II

Mathématiques (*), n'y ayant en effet simplement qu'effleuré le cas de l'espace, et m'étant constamment borné aux relations purement descriptives des figures; enfin j'ai annoncé que cette théorie était indispensable pour établir certaines propositions qui doivent entrer dans la partie de ces recherches relative aux courbes et aux surfaces géométriques en général. Je me propose ici de reprendre cette théorie et de lui donner toute l'étendue et tous les développements nécessaires pour en constituer un véritable corps de doctrine qui puisse se suffire à lui-même.

Vu son importance et son utilité générale dans toutes les questions et recherches géométriques, ayant d'ailleurs le dessein de réunir, par la suite, et de faire paraître sous un même titre les différents Mémoires de Géométrie que je me propose de rédiger successivement, je n'ai pas dû craindre de revenir sur le petit nombre des principes déjà exposés dans les ouvrages cités plus haut, et de m'appesantir sur ceux qui ne seraient point encore connus ou qui pourraient présenter quelques difficultés à être saisis par le grand nombre des lecteurs; j'ai même fait suivre chaque théorie particulière de plusieurs exemples qui, bien que des conséquences fort simples de ces théories, n'en sont pas moins très- propres à les éclairer et à en montrer l'esprit et la fécondité; j'ose donc espérer que l'Académie ne jugera pas trop sévèrement le résultat de mon nouveau travail, et qu'elle voudra bien excuser des détails et des développements nécessités par la nature du sujet et par le but particulier que je cherche à atteindre.

Pour donner une idée tant soit peu générale de l'objet que je me prop^ose et des principes qui m'ont dirigé, il est nécessaire de rappeler que \ep6le et la polaire d'une section conique ne sont autre choi^e que le sommet de r angle circonscrit à une telle courbe, et la direction indéfinie de la corde de cor^ tact des côtés de cet angle; tandis que, pour la surface du second ordre, le pôle et le plan polaire se confondent respectivement avec le sommet du cône circonscrit à cette surface et avec le plan indéfini du contact de ce cône.

Cela posé, considérons d'abord une figure quelconque sur le plan d'une section conique prise pour auxiliaire : on démontre aisément que, si un certain point se meut sur une ligne droite de la- figure donnée, la polaire de ce point pivote sur le pôle de cette droite, et réciproquement; or de là on conclut plus généralement que, si ce même point est assujetti à décrire une courbe quelconque, sa polaire en enveloppera une autre ayant à son tour la

{ * ) Foyez aussi le tome II des JppUcathns d'Analyse et de Géométrie, où Tarlicle des anciennes Annales de Montpellier , ci-dessus mentidhnées, se trouve rapporté textuellement et accompagné d'utiles commentaires {p. 476 à 5o4). — (Note de i865.)

première pour enveloppe des polaires de ses différents points; de sorte qu'on peut dire de ces deux courbes qu'elles sont polaires réciproques à l'égard de la section conique auxiliaire. Substituant donc ainsi à chaque point, chaque droite, chaque courbe de la figure proposée, la droite, le pôle et la courbe qui leur appartiennent, on formera une nouvelle figure qui elle-même pourra s'appeler la polaire réciproque de la première, et sera tellement liée avec elle que, d'après la théorie ordinaire du pôle et de la polaire simple, les relations descriptives ou de situation de l'une pourront se traduire immédiatement en des relations pareilles de l'autre.

C'est k montrer l'espèce de réciprocité qu'ont entre elles les deux figures daps différents cas, et relativement aux diverses positions des points et des lignes, que j'ai consacré la première partie de ce travail.

