COMPOSÉS SONT DONNÉS

216. Afin de donner à cette partie de nos recherches toute l'extension dont elle est susceptible et que mérite son importance, flous nous proposons de montrer généralement comment /n-i points û, 6, c, rf,..., g", h étant donnés, à volonté, sur la direction d'une même droite, et n autres points :r, x', :f",..., de cette droite, étant simplement définis par les n relations

dans lesquelles K, L, M,. . ., P, Q sont des nombres assignés à priori , ou des rapports homogènes et quelconques de longueurs; nous nous proposons, dis-je, de montrer comment, à l'aide de ces données, on peut, de différentes manières, ramener la construction des points x, x\ x",, . . à celle d'une courbe, de degré n, contenant tous ces points, et dont le tracé effectif exige seulement qu'on sache déjà construire n — i ou n — i points en ligne droite assujettis à des conditions analogues. Afin de simplifier un peu les raisonnements, nous conviendrons, une fois pour

(*) ^oyez la note de la page 187.

Jlà

2oa PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

toutes, de désigner par (X ) la droite indéfinie qui contient les n points Inconnus Xy oc' ^ x^,. . . ainsi que les n-t-i points donnés «, *, c, rf,. . . g; A, et généralement par (A) toute transversale ou droite arbitraire contenant a, par (B) toute transversale contenant 6, par (C) toute transversale contenant c, etc.; ces différentes transversales étant d'ailleurs situées dans un plan unique passant par (X). Enfin nous convenons également de désigner par (AB)rangle ou le système desdeuxdroiteB{A) et (B), par (ABC) le triangle formé par la rencontre mutuelle des trois droites (A)» (B) et(C), en supposant d'ailleurs que C représente Tinterseclion de (A) et de (B), A riniersection de (B) et de (C), etc.

217. Première solution générale. — Les conventions qui précèdent étant admises, concevons, par Tun quelconque a des points donnés sur (X), la transversale arbitraire (A); prenons à volonté, sur cette droite, «points />,p', />'',..., distincts de a, pour y faire passer une ligne du degré n, que nous désignerons par (n) et qui devra contenir, en outre, les n points x, x\ ^r'^,..., lesquels seront ainsi déterminés quand (n) le sera. Par le pointé, menons pareillement l'arbitraire (B), et, sur cette arbitraire, prenons les n — i points quelconques ç', q"y g'^, ... pour y faire passer également la courbe (n); la n**^ intersection q, de celte courbe et de (B),sera évidemment déterminée en vertu de la première des équations ci-dessus. Car le triangle (ABX), étant considéré comme transversal de (n), donnera la relation

(Bp)(Xg)(Ax) (ap)(Xg)(ft;r) {\p){kq)(\^x)^ [y.p)(bq){ax)'

attendu qu'ici le sommet B du triangle (ABX) se confond avec a et le sommet A avec b.

On aura donc, pour déterminer (166) le point q sur (B),

{ap)(y.q')(bx)lLq (ap)(\q') ,. X^ (^p)[bq')(ax)bq - [\p){bq')''^ bq -''

équation dans laquelle il n'y a d'inconnues que Xç et bq.

Si d'ailleurs K était donné en produits de segments, comme cela a lieu pour la question du n® 207, il est clair (172 et suivants) qu'on pourrait construire linéairement le point q au moyen de tous les autres. Et il est évident réciproquement que la connaissance du système des n points q, q', q'\. . . et de celui des n points p, p'y p'\, . ., équivaut à celle du rapport K, et peut par conséquent tenir lieu de la première des équations proposées.

Menons pareillement la transversale arbitraire (C) par c, et prenons sur elle les n — I points quelconques r', r", r'",, . . considérés encore comme appartenant à {n); on construira la n'*"^ intersection r, de {n) et de (C), en regardant, à son tour, le triangle (ACX) comme transversal de la courbe (n) dont il s'agit; au moyen de quoi, le système de ces n nouveaux points et des deux précédents devra encore être censé équivaloir aux deux premières des relations données, ou tenir lieu de la connaissance de K et de L.

