AUX COURBES PLANES

306. Considérons en particulier les deux propositions du n^l92; il est clair qu'elles donnent immédiatement lieu à ces énoncés :

Une courbe géométrique de degré quelconque et un point fixe étant donnés à volonté sur un plan^

1 ^ Si, de ce point considéré comme pôle^ on mène une suite de sécantes ou de transversales rectilignes dans la courbe, puis qu'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes harmoniques des points d'intersection correspondants, par rapport au point fixe ou pôle, la suite de tous ces centres appartiendra à une droite unique que nous nommerons /'axe des moyennes harmoniques de cette courbe conjugué au pôle dont ils agit;

2® Si^ ayant choisi à volonté deux des transversales ci-dessus, on Joint deux à

deux y par de nouvelles droites y celles de leurs intersections qui appartiennent aux mêmes branches de la courbe ^ le système de toutes ces droites ^ en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe ^ aura même axe des moyennes harmoniques par rapport au pôle fixe des transversales.

307. Le premier de ces deux théorèmes, pour le cas particulier où les moyennes sont prises avec des coefficients numériques égaux, n'est autre que celui de Côtes, démontré par Mac-Laurin dans son Traité posthume d' Al-gèbre (1748). Il redonne le théorème de Newton sur le diamètre des courbes planes, conjugué à la direction d'une droite quelconque, quand on suppose le pôle k l'infini ou les sécantes parallèles entre elles et à la droite fixe dont il s'agit. Par cette supposition, en effet, tous les centres de moyennes harmoniques des transversales se changent (15 et 26) en des centres de moyennes distances, et l'axe des moyennes harmoniques en un euce de moyennes dis-^ tances pour lequel la somme algébrique des segments interceptés sur les trans^ versales^ entre cet axe et les différentes branches de la courbe, est égale à zéro.

Quant au second de ces théorèmes, il conduit immédiatement à ce nouveau corollaire :

* Si l'on coupe une ligne plane géométrique par une droite arbitraire,

> puis qu'on mène des tangentes aux diverses intersections correspondantes,

> le système de toutes ces tangentes aura même axe de moyennes harmo-

> niques que la courbe par rapport à un point quelconque de cette droite

> pris pour origine des segments et pôle d'une suite de transversales. »

308. Ce dernier corollaire renferme comme cas particulier une belle proposition démontrée par Mac-Laurin dans l'ouvrage déjà cité, et qu'on peut considérer également comme une conséquence fort simple du théorème de Côtes. En y supposant le pôle situé à l'infini sur la droite arbitraire, les transversales qui s'y rapportent deviendront toutes parallèles à cette droite, et l'axe des moyennes harmoniques se changera encore en un axe des moyennes distances ou diamètre de la courbe, conjugué à la direction de cette même droite. Enfin, si l'on suppose que la sécante ou transversale d'abord considérée s'éloigne tout entière à l'infini sur le plan de la courbe proposée, on retombera directement sur cette autre proposition due à Newton :

Dans toute courbe plane géométrique, le système total des asymptotes a même diamètre que la courbe, conjugué à une direction donnée quelconque ; corollaire d'où l'on aurait pu inversement déduire, par nos principes, les théorèmes généraux ci-dessus; mais il est évident que Newton, Mac-Laurin et Côtes n'ont point aperçu la liaison intime existant entre ces différents théo-

SECTION IV.— DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 2^3 rèmes, qui (Sect. P*) s'étendent aux cas où les moyennes sont prises par rapport à des coefficients numériques arbitraires.

THÉORÈMES CORRESPONDANTS POUR LES LIGNES A DOUBLE COURBURE ET LES SURFACES.

309. Les mêmes propositions relatives aux courbes planes et à leurs asymptotes, qu'on pourrait multiplier pour ainsi dire à volonté à l'aide des théorèmes généraux contenus dans les précédentes Sections, s'étendent immédiatement aux surfaces et aux lignes géométriques à double courbure quelconques, en vertu de raisonnements analogues à ceux qui ont été mis en usage dans les n"*' 44 et 45 du Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques (Sect. !")• On est ainsi conduit aux théorèmes généralisés qui suivent:

Étant donnés^ dans l'espace^ une surfojce géométrique quelconque et un point fixe pris pour pôle commun d'une infinité de transversales rectilignes arbitraires^ le système de tous les centres de moyennes harmoniques des intersections de ces tranversales avec la surface^ conjugués au pôle fixe^ appartiendra à un plan unique qu'on peut appeler : plan des moyennes harmoniques relativement à ce même pôle.

310. Considérant, en particulier, trois quelconques des transversales dont il s'agit, et concevant un système de /?/an5-corrf^5 joignant trois par trois les intersections qui appartiennent à des transversales distinctes et aux nappes diverses de la surface proposée, le plan des moyennes harmoniques de ce système de plans cordes, relatif au pôle fixe des transversales, se confondra avec celui de cette surface. Et, si les trois transversales dont il s'agit se réunissent en une seule, les plans-cordes se confondront avec les plans tangents de la surface aux extrémités de cette droite unique; de sorte que tous les systèmes de plans tangents pareils qui appartiennent à des transversales différentes, issues dudit pôle, auront un seul et même plan de moyennes harmoniques, confondu avec celui de la surface proposée par rapport à ce point fixe ou pôle.

Si, d'ailleurs, on suppose dans ces énoncés que le pôle fixe passe à l'infini ou que les transversales deviennent parallèles à une direction donnée, les centres de moyennes harmoniques divers se réduisant à des centres de moyennes distances, on arrivera à des théorèmes analogues relatifs aux plans de moyennes distances qu'on pourra nomxùQV plans diamétraux de la surface conjugués à la direction dont il s'agit.