Ainsi, par exemple, j'y examine l'espèce de relations que conservent entre eux deux polygones réciproques polaires sur le plan d'une section conique, et je détermine le degré et les affections générales qui appartiennent aux courbes polaire» qui peuvent être considérées comme les limites de ces polygones, etc. Au surplus, je le répète, j'avais déjà exposé les éléments de cette théorie dans un article inséré au tome YIII des Annales de Mathématiques, ' année 181 8, en montrant, par quelques exemples, tout le parti qu'on en pouvait tirer pour la recherche des propriétés générales des figures, et j'y suis revenu avec plus de détails dans le Traité des Propriétés projectiles, t. P% dont les Sections II et III contiennent un grand nombre d'applications trèsremarquables et très-propres à montrer l'importance et l'utilité de ce genre de spéculations.

Pour passer du cas du plan à celui de l'espace, il suffit de substituer une surface* du second ordre quelconque à la section conique auxiliaire , et de remplacer la polaire par un plan : observant ensuite, avec MM. Monge, Livet et Brianchon, que quand un point ou pôle est assujetti à demeurer sur un plan ou sur une droite donnée, le plan polaire de ce point pivote lui-même sur le pôle du premier plan, ou sur une droite qu'on peut nommer H polaire de la première droite, et réciproquement, on établit aisément la définition elles principales relations descriptives des figures rectilignes et polyédrales, qui sont polaires -réciproquement dans l'espace, par rapport à une surface quelconque du second ordre prise pour auxiliaire : or, de là on paisse immédiatement, par la loi de continuité, aux cburbes à double courbure, aux surfaces développables et aux surfaces quelconques qui ^ont réciproques polaires dats l'espace, et peuvent être considérées comme les limites respectives des figures rectilignes et polyédrales dont il s'agit.

6o PROPRIÉTÉS PRO'JECTIVES DES FIGURES.

MM. Livet et Brîanchon avaient déjà recherché (XVIIl* Cahier du Journal de r École Polytechnique) quelle était Tenveloppe des plans polaires d'un point assujetti à demeurer constamment sur une courbe à double courbure ou sur une surface donnée, et ils avaient facilement reconnu, par l'analyse algébrique, que c'était, dans le premier cas, une surface développable qui se réduit à un cône lorsque la courbe proposée est plane, et, dans le second, une surface quelconque à double courbure, susceptible d'être engendrée par une droite en même temps que la proposée. Mais ces habiles géomètres n'ont pas recherché quelle espèce de relations et de réciprocité ont entre elles la figure primitive et sa dérivée; et, k l'exception du cas particulier où la surface directrice est du second ordre, ou se réduit à une section conique, ils n'ont point déterminé le degré de la surface polaire : or c'est ce que j'ai établi généralement dans la seconde partie de cet écrit, et par les seuls principes de la Géométrie rationnelle, en montrant de plus que Veweloppe des plans polaires d'une surface donnée est en même temps le lieu des pôles des plans tangents de cette surface; de sorte qu'elles jouissent de relations descriptives entièrement réciproques à l'égard de la surface du second ordre servant d'auxiliaire, remarque qui seule suffît pour justifier Tépithète de/wlaires réciproques que je leur ai appliquée.

J'examine, au surplus, les principales relations descriptives qui peuvent appartenir a la surface primitive et à sa dérivée, et je mets ainsi le lecteur en état de traduire sur-le-champ, io\xte propriété de situation relative à une figure quelconque donnée, en une autre essentiellement distincte et applicable à la figure qui en est la réciproque polaire. C'est ce que je démontre par l'application à plusieurs théorèmes particuliers qu'il serait, je crois, difficile d'établir de toute autre manière. Parmi ces théorèmes, je me contenterai d'indiquer ceux qui concernent l'intersection plane des nappes de développables circonscrites à deux surfaces quelconques du second degré, et le lieu de tous les centres de surfaces du même degré, qui sont tangentes à la fois à huit plans donnés quelconques, etc.

