BR

donnera successivement les diverses valeurs de —^ qui déterminent la position correspondante du point R'.

Mais, attendu que cette même relation se présente sous une forme différente de celle de l'équation du n^ 190, qu'elle est plus compliquée et qu'elle n'indique point explicitement la dépendance graphique qui lie entre elles les intersections des transversales et des deux courbes, on cherchera à l'v ramener en opérant k peu près comme nous l'avons fait au n^ 172, a l'oc-

SECTION III. — ANALYSE BfES TRANSVERSALES. i85

casion de la relation qui concerne le syslëme des trois transversales quelconques. .

Par exemple» si Ton conduit, parles points donnés Q'etR' de la ligne du second ordre, une droite auxiliaire rencontrant enph troisième transversale aP, et que l'on mène semblablement, par le troisième point F de cette ligne, une droite arbitraire rencontrant, je suppose, en q et r respectivement les deux autres transversales aQ' et aB!, on aura, pour le système de ces nouvelles transversales,

\ar aW J \ap aV J \aq «Q /

relation qui ramène, sur-le-champ, la précédente k la forme mentionnée, et qui apprend que le système de tous les points /?, //, p'\'.*f de tous les points 9i q'f g'' et de tous les points r, r', r'',..., appartient k une ligne géométrique du même ordre que la proposée.

196. Cas des intersections imaginaires. — Nous ne pousserons pas plus loin ces conséquences, parce que ce serait anticiper sur le sujet de la seconde partie de ces Mémoires, où nous nous proposons d'appliquer, d'une manière spéciale, les principes exposés dans celle-ci, à la théorie des osculatrices des courbes géométriques de tous les ordres. Toutefois, avant de passer à de nouvelles recherches, nous devons encore remarquer que les relations métriques considérées depuis le n^ 17 sont, de même que celles du n^ 1 65, indépendantes du mode d*existence propre des intersections de la courbe et des transversales, c'est-k-dire de la réalité ou de la non-réalité absolue de ces intersections.

Car, par exemple, s'il arrivait que les deux poinfs ret r' {^g. 4o) devinssent imaginaires, les sommes de réciproques ou de quotients

I I Rr Rr'

ar ar ar ar

[ relatives k ces points, n'en conserveraient pas moins des valeurs réelles,

puisqu'en les mettant sous cette forme :

ar-^ar' Br.ûr'H- Rr'.ar *,»/«'' -!-«'•' \

r ' -rr-—, = AR —--„■- + 2,

ar.ar

leurs numérateurs et leurs dénominateurs conserveraient eux-mêmes une valeur toujours absolue et réelle, ainsi qu'il résulte immédiatement des principes généraux de l'Analyse algébrique.

i86 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

197. Manière de se débarrasser par couples des segments imaginaires. — Mais, pour laisser le moins possible k désirer sur ce sujet et ne rien emprunter, pour ainsi dire, d'étranger aux considérations de la Géométrie, nous rappellerons que, d'après l'observation déjà faite au n® 165, les deux points r et r' peuvent toujours être censés définis par une ligne du second ordre quelconque qui les contiendrait en commun avec la courbe proposée. Or, si on considère une telle ligne comme coupée, à son tour, par les transversales ar et deux autres droites quelconques issues de a, mais dont les intersections seraient toutes réelles et constructibles géométriquement, elle donnera lieu à une nouvelle équation qui permettra de calculer immédiatement les quantités ci-dessus, qu'on obtiendrait également k l'aide des considérations exposées dans la Section I, Chapitre II du précédent volume» sur les sécantes et cordes idéales des lignes du second ordre.

Toutefois, comme ces considérations supposent la section conique auxiliaire donnée à priori, il est bon de remarquer qu'on pourra toujours la construire par points sans recourir à des données étrangères a celles qui sont fournies par la courbe proposée, pourvu seulement qu'il ne se trouve pas plus d'un couple de points imaginaires sur chacune des transversales que l'on considère, et qu'on puisse mener, du point de concours de ces transversales, de nouvelles sécantes, dans la courbe, qui la rencontrent en autant de points réels qu'il est marqué par son degré.

Supposons, en effet, que dans les hypothèses générales des n^ 165, 187 ou suivants, le couple des points r et r', et, si Ton veut encore, celui des points /? et/>' qui appartiennent à des transversales distinctes, soient imaginaires, tandis que tous les autres soient essentiellement réels; on concevra y par ces quatre points et par un cinquième point X pris arbitrairement sur la transversale qq\ une ligne du second ordre qui viendra couper. celte même transversale en un second point X', lequel pourra être déterminé géométriquement, ainsi que tous ses analogues relatifs à de nouvelles transversales arbitraires passant également par X et dont les intersections, avec la courbe proposée, seraient toutes réelles. Car si l'on élimine, des relations appartenant aux intersections de ces transversales et des deux courbes, tous les segments qui se rapportent aux points imaginaires communs a ces courbes, on obtiendra évidemment d'autres relations du premier degré, propres à calculer ou k construire linéairement les valeurs des segments qui répondent aux différents points Q' dont il s'agit.

Ces dernières considérations se rattachant à la question générale où l'on se propose de construire géométriquement le système des intersections d'une

courbe plane» de degré donné, avec une transversale arbitraire, nous renverrons le lecteur au paragraphe suivant, où cette question et ses annexes se trouvent traitées d'une manière tout à fait spéciale.

§ IV

Détermination des lignes -géométriques planes définies par leurs intersections avec certaines transversales rectilignes, etc. (*).