Ainsi, par exemple, c tout plan diamétral d'une surface géométrique, » conjugué à la direction d'une droite donnée, est aussi le plan diamétral » de chacun des systèmes de plans tangents à cette surface qui corres- » pondent à ses intersections avec une droite quelconque parallèle à la > direction fixe de la proposée. >

311. En remarquant qu'une surface géométrique donnée possède une infinité de développables du même degré, circonscrites aux contours de ses différentes sections planes, ou ayant mêmes plans tangents aux points de ces sections; en remarquant de plus que, parmi toutes ces développables, il en est une, mais une seule, qui est asymptote de la surface proposée, ou dont la ligne de contact est entièrement située à l'infini dans un plan qui peut être considéré lui-même [Propriétés projectiles, 1. 1®% Supplément, n^576 et suiv.) comme contenant tous les points à l'infini de l'espace; enfin, en se rappelant que, dans tout système de droites ou de plans parallèles, ces droites et ces plans doivent être censés concourir en un même point ou en une même droite commune a l'infini, on conclura de ce qui précède les propositions suivantes :

i^ Toute surface développable circonscrite à une surface géométrique quel-conque suivant le contour de l'une quelconque de ses sections planes, a même plan diamétral que la proposée, conjugué à la direction d'une droite arbitraire, parallèle à ce plan; ou, plus généralement, cette surface développable a avec la proposée, même plan de moyennes harmoniques conjugué à l'un quelconque des points de ce plan de section de contact.

2^ La surfax:e développable asymptotique d'une surface géométrique quelconque a même plan diamétral que celle-ci, conjugué à la direction d'une droite arbitraire; ou, en d'autres termes, toute transversale droite coupe l'une et l'autre de ces deux surfax:es en deux groupes de points qui ont le même centre de moyennes distances, pris toujours par rapport (38) à des coefficients numériques arbitraires.

3^ Dans toute surface géométrique, le système total des plans asymptotes relatifs à la direction d'un plan donné, ou qui contiennent toutes les asymptotes des intersections de la surface parallèles à ce plan, ce système, dis-je, a même plan diamétral que la surface proposée, conjugué à la direction d'une droite prise arbitrairement dans le plan donné.

312. Ce dernier théorème est, pour les surfaces géométriques, l'analogue de celui de Newton pour les simples lignes planes: on y parvient immédia* tement en supposant que, dans le dernier des énoncés du n^ 310, la droite

Considérant d'ailleurs le système total des asymptotes de la courbe ou des tangentes qui répondent aux points à Tinfini de cette courbe, on s'assurera, par nos principes, qu'il a le même diamètre qu'elle, conjugué à la direction d'un plan fixe arbitraire. De plus il sera évident encore que :

Les m asymptotes d'une courbe plane ou à double courbure de degré /w, devant être considérées comme une ligne de ce degré, tout plan transversal de ces m asymptotes et de la courbe y déterminera deux groupes de m points ayant un même centre de moyennes distances.

PROPBIÉTÊS DIVERSES DES AXES, DES PLANS ET DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES DES LIGNES OU SURFACES GÉOMÉTRIQUES, CONJUGUÉS A DES FAISCEAUX DE TANGENTES OU DE PLANS TANGENTS, ETC.

315. Des propositions plus générales encore ont lieu pour les courbes de Tespace, leurs enveloppes développables osculatrices ou tangentielles (82), par rapport aux faisceaux de plans tangents et de génératrices droites issus de points, de droites ou de plans arbitrairement donnés au dehors de la courbe, à laquelle on peut d'ailleurs substituer une surface géométrique quelconque. C'est ce dont on verra divers exemples ci-après.

Si d'ailleurs on applique à ces propositions générales les principes exposés dans le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Sect. II, n"* 120, 131 et suiv.), on en déduira un grand nombre de nouveaux tliéorènnes relatifs aux systèmes de tangentes et de plans tangents, des courbes ou surfaces géométriques, issus de points et de droites donnés. Mais, comme il ne s'agit point ici d'un Traité complet sur ces lignes et surfaces, nous nous contenterons de quelques exemples propres a mettre en évidence la richesse et l'étendue de la matière, en même temps qu'ils nous offriront l'occasion de poser quelques définitions nouvelles.

316. Appliquons d'abord les principes de la théorie des polaires réciproques à la propriété du n^ 305 concernant les axes de moyennes harmo-* niques des courbes planes, conjugués à des points ou pôles fixes : il en résultera évidemment cet autre théorème, analogue au premier de ceux du n" 29, qui concerne un simple groupe de points :

Une courbe géométrique et une droite fixe étant données arbitrairement sur un plan, concevons que d'un point quelconque de cette droite on mène toutes les tangentes uie la courbe^ puis qu'on détermine ( 15 et 25) Va^e des moyennes harmoniques de ce faisceau de tangentes par rapport à la droite fixe donnée;

droites arbitrairement choisies sur le plan fixe, pour servir d'axe d'origines

aux segments harmoniques.

320. Ce théorème est l'extension évidente de celui du n® 49, qui concerne un simple groupe de points situés arbitrairement dans l'espace. Quand on suppose que le plan fixe passe a l'infini, il fournit la définition du centre général de moyennes distances des surfaces géométriques, qu'il n'^st pas permis, comme nous en avons déjà prévenu (318), de confondre avec ce qu'on nomme ordinairement le centre de figure des surfaces, et qui ne se confond pas non plus avec l'enveloppe des plans diamétraux conjugués à des directions de plans quelconques.

Passant aux propositions inverses de celles qui concernent la courbe à double courbure (313), rappelons-nous que la polaire réciproque (83) d'une telle courbe est une surface développable quelconque dont l'arête de rebroussement est, à son tour, la réciproque polaire de la surface développable osculatrice de la proposée ou qui est formée par le système de toutes ses tangentes. On arrive à ces divers énoncés :

Une surface développable et une droite ou axe fixe étant donnés, si, des dif^ férents points de cette droite, on mène autant de systèmes de plans tangents à la surface, et qu'on détermine pour chacun d' eux le plan des moyennes harmoniques conjugué à cet a^efixe des origines (48), tous ces plans iront passer par une droite unique qu'on peut appeler elle-même /'axe des moyennes harmoniques de la surface, conjugué à la droite fixe. — Ce même axe est aussi /'axe des moyennes harmoniques de chacun des systèmes de génératrices de contact de la surface par rapport à la droite fixe dont il s' agit.

