesse normale u vient à s'accroître subitement en devenant H, il faudrait, pour que la boule continuât à décrire le même cercle, qu'elle fût sollicitée par une force centrale mil'r, tandis que cette action est seulement égale à Er ou meoV. Elle sera donc impuissante à déterminer cette courbure, et les boules s'écarteront en fermant en partie l'admission. Mais, dès que la vitesse sera revenue par là à sa valeur normale w, elles resteront dans leur nouvelle position jusqu'à ce qu'une nouvelle variation vienne à les en détacher.

On remarquera que la transmission de la boule au manchon se fait par l'intermédiaire d'un parallélogramme d'Evans (4(>3) formé de la lige qui se meut entre l'axe et le plan horizontal, et qui est reliée à l'articulation fixe par un lien d'une longueur moitié moindre. Les vitesses des extrémités sont donc (ioo) en raison inverse de leurs distances à cette articulation, et, par suite, d'après le principe des vitesses virtuelles, les forces seront en raison directe de ces distances. Or, l'action exercée sur la boule varie déjà comme l'écartement; celle qui est développée sur le manchon sera, par conséquent, en raison de la hauteur de ce manchon au-dessus de l'articulation fixe.

290. livgulateur de Flaiid . — Il se compose d'un losange articulé dont deux sommets portent des boules; un troisième est fixé sur l'axe, et le dernier est garni d'un manchon embrassé par la fourchette c omme dans les appareils précédents (Pl. XF, jig. 237). La force centrifuge tend à écarter les boules et à aplatir le losange suivant celle de ses

3o6 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

diagonales qui est perpendiculaire à Taxe. La réaction d'un ressort n boudin tend, d'un autre côté, à le réduire à la diagonale dirigée suivant l'axe. De là un antagonisme variable avec la force centrifuge, qui rend l'appareil sensible aux changements de vitesse.

Pour trouver la position d'équilibre spontané, écrivons que le travail virtuel est nul pour le mouvement compatible avec la constitution de l'appareil. La force centrifuge est, comme ci-dessus,

/wwJ/sina;

le chemin décrit par son point d'application est un arc de cercle là oc. L'angle de ces deux directions est égal à or, puisqu'elles sont respectivement perpendiculaires à l'axe et à la tige. Le travail total a donc pour valeur

2 wu-/5 sina Cosarfa;

car il est le môme pour chacune des deux boules. Quant à la force du ressort, elle peut être représentée par Ex, si x désigne l'écartenient de la glissière à partir de sa positiou uatui elle, lorsque les boules sont sur l'axe et le ressort sans tension. Son travail sera donc

et l'équation d'équilibre

dffltt*/1 sina cosar/a — Exdx ;

mais on a

x = 2/(1 — cosa) dx — il sinar/a,

et la formule devient

2/3 sinfiu/afmwH'Osa — ?.E(i — cosa)] = 0,

ce qui permet de la décomposer ainsi :

(W-f 2E) cosa - 2E-o, sina = o;

MODÉUATEUHS. Zoj

d'où les trois racines

cosa •> a ~ o , a =tt.

La première conviendra toujours à la question, car elle tic peut devenir imaginaire.

291 . Régulateur Duvoir. — L'organe essentiel est un anneau de Saturne pouvant tourner autour d'un de ses diamètres fixé à angle droit sur Taxe, et emporté par celuici dans sa rotation (PL XV,fig. 238). La force centrifuge tend à mettre l'anneau dans un plan perpendiculaire à Taxe, l'action d'un ressort à le coucher sur Taxe, d'où un antagonisme variable analogue au précédent.

La théorie de cet appareil est fort compliquée et exige, pour être traitée en rigueur, l'introduction des intégrales elliptiques (!); je me contenterai d'en extraire les propriétés suivantes : l'anneau a deux positions d'équilibre; pour une vitesse infinie, l'une se trouve à angle droit sur Taxe et l'autre couchée sur lui : la vitesse allant en décroissant, ces positions se rapprochent et, pour une valeur déterminée, elles se confondent sous une certaine inclinaison ; la vitesse diminuant encore, l'équilibre n'est plus possible de cette manière, et l'anneau retombe sur l'axe. Ajoutons que la position écartée de Taxe est toujours stable et la position voisine instable. Cependant celle-ci devient stable lorsqu'elle est couchée sur l'axe, pour des vitesses comprises au-dessous de la limite.

Enfin, dans le cas particulier, mais le plus fréquemment réalisé, où le ressort est sans tension, lorsque l'anneau s'appuie sur l'axe, l'angle limite est nul; de sorte que la position inférieure est toujours conehéesur l'axe, instable pour

(') Mémoire sur le régulateur Duvoir, par J.-N. Hatos M lx fionrl ll<il. Annales des Mines, 5e série, t. XV1I1, p. yp.

3o8 ÉTUDE GEOMETBIQUE DES MÉCANISMES.

les vitesses supérieures à la vitesse limite et stable pour les autres.