GÉNÉRALISATION DU MODE DE TRANSFORMATION DES COURBES GÉOMÉTRIQUES

242. Nous ne pousserons pas plus loin ces dernières considérations, qui nous conduiraient à un grand nombre de propositions curieuses sur les courbes à double courbure et les surfaces, parce qu'elles nous feraient perdre de vue, trop longtemps, l'objet actuel de nos investigations relatives aux faisceaux de tangentes des lignes géométriques.

Jusqu'ici, en effet, nous avons supposé les points de concours de ces faisceaux à l'infini ou les tangentes parallèles, ce qui nous a permis de discuter, avec facilité, les singularités qui leur appartiennent; or il est bon de faire voir comment nos constructions peuvent s'étendre directement au cas où le point de concours est à une distance donnée sur le plan de la courbe, sans qu'on soit obligé de recourir (233) à la projection de la figure sur un nouveau plan. Pour cela, il ne s'agira que de généraliser ces constructions de manière qu'elles deviennent nsLtnreWement projectiles, ou telles, qu'elles demeurent applicables à la fois à toutes les projections coniques de la courbe proposée; ce qui est très-facile, comme on va le voir.

Afin d'obtenir, sur une transversale quelconque parallèle à la direction donnée, tous les points qui appartiennent à la dérivée de la courbe (m), nous avons tacitement supposé, dans le n° 233, qu'on ferait usage du compas ou de mesures graduées; mais on peut immédiatement ramener la détermination de ces points à une opération qui n'exige que le tracé de droites parallèles, lesquelles, comme on sait, se changent, dans les perspectives ou projections coniques de la figure, en de simples lignes concourant en des points donnés ; ce qui rend les opérations purement linéaires ou les abaisse au premier degré.

Ayant, en effet, déterminé, sur la transversale que l'on considère en particulier, les m intersections qui lui correspondent dans la courbe proposée, on mènera, par un point ou pôle arbitrairement choisi sur la droite qui sert d'axe à la dérivée, une parallèle à cette transversale, puis m autres droites aux intersections dont il s'agit. Cela posé, on conduira par chacune de ces intersections m— i nouvelles droites parallèles à celles des m droites précédentes qui n'y passent pas; ce qui donnera, en tout, m{m— j) droites de cette espèce, rencontrant la parallèle à la transversale en un pareil nombre de points distincts du pôle fixe par lequel est conduite cette parallèle, et qu'on ramènera sur la transversale elle-même, à l'aide d'un dernier système de parallèles à l'axe; ce qui donnera évidemment tous les points et les U. 29

seuls points qui peuvent appartenir à la fois à la dérivée et a la transversale considérée. Ainsi donc ces mêmes points seront au nombre de m(m — i), comme nous l'avons précédemment trouvé.

Faisant maintenant varier la transversale dont il s'agit, sans en changer la direction et de façon que sa parallèle, passant par le pôle fixe, reste ellemême invariable, on obtiendra la suite de tous les systèmes de m (m — i) points de la dérivée, dont le degré sera ainsi m[m — i), comme nous l'avions primitivement démontré en recourant à des considérations relatives à l'ordre et aux permutations possibles des intersections de chaque transversale avec la courbe proposée.

243. Le degré de cette dernière courbe, pas plus que celui de la dérivée, ne pouvant changer par les effets de la projection conique, on voit que les constructions qui précèdent seront immédiatement applicables au cas où le système des tangentes cherchées et les transversales auxiliaires des deux courbes, au lieu d'être parallèles à une droite donnée, devraient concourir en un point fixe quelconque du plan de ces courbes. Seulement alors, il conviendra de remplacer également chacun des autres systèmes de parallèles considérés, par autant de systèmes de droites qui convergent en de nouveaux points situés sur une droite quelconque passant par le point de concours des tangentes, et représentant ici la droite qui contenait, dans nos premières hypothèses, tous les points situés à l'infini sur le plan de la figure {voyez les n«* 105 et 106, p. 53, du tome I" de ce Traité).

Mais, sans nous arrêter à ces constructions par lesquelles nous serions ramenés aux diverses conséquences des n*'^ 234 et suivants, relatives aux tangentes singulières et superposées des points multiples, nous passerons de suite à ce qui concerne le rôle que jouent de pareilles tangentes dans toutes les relations de grandeur ou de situation relatives aux faisceaux convergents de tangentes quelconques des lignes géométriques, relations que la théorie des polaires réciproques nous montre être exactement les inverses de celles qui appartiennent aux systèmes d'intersection de ces lignes par des droites arbitraires.