321. Les plans tangents d'une développable n'étant autre chose que les plans osculateurs de son arête de rebroussement, il résulte aussi de ce qui précède que :

Siy des différents points dune droite d origine arbitraire, on mène les sys-^ tèmes correspondants de plans osculateurs à une courbe à double courbure quelconque, le plan des moyennes harmoniques de chacun de ces systèmes par rapport à la droite fixe d'origine, ira passer par une autre droite ou axe de concours unique, qu'on peut nommer V axe des moyennes harmoniques de la courbe proposée, relativement à la droite d'origine, axe de moyennes harmoniques qui est aussi celui des systèmes distincts de tangentes aux points de contact des divers plans osculateurs,

322. L'axe des moyennes harmoniques dont il s'agit étant lui-même

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 279 distinct de celui qui appartient (313) aux différentes intersections des plans conduits par la droite d'origine, on pourra le nommer axe harmonique par oscillation, et celui-ci axe harmonique par intersection.

Le théorème précédent est d'ailleurs évidemment l'extension du second de ceux énoncés au n** 49 pour les assemblages de lignes droites.

Enfin la proposition du n^ 320 ci-dessus étant applicable aussi bien aux surfaces développables qu'aux surfaces coufbes quelconques, on en déduit immédiatement la proposition réciproque qui suit :

Une courbe géométrique et un plan quelconque (A) étant donnés dans l'espace, si, par une droite prise à volonté dans ce plan pour axe des origines harmoniques f on conçoit le faisceau des plans tangents à la courbe et son plan harmonique conjugué (47) au plan (A), qui est aussi le plan moyen relatif cuix points de contact de ces plans tangents, conjugué également à (A), ce plan moyen, harmonical ou harmonique, passera, ainsi que tous ses analogues émanés des divers cures d'origine compris dans le plan général d'origine (A), par un seul et même point qu'on peut nommer encore le centre général des moyennes harmoniques conjugué au même plan d'origine (A).

323. Ce théorème se déduirait sur-le-champ de celui qui a été exposé n^ 316 et 317 ci-dessus relativement au centre harmonique général des courbes planes; car si, d'un point quelconque du plan d'origine (A), on fait la projection conique ou perspective de la courbe à double courbure sur un plan arbitraire (X), la projection du centre harmonical ou harmonique de cette courbe s'y confondra évidemment avec le centre pareil de la projection de la même courbe par rapport à l'intersection du plan de projection (X) et du plan (A) des origines harmoniques.

324. Supposant maintenant que, dans les théorèmes qui précèdent» les plans, les droites d'origine dont il s'agit passent à l'infini, 00 arrivera à autant de théorèmes dans lesquels les axes, les plans et les centres de moyennes harmoniques seront devenus des axes, des plans et des centres de moyennes distances. Enfin, si, des propriétés et définitions diverses qui appartiennent aux lignes planes géométriques, on passe à celles qui concernent les cônes et les cylindres en général ou les cônes, les cylindres circonscrits à une surface et à une courbe à double courbure quelconque, ce qui est facile, on arrivera à une série de nouveaux théorèmes dont la correspondance avec leurs analogues relatifs aux pôles, polaires et plans polaires conjugués dans les lignes ou surfaces du second degré est trop évidente pour qu'il soit nécessaire d'insister; car ces théorèmes peuvent être considérés, par voie de

28o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

continuité, comme une simple extension de ceux qui leur correspondent (Sect. r*) pour les systèmes de points, de plans et de droites arbitraires.

325. Observant, par exemple, qu'un groupe quelconque de points dans l'espace peut être envisagé comme constitué d'autant de surfaces fermées, réduites à des dimensions infiniment petites et représentant une surface formée de points singuliers; observant, en outre, que les faisceaux de tangentes ou projetantes émanées d'un autre point fixe quelconque de l'espace représentent autant de petits cônes constituant une surface conique générale circonscrite à cette surface fictive; qu'enfin l'axe harmonique d'un tel faisceau, conjugué à un plan d'origine arbitraire contenant le sommet commun des cônes, doit être regardé comme l'axe pareil du faisceau représenté par l'ensemble de toutes les droites projetantes, etc.; par ces considérations purement inductives et fondées sur la notion de continuité, etc., on sera conduit (31 et 49) k ce théorème général (*), qu'il serait facile de justifier au moyen de raisonnements à priori analogues à ceux des n*'' 313 et suivants, théorème qui se lie intimement d'ailleurs avec celui du n*' 319 :

Une surface géométrique et un plan fixe étant donnés dans r espace^ si, des différents points de ce plan origine^ on mène des cônes circonscrits à la surface, la série des axes harmoniques de ces cônes, conjugués au plan d'origine, passera par un seul et même point qui se confond à la fois et avec le centre des moyennes harmoniques de la surf ojce proposée par rapport au plan fixe d'origine, et avec tous les centres pareils des différentes lignes de contact des cônes circonscrits à cette même surface.

326. A son tour, ce dernier théorème est susceptible d'être traduit dans le suivant par les principes de la théorie des polaires réciproques :

Une surface géométrique et un point fixe étant donnés à volonté dans r espace, si, parce point général d'origine des segments harmoniques, on mène une infinité de plans sécants dans la surface, puis qu'on prenne le centre harmonical des courbes d'intersection, conjugué au point fixe, tous ces centres seront situés en un seul et même plan qui est à la fois, par rapport au point fixe d'origine, le centre pareil de la surf ojce proposée et des différentes déçeloppables qui lui sont circonscrites suivant les sections planes.

(*) Quelqu'un m'ayant fait observer avec raison que l'ancienne rédaction du n" 325 ne pouvait servir à justifier renoncé du théorème qui suit, malgré de légères corrections qui n'en changent nullement l'esprit ou le sens logique, cela m'engage à rappeler qu'il ne s'agit là que d'aperçus rapides que le temps ne me pemeUait pas de développer davantage. — (Note de i865.)

de plans, assez de propositions et de démonstrations relatives au centre de moyennes distances en général, pour mettre sur la voie de théorèmes analogues relatifs au cas où Ton viendrait à substituer à ces systèmes, des lignes et des surfaces géométriques quelconques; remarque, au surplus, que je n'ai pas manqué de faire en présentant, çn iSa^, les Mémoires des Sections I et II à l'Institut de France {voyez p. 8, 45, etc., de ce volume).