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2o3

On continuerail ainsi évideroment tant que le nombre des systèmes de points p, de points q^ de points r, . . . , de points «, successivement déterminés de cette manière, ou tant que le nombre des droites arbitraires (A), (B), (C),. . . (F) qui leur correspondent, ne surpasserait pas n — i ; mais on ne saurait aller au delà, vu que le système des n points x, j/, a/',. . ., qui doit être censé donné par les équations cidessus, réuni aux n — i autres systèmes des n points /?, des n points ç,. . ., des n points u que nous supposons appartenir, ainsi que le premier, à une courbe unique du degré /i, ne laissent plus d'arbitraire (214) que le choix d*un seul et dernier point, dont la connaissance, comme on va le voir, complète entièrement les données graphiques nécessaires pour déterminer celte courbe, et pour ramener son tracé à la résolution de systèmes d'équations analogues aux proposées (211), mais en nombre inférieur d'une unité; ou, ce qui revient au même, pour ramener ce tracé à celui d'une autre courbe dont le degré serait seulement n — i.

218. Pour le démontrer, soit v ce point choisi à volonté dans le plan des droites (X), (A), (B),. . .; menons les nouvelles droites vg et vA aux derniers points gt\ h donnés sur (X); ces droites, que d'après les conventions précédentes nous nommerons (G) et (H), rencontreront de nouveau et respectivement la courbe {n) en n — I points j^', y^'^y'^y^ . . et en n — i points z', z^y 2*',. . . dont la détermination, je le répète, dépendra de la résolution d'une question analogue à la proposée, mais d'un ordre moins élevé.

Considérant, par exemple, la droite (G) ou vg^en particulier, on prendra successivement chacun des n — i triangles (GX A), (GXB), (GXC), . . ., (GXF)pour transversal de la courbe, ce qui donnera lieu à autant de relations distinctes de la forme de celles du n® 213, et qui seront, en effet, aptes à définir les n — i intersections X'tX"f X'^f . . . relatives à la droite dont il s'agit, attendu que les valeurs des rapports

r^— ^» 7T— T' 7^— !i---î qui entreront dans leurs seconds membres, seront toutes (ax) [hx) [ex)

données immédiatement par les n équations primitives (216) qui définissent les points Xy x't x'\ .... Supposant donc qu'on sache déjà résoudre, pour le degré n — I ou pour n — i équations, le problème général qui nous occupe, et traitant le système des points z'y z'\ z'^,. . ., comme on vient de le faire pour celui des points /', x", /"*,..., on connaîtra n ■+■ i systèmes de n points en ligne droite, relatifs à la courbe (n), lesquels seront en nombre plus que suffisant (211 et suiv.)pour en déterminer les différents systèmes d'intersections avec une droite mobile autour de l'un quelconque de ces points, et ce à l'aide d'une suite d'équations qui se rapportent elles-mêmes toutes au degré n — i.

219. On simplifiera un peu la première partie de ces constructions, celle qui se rapporte à la détermination des points^', y*", y" y - et 2', z" y z*',. . ., en remarquant que, puisque les /i — 2 points g', r', y,. . . et les /i — 2 points g*', r''y *",... ont été pris d'une manière entièrement arbitraire, on peut les choisir respectivement sur les droites (G) et (H) qui joignent le point v aux deux derniers des points donnés, g et A.

En effet, attendu que les n^\ points v, 9', r\ «',... appartiendront alors à la

ao6 PROPRIÉTÉS PROJECTIYES DES FIGURES.

points inconnus de la ligne du second ordre. Celte ligne, passant en outre par les trois autres points q'y p' et (/", sera ainsi complètement déterminée, et donnera, par ses intersections avec (U), le couple des points u' et uf' demandés.

Faisant maintenant varier la transversale ( U ) autour de v comme pôle, on obtiendra, d'une manière assez rapide, la suite de tous les couples de points analogues à f«' et u", qui tracent la courbe (n) dont les intersections a:, j/, x"^. . ., avec la droite (X), se trouvent être précisément les n points satisfaisant aux équations proposées.