Ce qui précède concerne uniquement les relations purement descriptives, et, parmi ces relations, celles qui n'ont trait qu'à la direction indéfinie des lignes et des surfaces, sans égard à aucun rapport de grandeur; or j'ai consacré les trois derniers paragraphes de cette Section à examiner quelle espèce de modifications doivent éprouver, dans le passage de la figure donnée à sa polaire réciproque, soit les relations d'angles et de lignes trigonomé-triques, soit les relations métriques entre les simples distances; j'ai trouvé que, quand ces relations sont de la nature de celles que j'ai nommées ailleurs

SECTION II. - DES POLAIRES RÉCIPROQUES. 6i

projectiles, la traduction pouvait toujours avoir lieu de Tune à l'autre figure, et j'ai indiqué les moyens de l'opérer, dans tous les cas, par une substitution de mots et de lettres mis à la place les uns des autres, qui se réduit à une sorte de mécanisme. Ainsi, non-seulement on est en état de découvrir, par la théorie des polaires réciproques, de nouvelles propriétés descriptives des figures, à l'aide des propriétés descriptives déjà connues et établies par les géomètres, mais on peut en faire tout autant pour les relations métriques entre les angles et pour une classe trës-étendue de relations pareilles entre les simples distances, puisqu'elle comprend, comme cas particuliers, toutes celles de la Théorie des transversales et de la Géométrie de la règle.

Je ne dirai rien d'ailleurs des applications que j'ai faites de ces préceptes généraux à la démonstration ou à la recherche des théorèmes concernant les angles et les distances de certaines figures; je ferai seulement remarquer que, loin d'avoir épuisé le nombre des applications particulières et même des principes, je me suis constamment attaché aux plus simples et aux plus utiles d'entre eux, me contentant fort souvent d'en indiquer à la hâte quelques autres comme exercices, ou parce qu'ils me paraissaient dignes de fixer l'attention des géomètres. On verra en effet que la mine est d'une richesse pour ainsi dire intarissable, et que, si l'on voulait seulement citer ou énoncer les théorèmes de Géométrie qui peuvent découler de la théorie des po-, laires réciproques, par sa simple application aux propositions déjà connues, il faudrait y consacrer des volumes entiers et un temps considérable.

La théorie des polaires réciproques se rattache, de la manière la plus intime, à celle du centre des moyennes harmoniques, dont nous avons établi les principes dans la précédente Section : c'est ce qu'on a pu voir dans les écrits déjà rappelés au commencement de ces préliminaires; mais, avant de l'exposer dans toute la généralité qui lui est propre, je crois nécessaire de réunir sous un même point de vue et de résumer en peu de mots les différentes notions et définitions établies en ces divers endroits, de manière à arriver, par une marche à la fois claire et rapide, aux nouveaux principes qui foot l'objet de la théorie dont nous allons maintenant nous occuper d'une manière tout à fait spéciale; et, afin d'aller du simple au composé, nous commencerons par le cas facile où les objets de la figure sont situés dans un seul et même plan.

6a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Des figures polaires réciproques dans un plan.

55. Supposons que, d'un point quelconque P [fig.iOy PL III) pris sur le plan d'une ligne du second ordre, on mène une suite de droites telles que AB, rencontrant respectivement la courbe en deux points A et B, puis qu'on détermine (4 et 7) sur chacune d'elles le centre Q des moyennes harmoniques des points A, B par rapport au pôle commun P des rayons vecteurs pris pour origine des segments harmoniques : tous les centres pareils seront, comme on sait, situés sur une seule et même droite ou polaire TT' que, d'après nos précédentes définitions (42), nous pourrions aussi nommer Ya^e des moyennes harmoniques de la courbe relativement à l'origine commune ou au pôle P, qui, à son tour, pourrait s'appeler le centre des moyennes harmoniques de la courbe relativement à la droite dont il s'agit, prise pour fgkt des origines harmoniques, puisque la relation PA : PB : : QA : QB, qui lie lorigine P au centre Q des moyennes harmoniques de chaque transversale, est réciproque entre ces points.

Pour justifier sur-le-champ et à/?non ces définitions, il suffit de remarquer que chaque transversale PB, menée par le point fixe P; ne renferme qu'un seul centre Q des moyennes harmoniques, et que ce centre ne peut jamais se confondre avec le point P, quelle que soit la position de la transversale mobile; de sorte que le lieu des points Q est nécessairement du premiei* degré, c'est-à-dire une ligne droite [Propriétés projectiles y Section IV, n** 539).