329. A cette occasion, je ne puis m'empêcher de regretter que M. Ghasies n'ait point adopté franchement et largement, dans ses diverses recherches géométriques, les principes et les définitions dont je m'étais antérieurement servi dans le Traité des Propriétés projectwes des figures ou dans les Mémoires sur la Théorie des polaires réciproques et des centres de moyennes harmO'niques: cela n'eût rien ôté au mérite de ses propres travaux, et il en serait résulté que, parlant une langue commune, tout le monde se serait parfaitement entendu dans une partie de la science qui commence à se compliquer tellement, qu'il n'est désormais qu'un petit nombre d'adeptes qui soient en état aujourd'hui (i83i) d'en suivre les progrès. Et, par exemple, à quoi bon substituer le mot axe de symptose k celui à'a^e d'homologie que j*ai employé dans le Traité dont il s'agit, pour désigner les sécantes communes au système de deux lignes du second ordre, surtout lorsqu'on avait, avec moi, adopté celui de centre d'homologie pour les points de concours de leurs tangentes communes, et qu'on entendait d'ailleurs indiquer les mêmes propriétés de situation de ces objets? A quoi bon aussi remplacer les mots centres^ axes et plans de moyennes distances^ qui paraissent très-convenables, par les mots vagues de pôles, diamètres et plans-diamétreSf qui désignant les mêmes objets ne répondent à aucune idée nouvelle et précise?

Il est évident que dès qu'on se croit autorisé à changer ainsi les mots, soit pour l'élégance, soit pour la simplicité du discours, on devrait tout au moins indiquer au lecteur ce qu'ont de commun les dénominations proposées avec les anciennes. Ces réflexions, qui, je le répète, n'ôtent rien au mérite des travaux de M. Chasles, me conduisent naturellement à remarquer que les principes de la transformation parabolique, qui ne sont que ceux de la théorie des polaires réciproques, limités au cas particulier où la directrice des pôles et polaires est une parabole où surface parabolique, ne sauraient conduire à aucune conséquence générale qu'on ne puisse en même temps obtenir par la combinaison des principes de cette dernière théorie et de la doctrine des projections coniques; je veux dire à aucune conséquence générale qui ne rentre dans la classe de celles des n°' 120 et suivants de ce

a84 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

différent de celles qui nous ont jusqu'à présent occupés dans ce paragraphe,

H qui con)plétent ce que je voulais dire de spécial touchant les centres,

les axes et les plans de moyennes harmoniques des courbes et des surfaces

géométriques.

DES PÔLES ET POLAIRES SUCCESSIVES DES COURBES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES.

332. J'ai remarqué, dans le n"" 22 du premier Mémoire (Sect. II), que le centre de moyenne harmonique d'un groupe de points quelconques situés sur une ligne droite n'était pas en général réciproque à l'égard du point qui sert d'ongine aux segments ou lui est conjugué, comme cela arrive dans le cas particulier oii ce groupe se réduit a deux points seulement; c'est-à-dire qu'en prenant, à son tour, ce centre pour l'origine des abscisses ou segments, le centre de moyenne harmonique qui lui correspond ainsi qu'au groupe des points arbitraires considérés, centre qu'on pourrait nommer le contre-harmonique du premier (*), ne se confondra pas essentiellement avec le point d'origine qui lui est conjugué dans la première hypothèse. Or il résulte de cette simple remarque, que la réciprocité qui s'observe entre le pôle et la polaire ou le plan polaire des lignes et des surfaces du second ordre, ne peut non plus se soutenir complètement entre les points, axes ou plans d'origines harmoniques, et les axes ou plans de moyennes harmoniques de courbes, de surfaces géométriques quelconques, ou conjugués respectivement aux premiers.

Ainsi, par exemple, le point d'origine conjugué à l'axe harmonique d'une courbe géométrique plane n'est pas nécessairement le point de concours unique des axes harmoniques de la courbe, conjugués aux différents points du premier axe,

333. Pour bien apercevoir la différence essentielle qui existe entre un pareil axe et la polaire des lignes du second ordre, conjuguée à un point ou pôle fixe donné, il faut considérer que cette polaire jouit d'une propriété particulière et caractéristique qui n'appartient pas à l'axe harmonique en général, à savoir : que ses intersections avec la courbe. sont les points de contact mêmes des tangentes issues du pôle correspondant.

Soit, en effet, a un point quelconque du plan d'une courbe géométrique

(*) Ployez dans \g tomeU de§ Applications d analyse et de Géométrie [W cahier, art. IV, p. i^n) un résumé des premières tentatives que j'avais faites en i8i6, sur l'application de la métliode îles transversales aux courbes géométriques, tentatives qui sont devenues plus tard la base des développements géométriques qui suivent. — (Note de i865.)

a88 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

338. Revenons à la courbe proposée et à la ligne du degré m — i qm\ outre tous les points a? des transversales issues du pôle a, contient aussi les points de contact, en nombre m{m — i), des tangentes issues du même pôle; il est clair que cette ligne, qu'on peut nommer la polaire par contact relative au point a qui est véritablement le lieu A%& centres contre-harmoniques conjugué à ce pôle des rayons vecteurs, cette courbe polaire» dis-je, devra jouir d'une série de propriétés distinctes de celles qui appartiennent à Taxe des moyennes harmoniques ordinaire de la courbe proposée, et qui seront analogues à certaines des propriétés de la polaire des sections coniques ou courbes du second degré.

Pour les découvrir, nous remarquerons que, de même qu'à chacun x des points du plan d'une courbe géométrique de degré m, correspond (193) un certain axe de moyennes harmoniques, de même, à chaque droite donnée arbitrairement sur ce •plan, doit correspondre aussi un ou plusieurs points, en nombre déterminé, qui soient respectivement conjugués à cette droiti» considérée comme axe des moyennes harmoniques. Mais, d'après les propriétés qui définissent un tel axe et les polaires de contact d'une courbe donnée, il est clair que, si, pour un point quelconque a de cet axe, on construit la polaire correspondante, cette polaire devra nécessairement contenir tous les points X conjugués à ce même axe; donc on a ce théorème :

Une droite étant donnée à volonté sur le plan d'une ligne géométrique du degré m, les polaires de contact qui correspondent à ses différents points s'entrecouperont aux mêmes (w — i)^ points fixes ou pôles, qui auront respectivement la droite donnée pour axe des moyennes harmoniques par rapport à la courbe que l'on considère.

