PA QA__ PQ — PA PB""QB""PB — PQ

la distance AB sera divisée harmoniquement en P et Q, et cette définition devra s'étendre au cas même où l'un quelconque des points proposés sera supposé à l'infini; mais alors le rapport des segments qui lui appartiennent dans la relation ci-dessus sera l'unité; donc il en sera de même du rapport des deux autres segments restants. Que P, par exemple, passe à l'infini, on aura, d'après cette définition, QA = QB; et par conséquent le point Q, conjugue kl?^ divisera en parties égales la distance AB. Ainsi la division en parties harmoniques d'une droite n'est qu'une extension de la division en parties égales, ou plutôt celle-ci est comprise implicitement dans l'autre, pourvu qu'on restitue le point de division qui est passé à l'infini, et qui est conjugué au point milieu. On admet d'ailleurs que les droites qui renferment un même point situé à l'infini sont parallèles.

2. Cela posé, projetons, d'un point quelconque S, les quatre points A, B, P, Q ainsi définis, sur une droite arbitraire P'B'; on prouve aisément que les nouveaux points A', B', F, Q' conservent entre eux la relation harmonique

P'A' Q'A' FQ' — FA'

FB' "" Q'B' "~ FB' — FQ^

c'est-à-dire que cette relation estproj'ectwe {voyez plus loin l'article 18). Or, d'après ce qui précède, cela doit s'étendre même au cas pour lequel l'un quelconque des points proposés, ou l'un quelconque des points de la projection, passe à l'infini; ce qui exige alors que la transversale qui porte ce point soit parallèle à sa projetante; donc la division harmonique se changeant, pour cette transversale, en division de parties égales, on voit que l'une de ces divisions est la perspective ou projection centrale de l'autre, et peut servir directement à la construire.

3. Mais on peut pousser plus loin ce rapprochement, en mettant la relation harmonique sous une forme d'abord indiquée par Mac^Laurin {Traité des Courbes géométriques ) .

En eiïeU de la proportion