222. Troisième et dernière solution générale. — Si, au lieu de supposer v un point multiple de Tordre n — 2, on le supposait de Tordre n — 1, on ne pourrait, au plus, se donner arbitrairement que les n points p, p\ p^, . . . , situés sur la droite (A) menée à volonté para; car nous avons vu (203 et suiv.) qu'un tel point multiple et les deux groupes de n poinls, />, /?', />",..., jr, x', x",. . ., dont le dernier doit toujours être censé défini complètement par les n équations primitives, suffisent pour déterminer et même pour construire linéairement la courbe du degré n qui passe par ces différents points. D'ailleurs, en suivant toujours Tesprit des méthodes mises en usage dans ce qui précède, on chercherait à déterminer, au moyen des points arbitraires p, p'y p",--- du point multiple v et des n équations proposées, un nouveau système de n points de la courbe, situés en ligne droite, lesquels, réunis avec les premiers, serviraient à décrire linéairement cette courbe sans qu'il fût nécessaire de recourir directement aux points x, x\ x'\ . . .

En effet, menant de v vers les différents points b, c, d,. ..^ g, A, en nombre n, des droites ou rayons vecteurs (B), (C), (D ),..., (G) et (H), on déterminera linéairement leurs dernières intersections avec la courbe (n), et qui sont distinctes de v, «Ml considérant successivement les triangles (AXB), (AXC), (AXD ),..., (AXH) comme transversaux de celte courbe, et remplaçant, dans les équations correspondantes, les rapports des produits de segments (ax), (bx), {ex), {dx),. . ., {hx) par leurs valeurs tirées des équations primitives; car il n'y restera plus d'inconnus que les rapports simples des paires de segments qui, sur chacun des rayons vecteurs v6, yc, ...» v/i de ces triangles, appartiennent aux n intersections cherchées, rapports qui seront ainsi donnés immédiatement par chaque équation. Conduisant enfin, par Tun quelconque p des points p, p\ p'\ ... et par 6, je suppose, une nouvelle droite (B,), les n — i autres intersections tt', 7:",. . . de cette droite et de la courbe seront déterminées par un système d'équations du même genre que les proposées, en nombre /i — i, et qui seront données par les triangles successifs (XB,C), ( XB, D ), . . . , considérés à leur tour comme transversaux de cette courbe ( *).

( * ) La question se trouve ainsi ramenée à une autre du degré /i— i seulement; mais on la rabaisserait de suite au (« — 2)* degré, si, au lieu de prendre les points//, p\ /?',... de (A) totalement arbitraires, on déterminait l'un d'entre eux d'après la condition que Tintersection de pb ou(B,) avec rv ou (C), par exemple, fût sur la courbe (/i). En efiet, la même équation qui, d'après ce qui précède, donne cette dernière intersection au moyen des poinls /?, p\ /?",..., servirait aussi à déterminer linéairement l'un de ceux-ci au moyen de Tintersection dont il s'agit, censée donnée à priori; et, si l'on supposait qu'à son tour Tintersection de </v ou (D) et de (B,)

Ayant ainsi toutes les intersections/?, p\ p'\,. . et /?, -rly tt'',. . . relatives aux droites ( A) et (B), on sera en état de construire linéairement autant d'autres points de (il) qu'on le voudra, situés sur les différents rayons vecteurs qui partent du point multiple V. Menant, par exemple, la transversale vm, qui rencontre en m et / respectivement les droites (A) et (B,) dont il s'agit, on sera en état de construire sa nouvelle intersection z avec (/i), en ne faisant usage que d'une simple règle; mais, au préalable, il sera nécessaire de déterminer la tangente au point /i, qui est commune à (A) et à (B), ce qu'on fera sans difficulté à l'aide de la relation même qui, d'après le n^ 171, lie le point z à l'intersection correspondante de cette tangente et de mi/, intersection que nous nommerons a. En effet, la considération du triangle Imp, dont le sommet p est sur la courbe (n}, donne la relation

{mp*) (mi\ /y"-' Iz ma

(np') (/tt') mv^'mz'7^""''

qui servira à déterminer linéairement (172, 17i et ISi ) le point a de la tangente en p, si l'on suppose que v/ se confonde précisément avec la direction de l'un des rayons vecteurs v6, y c, . . . , pour lesquels, d'après ce qui précède, z est connu, ou qui servira à construire linéairement z, quand la tangente dont il s'agit aura été construite une fois pour toutes.