339. Quand cette dernière courbe contient des points multiples, conjugués ou de rebroussement, ces points se trouvent nécessairement compris, une ou plusieurs fois selon leur espèce, parmi les (/n— i)^ points fixes dont il s'agit.'

nombre m — i qui satisfont à la question, -r- sera égal au produit de tous les segments ax, ax\ tix"^. . ., et ' T — — à la somme de leurs produits //i — 2 à /« — 2, en sorte qu'on aura

///.U ffx ox ax m \ap ap ap J

ce qui indique évidemment que le centre de moyenne harmonique (le tous les points x, x', x*, . . . , par rapport à a, est le même que celui fies jx)ints p^ p\ />",..., conjugué au même point.

Quand l'origine a est à Tinfini, le centre commun dont il s'agit devient un centre de moyenne distance, etc. (Les lecteurs qui ont entre les mains le tomfi H des Applications d' Analyse et de Céométrie s'apercevront que le contenu de cette Note est extrait de l'art. lY, p. 142 à 161.— 1865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 289 Il résulte encore de la proposition qui précède que :

Si ron/ait mouvoir la droite donnée autour d^un pointée quelconque du plan de la courbe proposée, les [m — i)^ pôles qui lui correspondent décriront la polaire de contact relative au point fixe.

Ces théorèmes s'étendent aisément au cas de Tespace, mais ici ils acquièrent un degré d'évidence de plus.

340. Soit en effet une surface de degré m; d'un point quelconque a de l'espace, menons dans cette surface diverses transversales rencontrant en p, p\ /?",..., respectivement ses différentes nappes; prenons sur chacune d'elles les m — I points x définis par la relation du n*' 335, la suite de tous ces points formera une surface polaire du degré m— i, la même que celle qui a été considérée par Monge, au n° 4 du § P^ de son Application de l'Analyse à la Géométrie^ et qui contiendra la courbe de contact de la proposée avec la surface conique qui a son sommet au point donné. Supposant donc que ce point parcoure successivement tous ceux d'une droite fixe donnée à volonté dans l'espace, il est clair :

< I® Que la courbe de contact, qui est du degré m(m — 1), passera constamment par les ;7i(/w — i)[m(m — i) — 1] points de contact des plans tangents issus de la droite donnée;

» 2^ Que la surface polaire du degré m— i, qui contient cette courbe de contact, passera également par les points fixes dont il s'agit, et coupera de plus toutes ses semblables suivant une même ligne à double courbure du degré {m — 1)* contenant tous les systèmes de (m — 1)^ pôles conjugués à la droite fixe par rapport aux différentes intersections planes de la surface, issues de cette droite;

> 3** Que si l'on fait pivoter arbitrairement la droite dont il s'agît autour d'un point fixe quelconque de sa direction, la courbe polaire correspondante demeurera sans cesse sur la surface polaire de ce point, mais s'y trouvera d'une manière également arbitraire;

» 4*^ Que, si cette même droite est seulement assujettie à demeurer dans un plan fixe quelconque, la courbe polaire qui lui correspond coupera chacune de ses semblables eu des points qui auront respectivement ce plan pour plan de moyennes harmoniques par rapport a la surface proposée, et qui, étant en nombre déterminé, seront nécessairement communs à la fois à toutes les courbes polaires;

> 5^ Que ces mêmes points ou pôles fixes sont aussi les intersections conH II. 37

?go PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» munes de toutes les surfaces polaires du degré m -- 1 conjuguées aux dif- > férents points du plan dont il s*agity de sorte qu'ils sont en général et au » plus au nombre de [m — i)'; » 6^ Etc., etc. >

341. On reconnaît ici les théorèmes sur ]es pôles ^ polaires et plans polaires des courbes et des surfaces algébriques, que M. Bobillier a exposés par une voie analytique fort élégante et qui lui est propre, dans plusieurs excellents Mémoires insérés aux tomes XVIII et XIX des Annales de Gergonne (1827 à 1829), et dont il a été rendu compte ensuite dans le Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, t. YIII, p. 3o3, et t. IX, p. 3oa.

Les considérations qui précèdent laissent de plus apercevoir la liaison intime qui subsiste entre la droite ou le plan donnés et les (m — 1)^, (m — î)* pôles fixes qui leur correspondent, liaison qui consiste, comme on Ta vu, en ce que le plan et la droite dont il s'agit sont l'axe, le plan des centres de moyennes harmoniques de la courbe ou surface proposée, conjugués à la fois à tous les points fixes. De plus, ces mêmes considérations fournissent un procédé géométrique direct pour construire la courbe ou surface polaire relative à un point donné, et elles conduisent à quelques propriétés nouvelles de ces polaires, qui paraissent dignes de remarque et auxquelles j'étais parvenu dès mes premières recherches (1816) sur les courbes géométriques (*).

Voici les énoncés de quelques-unes de ces propriétés choisies parmi les phis élémentaires et les plus simples :

c i^ Tous les points de la polaire de contact d'un point fixe donné ou » pôle, par rapport à une ligne géométrique plane d'un certain ordre, ont » pour axes de moyennes harmoniques, à l'égard de cette dernière, des > droites qui passent toutes par le pôle dont il s'agit.

» a° Tous les points de la surface polaire de contact d'une surface géo-

[*) yoyez le tome II des Applications d* Analyse et de Géométrie (p. i^i à 161, articles déjà cités précédemment). Remarquez d'ailleurs que les énoncés de ces articles et les suivants sont des conséquences nécessaires des théories anciennes de Télimination, appliquées aux équations dérivées qui expriment les conditions successives de l'égalité des racines, lorsque dans la proposition fondamentale ou de définition de la polaire de contact, on suppose le pôle ou point de concours des tangentes à l'infini, comme je l'ai fait dans mon Mémoire de 1817, sur la Théorie des polaires n'cipnxiues (même ouvrage, t. II, p. 483 à 5oo).