Remarquons d'ailleurs, pour compléter ce rapprochement, que la polaire TT' d'un point P n'est autre chose que la direction indéfinie de la corde, réelle ou idéale, qui joint les points de contact T, T' des tangentes à la courbe, issues de ce point, et (1) que cette polaire s'éloigne à tinfini, ou se change en un diamètre de la section conique, selon que le pôle lui-même se confond avec le centre de cette section conique, ou s'éloigne à l'infini sur son plan; de sorte que le pôle d'un diamètre est à l'infini sur le diamètre conjugué, et le pôle de toute droite à Vinfini se confond avec le centre^ même de la courbe.

56. Cela posé, considérons quelque part sur le plan de la section conique proposée un nouveau point quelconque/? servant àe pôle aux sécantes ou transversales rectilignes a6 delà courbe; à ce pôle correspondra la nouvelle polaire ti rencontrant en Q la première, et, pour les transversales QP, Q/?

qui y passent, le point Q sera à la fois le centre des moyennes harmoniques des cordes AB et ab déterminées par ces transversales, et cela par rapport aux pôles respectifs P et p. Mais les points Q et P, Q et /? sont réciproques entre eux d'après la relation qui les définit : donc le point Q peut, à son tour, être considéré comme le pôle de la droite P/?, puisque les points P et/? suffisent pour la déterminer complètement, c'est-à-dire que cette droite est la polaire de Q par rapport à la section conique, comme la droite TT' Test déjà relativement au point P. Or de là résulte ce théorème qui sert de base à tout ce qui va suivre :

Si un certain point P est situé sur une droite Vp trojcée dans le plan d'une section conique quelconque^ sa polaire TT' passera nécessairement par le pôle Q de cette droite, et réciproquement.

57. Le point P étant le pôle de TT', comme le point Q est le pôle de Vp, le système du point P et de la droite Vp qui lé renferme , et le système du point Q et de.la droite TT', défini par le premier, devront jouir de propriétés réciproques à l'égard de la section conique auœiliaireon directrice; c'est pourquoi on peut dire que ces systèmes sont polaires réciproques l'un de l'autre.

58. Considérons, sur le plan d'une conique quelconque {/ig.m), deux droites arbitraires AB et AC se rencontrant en A; soit P le pôle de AB, et F le pôle de AC ; d'après ce qui précède, la polaire de A devra renfermer à la fois les points P et P', c'est-à-dire que PP' est cette polaire. D'un autre côté, le système du point A et de AB est réciproque de PP' et P, comme aussi le système de A et AC est réciproque de PP' et F; donc on peut dire que le système de BAC tout entier est réciproque polaire de P, V et PP'. 11 est évident, d'ailleurs, que si, au lieu de deux droites indéfinies AB et AC et de leur point de rencontre A, nous avions considéré primitivement le système des deux points P, F et de la droite PF qui les renferme, nous serions arrivés aux mêmes conséquences.

Enfin on voit pareillement que t le système d'un nombre quelconque » de droites AB, AC, AD,..., situées dans le plan d'une section conique, > et qui convergeraient en un même point A, aurait pour réciproque polaire » un système pareil de points P, F, F,..., rangés sur une même droite PF » polaire de A". »

59. En général, un système de m droites quelconques tracées dans un plan a pour réciproque polaire un système pareil de points en nombre

égal , et les - m (m — i) points d'intersection de ces droites, prises deux à

deui, sont remplacés par les -/n (m — i) droites ou distances qui joignent

aussi deux, à deux leurs pôles respectifs, de telle sorte qu'il passerait autant de ces distances par l'un quelconque de ces pôles, que dans la figure primitive il y a de points d'iutersection sur la polaire correspondante à ce pôle, c'est-à-dire m — i.