DU IIÔLE JOUÉ PAR LES TANGENTES SINGULIÈRES DES POINTS MULTIPLES, DANS TOUTES LES

RELATIONS MÉTRIQUES OU DESCRIPTIVES DES COURBES. REMARQUES NOUVELLES SUR LA

244. Reportons-nous au principe général des n°' 129 et 130 du Mémoire (Sect. II) qui contient cette théorie, principe que, d'après la remarque déjà

SECTION m. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 227

plusieurs fois faite (p. 127 à i35, et n" 153), on doit considérer comme fondamental dans toutes les recherches qui ont pour objet de découvrir les propriétés ou relations quelconques concernant les faisceaux convergents de tangentes aux lignes géométriques.

Soit d'ailleurs, sur un plan, une ligne de cette espèce du degré m, et à laquelle par conséquent répondent, en général, m[m — i) tangentes issues d'un même point quelconque; supposons enfin que cette courbe ait un point multiple d'une certaine nature, auquel correspondent, par exemple, n t2ingentes singulières confondues en une seule suivant la direction indiquée par une droite arbitrairement menée par ce point, et qui devront être censées faire partie des m[m — \) tangentes issues d'un autre point quelconque de cette droite. Cela posé, si, en vertu des n°* 129 et 130, on suppose que, des trois sommets d'un triangle quelconque ABC situé sur le plan de la courbe, on mène, à cette même courbe, les trois systèmes de ttî (m — i) tangentes qui leur correspondent, et qu'ayant tracé arbitrairement une transversale au travers de ces systèmes et des côtés du triangle, on nomme/?,/?', /?",... ses intersections avec le faisceau des tangentes issues du sommet c du triangle; q, q', q",... ses intersections avec le système des tangentes issues de B, enfin a, b, c ses intersections avec les côtés BG, AC et AB respectivement, on aura constamment

iap){bq)icr) ^^ {bp){cq)[ar)

en conservant d'ailleurs les autres conventions adoptées aux numéros dont il s'agit.

Mais, attendu que n tangentes de chaque faisceau se trouvent confondues avec la droite qui joint le sommet correspondant du triangle et le point multiple, la relation précédente prendra cette autre forme :

ap .bq . cr ( ap' ){bq'){ cr' )

dans laquelle/?, q, rsont censés représenter les intersections de la transversale avec la tangente multiple, eip',p",..., q', q'\..., r', r",... celles des trois systèm.es des m — n tangentes restantes relatives à chacun des sommets du triangle, tangentes qui sont censées distinctes entre elles et de la transversale du point multiple, quoique d'ailleurs elles puissent être indifféremment réelles ou idéales.

D'une autre part, et en vertu du n** 126, nous avons aussi, pour les trois

droites joignant les sommets A, B, G au point multiple :

ap .bq .cr

bp.cq.ar '

donc enfin

{ap')[hq'){cr')^

{bp'){cq')[ar') '

ce qui fait voir que les faisceaux de tangentes, distinctes du point multiple, jouissent entre eux, et par rapport aux côtés du triangle ABC, de la même corrélation de situation qui appartient en général aux faisceaux complets formés de toutes les tangentes issues des mêmes points.

Ces considérations s'appliquant d'ailleurs aussi bien à la relation du n® 129 qu'à celle du n°130 qui vient de nous occuper, et étant également applicables à toutes les autres relations qui pourraient être déduites de celles-là, il en résulte généralement que, dans les recherches relatives aux propriétés projectiles des lignes géométriques, on peut indifféremment supprimer ou tenir compte des tangentes singulières superposées qui se rapportent aux points multiples, pourvu qu'on en retienne un nombre pareil dans chacun des faisceaux de tangentes issues des divers points considérés.

245. D'après ces observations, on ne sera plus surpris de voir la théorie des polaires réciproques nous offrir des courbes géométriques dont le degré surpasse, en apparence, le nombre des tangentes issues de points arbitrairement donnés sur leur plan, et jouissant, par rapport à ces systèmes de tangentes, de relations métriques ou descriptives essentielles et distinctes : cette circonstance tient, comme on voit, à ce que, dans certains genres de questions, on peut négliger totalement la considération des tangentes singulières, de la même manière que, dans d'autres, relatives au degré et aux systèmes d'intersections des lignes géométriques, on peut négliger les droites ou assemblages de droites, que, dans des circonstances plus générales, on aurait été primitivement conduit à regarder comme formant une partie intégrante de ces lignes.