Les propositions relatives en particulier au centre de moyennes distances se rattachent à des considérations analytiques analogues, comme on peut le voir dans un Mémoire présenté par M. Liouville à l'Académie des Sciences de Paris en août 1841, et inséré à la page 345^ t. VI, du Journal de Mathéntatkjius, publié par cet éminent géomètre. — (Note de j86S.)

Mais je ne puis insister sur ces conséquences d'ailleurs très-faciles, et je me hâte de terminer ce que j'avais a dire sur cette matière, par quelques observations nouvelles qui compléteront toutes celles qui précèdent.

343. Nous venons de voir en particulier que les axes de moyennes harmoniques des différents points de la polaire de contact d'une courbe donnée allaient toutes concourir au pôle conjugué à cette polaire, propriété entièrement analogue à celle dont jouit la polaire d'une section conique ordinaire par rapport à son pôle; or, si l'on recherche par les moyens purement géométriques dont j'ai souvent donné des exemples dans le Mémoire sur les polaires réciproques (Secl. II), ce que c'est en général que l'enveloppe des axes de moyennes harmoniques des points d'une autre courbe quelconque du degré n située dans le plan de la proposée supposée du m^^"^'' degré, on trouve, sans beaucoup de peine :

» I** Que, d'un point choisi à volonté sur son plan, on ne peut mener » que 7i(m — i) tangentes à cette courbe enveloppe; 2^ que son degré est, > en général et au plus, n(m — \)\n[m — i) — i]. >

Supposant, par exemple, que la courbe di^ctrice soit une droite, on aura

n = i et n(m — i)[n[m — i) — i] = (m — i)(/n — 2)

pour le degré de l'enveloppe de l'axe des moyennes harmoniques. Supposant, de plus, que la droite dont il s'agit s'éloigne à l'infini ou se confonde avec celle qui contient tous les points a l'infini du plan de la courbe proposée, les différents axes de moyennes harmoniques se changeant en autant d'axes (le moyennes dislances ou diamètres de cette dernière courbe, il résultera de ce qui précède que :

Tous les diamètres d*une courbe plane du m'^"*^ degré enveloppent une autre courbe du degré [m — i)[m — 2), à laquelle on ne peut mener que m — i tangentes d'un point quelconque de sonplan, c est-à-dire de la {m — j j'^"*^ classe^ selon r expression convenue.

Pour le cas des lignes du second ordre, on a m = 2, et l'enveloppe des diamètres est du degré o ou un point; pour les lignes du troisième ordre, (/w — i)(m— 2) = 2, par conséquent l'enveloppe est une section conique ordinaire; et ainsi de suite pour les courbes de degrés supérieurs.

344. Ces considérations confirment ce qui a été avancé plus haut (318) relativement au centre des moyennes distances des courbes et des surfaces géométriques, qu'on ne saurait généralement confondre avec le centre de

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 293 figure que dans quelques cas exceptionnels. 11 n*est pas non plus, en général, le concours commun de leurs axes et plans de moyennes distances, de leurs diamètres et plans diamétraux conjugués à toutes les directions possibles, mais bien uniquement celui de tous les diamètres et plans diamétraux de leurs systèmes de tangentes ou de plans tangents parallèles à des directions données, ainsi que de tous les diamètres et plans diamétraux des surfaces cylindriques circonscrites à leur périmètre ou qui embrassent leurs différentes nappes en les touchant. Enfin ce centre n'est pas davantage le centre des moyennes distances ou de figure, ordinaire, de tous les éléments linéaires et superficiels de la courbe ou surface proposée, mais bien uniquement celui des éléments ou points de contact distincts des faisceaux de tangentes et de plans tangents parallèles à des directions données.

345. Quant au théorème ci-dessus, relatif à l'enveloppe de tous les diamètres d'une courbe plane géométrique, je ne crois pas nécessaire de montrer ce qu'il devient pour les courbes à double courbure et les surfaces géométriques quelconques, je me contenterai de remarquer qu'il s'étend au cas où l'on substitue aux diamètres dont il y est question les axes de moyennes harmoniques conjugués aux différents points d'une droite fixe donnée, et qu'il a essentiellement pour point de départ la solution de ce problème :

« Un point quelconque étant donné sur le plan d'une courbe géométrique

> du degré m, combien peut-on par ce point mener de diamètres à cette

> courbe, ou en général d'axes de moyennes harmoniques qui soient con- » jugués k des points d'une courbe donnée du degré n. >

D'après les propriétés dont jouit la polaire de contact de {m), relative au point proposé (336), il est clair que les points de {n) qui résolvent le problème doivent se trouver sur cette polaire, et par conséquent en nombre /i(m — i) au'plus.

En particulier, ce nombre, qui indique aussi celui des axes de moyennes harmoniques cherchés, se réduit à m — i quand /i = i ou qu'il s'agit de simples diamètres de la courbe proposée, puisque tous les points à l'infini d'un plan doivent être considérés idéalement comme distribués sur une droite unique {Traité des Propriétés projectiles^ t. P% Sect. I).

346. De ce dernier théorème d'ailleurs, qui s'étend d'une manière analogue aux surfilées, on conclut immédiatement le suivant, en invoquant le principe de continuité :

c Si, d'un point pris à volonté sur le plan d'une courbe géométrique de

> degré quelconque» on mène une suite de transversales dans cette courbe, » puis qu'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des » intersections correspondantes, la suite de tous ces centres formera une » courbe unique du même degré que la proposée, dont les asymptotes se-

> ront parallèles aux siennes propres, et qui aura m — i branches passant

> par le pôle fixe des transversales. »

347. Ce théorème, qui a été démontré, quant au degré de la courbe des centres, par le géomètre anglais Waring {Mélanges analytiques, p. 90), s'applique d*une manière analogue aux surfaces géométriques, et aux courbes à . double courbure en général; mais il s'étend également au cas où l'on rem-* placerait les centres de moyennes distances des transversales par les centres de moyennes harmoniques de leurs intersections, pris par rapport aux points où elles vont couper une même droite ou un même plan donné. Appliquant ensuite à ces théorèmes ainsi généralisés, nos méthodes ou principe de réciprocité polaire, on arriverait à de nouveaux théorèmes non moins dignes d'intérêt.