Ainsi, « les m droites du premier système et leurs intersections respec-

> tives ont pour réciproques polaires le système d'un égal nombre de points

> réunis deux à deux par les lignes droites ou distances indéfinies qui leur

> appartiennent, eUvice versa, ce dernier système a pour réciproque polaire

> le premier. >

Enfin, puisque les points d'intersection des m droites de celui-ci sont les pôles respectifs des distances de l'autre, c les droites ou diagonales qui

> joignent ces points deux à deux ont, à leur tour, pour réciproques po- » laires (58) les intersections correspondantes de ces mêmes distances pro-

> longées; » telle est donc l'espèce de relation graphique qui subsiste entre une figure plane rectiligne et sa polaire réciproque à l'égard d'une section conique tracée arbitrairement sur leur plan commun.

60. Considérons, par exemple, l'un quelconque des polygone3 ABCDE fyï^.aïi), formés par le système des droites proposées; ses côtés BA,BC, CD,..., ayant pour pôles respectifs les points a, b, c, rf, e, ses sommets B, C,..., A auront pour polaires respectives (58) les droites ab, bc, cd,.,.^ ae qui joignent deux à deux consécutivement les pôles dont il s'agit, et forment par conséquent le polygone abcd...^ qu'on peut nommer \% polaire réciproque du proposé.

En effet, d'après ce qui précède, les côtés et sommets de celui-ci auront à leur tour pour pôles et polaires les sommets et côtés respectifs du premier, et la même relation de réciprocité aura lieu entre les points de rencontre des côtés et les diagonales de ces polygones, à l'égard de la section conique auxiliaire: c'est-à-dire que \es diagonales et \es points de rencontre des côtés de l'un auront réciproquement pour pôles et polaires respectifs les points de rencontre des côtés de l'autre et ses diverses diagonales.

D'après cela on voit, entre autres, que si certains points de rencontre des côtés de l'un des polygones étaient situés en ligne droite, les diagonales qui leur correspondent dans l'autre concourraient (58) en un même point, pôle de cette droite, et vice versa.

61. Supposons maintenant que l'on coupe par une droite ou transversale

arbitraire les côtés prolongés de Tun des polygones polaires ci-dessus, cette transversale sera remplacée dans Tautre par un point pôle de cette droite, et tout point d'intersection avec un'côté lésera par une droite ou polaire passant (58) par ce pôle et par le pôle du côté dont il s'agit, c'est-à-dire par le sommet correspondant du polygone réciproque. Ainsi , le t système de la transversale et de ses points de rencontre avec les côtés du polygone proposé sera remplacé par le faisceau des droites qui joignent le pôle de cette transversale aux différents sommets du polygone polaire; et réciproquement, un pareil faisceau de droites convergentes, dans l'un des polygones, sera remplacé par le système des points de rencontre d'une droite transversale des côtés du polygone polaire. »

62. Considérons encore deux polygones quelconques sur le plan d'une section conique prise pour auxiliaire, ainsi que les polygones polaires qui leur appartiennent; supposons qu'on prolonge les côtés de l'un de ces deux polygones jusqu'à ses intersections avec ceux de l'autre : il est évident (59 et 60) que les points ainsi obtenus seront remplacés, dans les polygones polaires d^es proposées, par les droites qui joignent deux à deux les sommets de ces derniers. D'après cela on voit en particulier, que, si un certain nombre àQS points d' intersection àoniWs^^xU appartenant à ïï^s côtés différents , étaient en ligne droite, les polaires qui leur correspondent, et qui appartiennent également à des sommets différents des polygones réciproques, se croiseraient en un même point ( 58 } .

. Ces exemples mesemblent devoir suffire en ce moment pour mon trer l'espèce de dépendance graphique qui lie entre elles la figure primitive et sa dérivée, lorsqu'on n'envisage que des systèmes de points et de lignes droites situés dans un même plan ; et attendu que cette dépendance est réciproque de l'une à l'autre des deux figures, il nous est permis de les appeler /?o/aim réciproques à l'égard de la section conique auxiliaire. Les principes qui précèdent rendent d'ailleurs très-faciles les moyens de multiplier indéfiniment le nombre de ces exemples et de se familiariser avec eux; c'est pourquoi je crois devoir aborder de suite le cas où l'on a à considérer des lignes géométriques d'ordre quelconque.