C'est précisément là, en effet, ce qui arrive à l'égard de la polaire réciproque d'une courbe donnée possédant des points multiples, comme nous l'avons fait voir aux n°* 67 et suivants de la précédente Section. Car cette polaire doit nécessairement comprendre un certain nombre de fois les tangentes communes à deux ou à plusieurs de ses branches, les tangentes en ses différents points d'inflexion et de rebroussement; seulement nous nous sommes trompés dans l'appréciation de la multiplicité ou du nombre des

tangentes confondues en une seule avec chacune de celles-là, attendu que nous n'avions pas, en 1824, approfondi la question comme nous venons de le faire, et que nous ne prétendions qu'expliquer généralement comment la polaire réciproque d'une courbe de degré m, qui est elle-même du degré m(m—i) en général, pouvait cependant n'avoir que m tangentes issues d'un point arbitraire, c'est-à-dire n'être simplement que de la même classe, suivant la dénomination depuis admise par divers géomètres.

Or, cela se conçoit très-bien si cette polaire possède des points multiples en nombre et d'espèce tels, que la somme des tangentes multiples qui leur sont relatives soit nécessairement

246. Pour faire entrevoir l'origine et la possibilité de tous ces points multiples, nous supposions que la courbe proposée, censée la plus générale du degré m, devait elle-même nécessairement avoir un certain nombre de tangentes multiples communes à deux ou plusieurs de ses branches; ce qui est vrai en thèse générale, et si l'on n'entend point prononcer que ces branches sont essentiellement distinctes entre elles, mais ce qui cesse de l'être si l'on admet, au contraire, comme nous semblons l'avoir fait inconsidérément vers la fin du n° 67, que les points multiples de la réciproque peuvent être des points de croisement véritable, ou, tout au moins, des points doubles répondant à des tangentes communes à deux branches distinctes de la courbe primitive. Car il paraît clair, d'après les observations des n°* 237 et 239 ci-dessus, que les courbes géométriques, quels qu'en soient d'ailleurs le degré et l'espèce, ne sauraient essentiellement et toujours posséder de telles tangentes, pas plus qu'elles ne possèdent toujours et nécessairement des points de croisement véritable.

Or, comme suivant ce qui précède (235 etsuiv.) les points de rebroussement des divers genres jouent aussi le rôle des points de croisement véritable, et qu'ils ont pour réciproques polaires d'autres points de rebroussement ou des points d'inflexion (69 et 70), dont la tangente en représente plusieurs (235) confondues en une seule qui doit être censée commune au moins à deux branches aboutissant à ces mêmes points; attendu ces circonstances, disons-nous, il faut bien admettre que toute courbe du degré m, qui n'a ni points de croisement véritable, ni tangentes communes à des branches distinctes, doit au moins posséder des points d'inflexion et de rebroussement ou toute autre espèce analogue de points dont les tangentes seraient osculatrices de la courbe. On peut même affirmer, d'après ce qu'indique la théorie

33o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

des polaires réciproques, qu'une courbe plane d'un degré donné, non-seulement possède généralement de ces points, mais en possède d'autant plus que le nombre ou la multiplicité de ses points conjugués et de croisement véritable est moindre.

QUESTIOiyS ET TRANSFORMATIONS INVERSES RELATIVES A LA LOI QUI LIE LE DEGRÉ DES COURBES A LEUR CLASSE OU AU DEGRÉ DE LEURS POLAIRES.