En général, on déduit de l'application de ces mêmes principes aux diverses propositions qui nous ont occupé depuis le n"" 338 une suite de théorèmes plus ou moins intéressants sur les courbes et les surfaces de tous les degrés.

348. Ayant vu, par exemple, que l'enveloppe de tous les axes de moyennes harmoniques d'une courbe plane de degré m, relativement aux différents points d'une droite donnée arbitrairement sur son plan, est du degré (w — i) [m — îi), on en conclura réciproquement que : le lieu de tous les centres de moyennes harmoniques d'une courbe géométrique , de degré m, conjugués aux différentes droites issues d'un même point ou pôle ^xe donné , est elle-même du degré m (m — 1 ) — i , etc., etc.

§ IV

Application de l'Analyse des transversales a Vosculation mutuelle des courbes et des surfaces géométriques .

349. Pour comprendre comment des principes exposés ci-dessus on peut déduire tout ce qui concerne la théorie des contacts divers, il suffît de se rappeler en général que, quand deux courbes ou surfaces géométriques ont en commun un certain nombre de lignes ou de points actuellement dis-

DES CONIQUES OSCULÀTRICES DU SECOND ORDRE EN UN POINT DONNÉ d'uNE COURBE GÉOMÉTRIQUE TRACÉE SUR UN PLAN.

351. Nous avons montré (Secl. III, § I"), à roccasion des courbes du troisième degré, comment l'analyse des transversales peut directement et très-simplemenl conduire à la détermination des osculatrices de divers ordres, en un point donné d*une telle courbe; mais la marche que nous avons suivie ne laisse pas assez apercevoir comment on devrait se guider à l'égard des courbes d'un degré supérieur au troisième; c'est pourquoi nous allons entrer dans quelques développements nouveaux relativement à cette application intéressante de la doctrine des transversales. La théorie des osculatrices des divers ordres en un point donné d'une courbe géométrique forme d'ailleurs un chapitre considérable de nos anciennes recherches; et, quoique nous ne puissions donner ici qu'une idée sommaire de leur esprit et de leur objet, nous ne pouvons cependant nous dispenser d'en exposer au moins les principaux et plus intéressants linéaments.

352. Concevons deux courbes géométriques tracées sur un même plan et ayant entre elles divers points communs; concevons par un certain nombre de ces points des transversales rectilignes qui les contiennent deux par deux, trois par trois, etc., s'il y a lieu : ces transversales formeront par leurs rencontres mutuelles un certain polygone dont les côtés prolongés iront de nouveau rencontrer les deux courbes en des points distincts de ceux qui leur appartiennent en commun.

Cela posé, d'après le théorème de Carnot, il existera pour chaque courbe une relation de la forme de celle du n** 165, entre les segments formés, sur chacun des côtés de ce polygone, par les intersections correspondantes; or, ces relations étant combinées entre elles par voie de multiplication ou de division, donneront lieu k une autre relation analogue d'où auront disparu les segments relatifs aux points communs des courbes, et qui, par conséquent, sera indépendante de la position, de la réalité même de ces points ou de leur réunion deux par deux, trois par trois, etc.; c'est-à-dire qu'elle s'appliquera, sans modification quelconque, au cas où les courbes proposées auraient un contact du premier, du deuxième ordre, etc., au point qui représente tous les points comrriuns réunis en un seul. La nouvelle relation dont il s'agit mettra donc en état de construire l'une quelconque des intersections restantes et qui sont demeurées distinctes, quand toutes les autres seront connues.

353. En appliquant ensuite à cette relation l'esprit des méthodes que nous avons mises en usage pour les simples triangles transversaux des courbes individuelles, c'est-à-dire en faisant intervenir de nouvelles transversales rectilignes contenant les points non éliminés, on transformera cette môme relation en une infinité d'autres également propres à construire ou à définir l'un de ces points au moyen de ceux qui sont donnés à priori; et, ce qu'il y a surtout de remarquable, on pourra toujours (18 et suiv.) la traduire en quelque nouvelle relation qui soit purement descriptive et linéaire, ou qui exprime une propriété de situation du système des courbes proposées uniquement dépendante de la Géométrie de la règle.

298 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGUREE

conlrant en ^i et n les côtés bc et eu: du triangle abc; traçant ensuite PQ' qui coupe ac en r, , on aura évidemment par ce triangle

, gP.«yx6Q^feg.Xc^..g/.

'^' *P.ftP'XcQ'.C(/.Xar..a/, '^^'

d*où, en combinant avec la dernière des précédentes,

{ap){bq')bq,{cr^^)cr, < ^, ^^ (6p)(6(7')cît(aOar..ar'. -''

relation qui indique que les 3 m points p, p', p",, . .^ ç» ç\ q'\' -9 ^ifr\,r''^f.., sont sur une courbe du degré m comme la proposée, et qui, appartenant à la classe de celles qui ont été traitées dans les n"^ 174 et suivants, conduira à une construction purement linéaire du point Q' au moyen de tous les autres.

356. Supposons, en particulier, que la section conique Pgrr'Q'P', devenue osrulairice en c [fig» 45) à la courbe proposée, soit un cercle, on aura alors

aP.aP'=âc', 6P.6P' = *c.6Q', de sorte que la relation ( 3 ) ci-dessus deviendra simplement

{np){bq'){cr'') hc (bp)(cq')(ar")-^ ^ '

et donnera toujours le point Q' du cercle osculateur, appartenant à chacune des transversales arbitraires bcq\ . ., menées par le point de contact c représentant les points q, r, r' du cas général [Jig. 44 )• Ce cercle sera donc déterminé de grandeur ei de position, puisque Ton sait construire la tangente en c de la courbe proposée,, par les méthodes des n** 165 et suivants d'abord cités. D'ailleurs, la même relation donnera immédiatement le double du rayon de courbure, en prenant la transversale cg"Q' normale en c à la courbe proposée.