63. Soit une telle courbe située sur le plan d'une section conique prise pour directrice des pôles; d'après la loi de continuité, on pourra regarder indifféremment cette courbe comme la limite de deux polygones inscrits ou circonscrits d*un nombre infini de côtés infiniment petits ; appliquant donc à ces polygones les raisonnements établis ci-dessus (60) pour un polygone

quelconque fini, on aura à considérer une nouvelle courbe, limite commune des polygones polaires des proposés, et qui sera à la fois le lieu (tes pôles (ks éléments ou des tangentes de la première et Nweloppe des polaires des points gui ^ lui app€uiiennent.

On pourra donc décrire, par deux procédés difTérents et faciles, la courbe dont il s*agit, qu'on peut nommer \^ polaire réciproque de l'autre, puisque, en vertu de ce qui a été dit (60) pour les simples polygones polaires, la courbe proposée doit à son tour être considérée à la fois, ou comme le lieu des pôles des tangentes de celle dont il s agit, ou comme l* enveloppe des polaires des points qui lui appartiennent.

D'ailleurs on arrive directement aux mêmes conséquences à l'aide du prin<* 1 ipe de l'article 56, en observant que, si t un certain point se déplace infiniment peu sur la première courbe ou sur la tangente en ce point, sa polaire, qui, par hypothèse, est une tangente de l'autre, tendra à pivoter sur le point de contact de celte tangente; car, d'après le principe cité, ce point de contact est à son tour évidemment le pôle de l'élément ou de la tangente que l'on a considérée sur la première; » c'est-à-dire que, si, en un point quelconque de Vune des deux courbes^ on mène une tangente à cette courbe, sa polaire touchera l'autre courbe en un point qui sera réciproquement le pôle de cette tangente.

Ainsi, ces deux systèmes de tangentes et de points de contact seront polaires réciproques l'un de l'autre, comme les courbes mêmes dont ils font partie.

64. Supposons maintenant qu'on inscrive ou circonscrive un polygone quelconque à l'une de nos deux courbes, il est évident, d'après ce qui précède, que le polaire réciproque de ce polygone sera, au contraire, circonscrit ou inscrit à l'autre courbe ; de telle sorte que \e% sommets inscrits se changeront en des côtés tangents ou circonscrits, polaires de ces sommets par rapport à la section conique auxiliaire, tandis que les cordes ou côtés inscrits se changeront en des sommets d'angles ou de polygones circonscrits, et vice versa pour la seconde figure. Toutes les autres relations de réciprocité indiquées ci-dessus (60), pour deux polygones polaires quelconques, continueront d'ailleurs de subsister entre les deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit aux deux courbes réciproques.

65. Pour développer encore plus ces considérations', concevons qu'on trace une droite ou transversale quelconque à travers l'une des deux caurbea: elle la rencontrera, en.général, en aatant de points qu'il est marqué pew son

degré. Or (63) chacun de ces points est le pôle d'une certaine tangente de la courbe réciproque, et (58) celte tangente passe nécessairement par le pôle de la transversale arbitraire; donc < le système de cette transversale et des points d'intersection qui lui appartiennent sera remplacé, dans la figure réci|)roque, par le système d'un égal nombre de tangentes hsues d'un même point, pôle de cette transversale. >

Ces deux systèmes sont d'ailleurs récipi'oques, c'est-à-dire que, à l'inverse, « si, d'un même point, on mène à l'une des deux courbes toutes

> les tangentes qui lui appartiennent, ce système aura pour polaire une

> droite rencontrant l'autre courbe en un nombre de points indiquant le » degré de cette dernière courbe et précisément égal au nombre des tan-

> gentes de la première qui sont respectivement les polaires de ces points. »