247. Si nous nous proposions cette question, inverse de celle qui nous â occupés dans les n°* 233 et suivants : Une courbe de la n'""^ classe (245) étant donnée sur un plan , quel est son degré ou quel est le nombre de points suivant lesquels elle est susceptible d'être coupée par une droite arbitraire? on trouverait pour réponse inévitable le nombre n{n— i), soit qu'on observât que le degré de la polaire réciproque de cette courbe est simplement (66 et 67) n, et sa classe généralement n(n—\)y soit qu'on recherchât directement, et par des opérations inverses de celles qui ont été exposées au n^ 233, quel est le nombre des intersections de la courbe proposée par une droite arbitraire. Mais attendu que, parmi ces intersections, se trouvent nécessairement comprises, un certain nombre de fois, celles de cette même droite avec les tangentes singulières communes à des branches distinctes ou à des branches dont le raccordement s'opère aux points de rebroussement et d'inflexion de différents genres; comme ces tangentes ne font réellement pas partie de la courbe proposée (/*), on voit que le degré de cette courbe sera réellement moindre que n(n — i), si elle possède de pareilles tangentes, et elle en possédera nécessairement un certain nombre, comme on le verra tout à l'heure, même quand elle serait la plus générale possible de son degré. Sans insister sur les opérations inverses dont il s'agit, nous ferons cependant remarquer qu'elles donnent lieu à la considération d'une nouvelle espèce de dérivée, dont la classe est effectivement n(n — i), quand celle de la proposée est n, et dont la construction peut être finalement ramenée à ce qui suit :

248. Soit {a) une droite arbitrairement donnée sur le plan d'une courbe de la classe n, c'est-à-dire susceptible d'avoir n tangentes distinctes issues d'un même point quelconque de ce plan, et de laquelle il s'agit de trouver le système total des intersections avec [n) au moyen du traoé d'une certaine courbe auxiliaire. Par un point/? également arbitraire, soit menée une parallèle (6) à (a); d'un point quelconque a de cette dernière soient menées les n tangentes relatives à {n) et rencontrant (b) en n points censés gêné-

SECTION m. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. 281

ralement distincts entre eux. A partir de /?, on portera sur {b) les n{n — i) distances ou intervalles qui séparent ces n points combinés deux à deux, de toutes les manières possibles, par rapport à la grandeur et à la position (233); cela donnera lieu à n(n — i) nouveaux points sur (6), qui, étant joints avec a, fourniront un pareil nombre de droites; faisant varier le point de départe de ces droites sur («), leur enveloppe générale sera une courbe continue de la classe /i (/i — i), qu'on peut nommer la dérivée de [n), et dont les tangentes, issues de/?, donneront, par leurs rencontres avec la droite (a), toutes les intersections demandées de cette droite et de (/i), lesquelles seront en général au nombre de n(n — i), conformément à ce qui a été primitivement annoncé.

Mais, comme parmi ces intersections se trouveront nécessairement comprises, un certain nombre de fois selon leur espèce, les intersections de cette même droite {a) avec les tangentes aux points de rebroussement ou d'inflexion de (n) et les tangentes multiples communes à plusieurs branches, on voit qu'effectivement le nombre des intersections véritables de la courbe (n) et de la transversale [a), ou, ce qui revient au même, son degré, pourra être de beaucoup inférieur à n{n — \), conformément à la remarque qui en a déjà été faite ci-dessus.

249. Je dis maintenant que cette circonstance aura nécessairement lieu, même pour les courbes les plus générales de chaque degré, ou qui posséderaient véritablement m{m—i) tangentes distinctes issues des mêmes points et dont le degré serait m.

En effet, on a alors, n désignant toujours la classe,

nz=:ni{m — i); d'où n{n — i) = m^{m — i)^ — m{m — i);

et comme, par hypothèse, le degré effectif de la courbe est réellement m, il faut bien que cette courbe, si elle n'a aucun point multiple, possède tout au moins des points d'inflexion ou des tangentes osculatrices dont la somme des indices de multiplicité soit

c'est-à-dire que, dans les opérations graphiques ci-dessus, supposées appliquées à notre courbe générale du degré m et dont la classe est m[m~ i), m^[m — 2) des n[n — i) intersections trouvées sur la transversale arbitraire (a), appartiendront aux tangentes osculatrices dont il s'agit. En général, m étant le degré et n la classe véritable d'une courbe géomé-

trique, si on nomme t la somme des indices qui expriment la multiplicité de ces différentes tangentes osculatrices, et u celle des indices qui se rapportent (236) aux soi-disant tangentes relatives à des transversales ou sécantes quelconques passant par les différents points singuliers, on aura

ce qui établit une relation nécessaire entre ^ et m pour une courbe de degré donné m. On en déduit, en effet,

t z=z u^ — u[im{m — i) — ï] + m'(m — 2), relation qui a son analogue pour le cas où la classe est donnée (*).

INDICATION D UN NOUVEAU MODE DE TRANSFORMATION DES FIGURES, ANALOGUE A CELUI