357. Dans nos anciennes rédactions de 1816 et 1823, nous indiquions des procédés graphiques pour construire le point Q', et, en passant au cas particulier où la courbe proposée est du second degré, nous en concluions divers corollaires relatifs au cercle osculateur de ces courbes; corollaires dont le plus remarquable, par Tanalogie qu'il présente avec une propriété bien connue de la cycloïde, est sans contredit le suivant qui date de mon séjour à l'École Polytechnique :

Dans la parabole, le rayon de courbure en un point quelconque est le double de la normale correspondante, comptée depuis la directrice, comme axe, et prise en sens contraire (*).

( * ) Si Ton intègre en effet, par les méthodes connues, la double équation (Lr^-^-dy^ = d= yd^f^ qui exprime ]a propriété en question par rapport aux abscisses et ordonnées ordinaires, on trouve qu'elle appartient à une cycloïde ou à une parabole suivant que Ton considère le signe + ou le signe — de Tambiguïté.

3oo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

360. Voilà donc des moyens généraux et simples de construire graphiquement et avec la règle, ou par le calcul, un troisième point quelconque /?, de la section conique osculatrice, à l'aide de deux autres quelconques qi et r, qui seraient donnés. Faisant d'ailleurs varier la transversale ap' qui contient le point />, autour du point de contacta des deux courbes, on obtiendra successivement tous les points de l'osculatrice demandée qu'on pourra aussi construire plus simplement par les méthodes rapportées Sect. II, Chap. II du tome I"" du Traité des Propriétés projectii/es^ en recherchant seulement un point Çi de l'osculatrice, si l'on connaît la tangente en a, ou deux seuls points pareils, si cette tangente n'est pas donnée; car en y joignant les deux points ç, et rg, qui sont entièrement arbitraires, on aura tout ce qu'il faut pour tracer entièrement la section conique demandée.

361. Les propositions ci-dessus ne changent pas quand on suppose que les transversales aq'^ ar' se confondent, si ce n'est que les cordes q'r'y q** r'\. . . deviennent des tangentes à la courbe donnée. Si, de plus, dans cette hypothèse, on admet que la section conique se réduise à un cercle, c'est-à-dire au cercle osculaieur en a, on arrivera à différents corollaires, parmi lesquels se trouve compris celui qu'a donné Mac-Laurin dans le § i5 de son Traité des courbes géométriques^ et dont il a déduit, pour construire le cercle osculateur, un procédé qui paraîtra d'autant plus pénible, qu'il exige le tracé d'autant de tangentes distinctes de la courbe qu'il y a d'unités dans le nombre qui exprime son degré. Or, en partant de notre proposition générale, on peut aisément éviter cette complication et réduire les tangentes à celle du point de contact a des osculatrices.

Traçant, en effet, un cercle arbitraire tangent en ce point à la courbe donnée et rencontrant en /?',, 5', et r\ les transversales ap', aq'y ar'; traçant ensuite la corde indéfinie q\ r\ rencontrant en P', la transversale ap\ il est clair, d'après les propriétés connues des cercles tangents, que le rapport de ap\ à aP', sera le même que celui de api à aP, considérés dans le cercle osculateur. Nommant donc n ce rapport désormais connu, on aura,

aPi apx

d'où, substituant dans la relation générale ci-dessus, on déduira

ap, ""^"^^"^•••■"57""âp "■'••'

au moyen de quoi on obtiendra la valeur de ap, ou la position de />i sur chacune

Intersections de la courbe peuvent toujours s'obtenir directement, soit par le tracé effectif de cette courbe, soit par son équation en coordonnées ordinaires, ce qui embrasse même le cas où certaines intersections seraient imaginaires (196). En effet, de l'équation de la courbe on déduira aisément, par les principes comius, la nouvelle équation qui a pour racines les segments à considérer; supposant cette équation du degré m et divisant le coefficient qui représente la somme des produits des racines pris m—ikm — i par le coefficient qui exprime leur produit intégral, on obtiendra, selon la remarque que nous en avons déjà faite, la somme de réciproques demandée, et cela quel que soit le mode d'existence individuel de ces segments.

SECTION IV. - DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 3oi

des transversales arbitraires a//; on pourra donc ainsi construire successivement tous les points analogues à pi appartenant au cercle osculateur. De là d'ailleurs on tire ces nouvelles conséquences.

363. Que, par exemple, ap' soit pris parallèle à 91 ri , ou de manière à former avec aq* le même angle correspondant que ar' avec la tangente en a, on aura n = o; ce qui donne immédiatement api sans cercle auxiliaire^ et résulte d'ailleurs aussi

de ce que aPi est infini ou — îr- = o.

Pareillement, si ap' est normal à la courbe et que q'ar' soit un angle droit quelconque, Çitt deviendra un diamètre du cercle osculateur qui aura Çi pour centre; de plus, on aura évidemment n = i ou ap = 2aPi , d'où la relation

pour déterminer immédiatement le rayon de courbure a Pi de la courbe proposée. Si Ton suppose ensuite que cette courbe soit une section conique, on retombera sur les théorèmes exposés par M. Frégier, dans le tome VI (1816} des Annales de Mathématiques de Montpellier, etc., etc.

363. Je crois superflu d'examiner ce que deviennent nos méthodes dans le cas d'une osculatrice quelconque du second degré, quand, au lieu de deux points de son périmètre, on se donne deux conditions quelconques pour la construire, ou qu'on suppose ces points confondus en un seul, à l'infini, etc. Je ferai seulement remarquer que, quand le point de contact lui-même est à l'infini sur la courbe, nos méthodes n'en donnent pas moins des moyens pour construire la parabole osculatrice en changeant les centres de moyennes harmoniques en centres de moyennes distances, ou les sommes de réciproques des segments en sommes simples de dis-tances, prises toujours avec leurs signes de position : ces corollaires sont trop faciles pour qu'il soit nécessaire de s'y arrêter.

Enfin on remarquera que les propositions précédentes constituent un utile point d'appui à la théorie de la courbure des surfaces, attendu qu'elles fournissent un moyen direct de construire la surface du second degré osculatrice d'une surface géométrique donnée autrement que par son équation ordinaire.