Jusqu'ici nous nous sommes principalement occupé à faire voir comment notre relation fondamentale peut être étendue à des situations quelconques des transversales, et nous avons aussi donné un aperçu de son utilité pour la solution de différents problèmes concernant les lignes géométriques, notamment pour le- tracé de leurs tangentes et asymptotes. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de montrer comment il peut aussi servir à déterminer ou k construire ces lignes elles-mêmes tout entières, quand on les suppose définies par un nombre suffisant de conditions et spécialement par leurs svstëmes d'intersections avec des droites données; cela nous mettra à même de résoudre plusieurs questions ou difficultés qui se sont présentées dans le précédent paragraphe, et dont nous avons renvoyé l'examen à celui-ci pour ne pas interrompre l'exposition générale de la méthode.

FRÊLIMINAIRES RBLATIFS AU CAS OU l'oN SE DONNE UN POINT MULTIPLE d'oIDEE QUELCONQUE

DE LA COUEM,

198. Afin de justifier tout d'abord ce qui a été admis, sans démonstration suffisante» dans le n" 168, proposons-nous de prouver que tout système de 3 m points, assujettis aux différentes conditions des n^* 165 et suivants, appartient nécessairement à une certaine ligne géométrique du degré m, constructible dans toutes ses parties, ou même à une infinité de lignes pareilles, si m surpasse seulement deux unités; car, pour ce qui concerne le cas de m = i et de m = 2, nous savons déjà(§ 1)

(* ) Ce pam^raphe ou Cbapilre ayant bien plus pour objot la démonstration de certaines véritét^ et principes généraux que le tracé effectif, manuel des courbes géométriques op l'exposé même (ie quelques théorèmes et problèmes particuliers, nous nous dispenserons, comme dans le Mémoire original présenté k llnstitut, et imprimé au Journal tie Crvile, d'accompagner le texte d'aucanes figures qui, ici, en particulier, et d'après la remarque déjà faite dans la note du n"* 185, seraient, à cause de leur complication, très-peu propres à faciliter la lecture de ce paragraphe et des suivants. Je ne puis donc qu'engager le lecteur à tracer lui-même ces figures à la main au fur et à mesure du besoin, c'est à-dire par parties séparées et successivement : eetle prescription est surtout applicable -aux démonstrations des n** 216 et suivants. -- ( Note de 1 865. )

i88 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

que le système des points proposés se trouve situé sur une droite ou une ligne du deuxième ordre, unique et dont le tracé ne présente aucune difliculté.

Pour arriver à la proposition générale où m est quelconque, nous pourrions, en premier lieu, considérer le cas de m= 3, où la ligne doit être du troisième ordre, puis nous élever successivement à celui de m ==4» de m = 5, etc. Mais, comme la marche des raisonnements reste absolument la même pour le cas général et pour chaque cas respectif, nous supposerons tout d'abord (Jig. ^\)'àm points sur chacun des côtés d'un triangle a6e, entre lesquels on ait la relation métrique

(ap)(bq)(cr) (bp)[cq)(ar)- '

assujettie aux conditions souvent mentionnées.

Cela posé, prenons sur le plan de la figure un point quelconque $ pour pôle de rayons vecteurs ou d'une suite de transversales rectilignes, telles que sfy rencontrant les côtés aby bc, ac du triangle abc aux points </, &,/ respectivement, et la courbe cherchée, si tant est qu'elle existe, aux points inconnus x^ j/, a:^,« . • supposés en nombre m. Considérons successivement cette courbe comme transversale des triangles dafy dbey fce; nous aurons, par hypothèse et d'après le n° 165, les trois nouvelles relations

{ap)[dx)(fr) ^ {bq){dp){ex) ^ {cr)(eq){fx) {ar)(dp){fx) ' {bp)(dx)[eq) ' {cq)(ex){fr)'-''

qui reviennent aux suivantes

jdx) ^ {ar){d p) {ex) ^ {bp){eq) (fx) ^ {cq){fr) (/^) (ap)(fr)' (dx) .(bq)(dp)' (ex) (cr){eq)'

et dont l'une quelconque est comportée par les deux autres en vertu de l'équation précédente, ce qui les réduit à deux relations distinctes devant servir à construire les m points or, x^y x^y,.. au moyen de tous les points donnés.

Cette dernière circonstance annonce suffisamment que le problème restera complètement indéterminé tant qu'on ne fera pas, sur le système des points Xy xfy «',..., quelque autre supposition qui rende le nombre des conditions ou des relations distinctes équivalent à celui des inconnues, en admettant, par exemple, que le point «, qui sert de pôle aux transversales variables sdexfy soit un point multiple de la courbe du (m — »)• ordre, ou que m — 2 des points Xy x\ a?",. . . soient constamment confondus en un seul avec ce pôle, de sorte qu'il n'en reste plus que deux, tels que x ei x' par exemple, à déterminer sur chaque transversale.

199. Désignant, en effet, par (dx)y (ex), (fx) les produits dx.dx', ex.ex', fx.fx' relatifs à ces points, les dernières des relations ci-dessus deviendront

(dx]dr'' (ar)(dp ) (ex)^"" {bp){eq) {fxJfT^ (fîK/r ) {fx]fs'^' {«/>)(A)' (d^)7s'^' (bq){dp)' (ear);r'"'(^'-)(^î)*

équations dont deux quelconques doivent sufDre pour construire les points x' et j^ sur cliaque rayon vecteur, et qu'on peut d'ailleurs mettre sous une forme plus simple» en supposant qu'on ait tracé le système des cordes ou sécantes indéfinies qr, q' r\ q" r" ^ , , qui rencontrent en P, P', P"", . . . respectivement la transversale arbitraire «/, puis le système des sécantes indéfinies pr,p'r',/>*'r",. . . rencontrant enQ, (y, Q'',... cette même transversale, enfin celui des sécantes pj,;>'j',p''ç'',. . . qui la rencontrent aux points R, R', R"",. . . respectivement.

Car, en considérant ces trois systèmes distincts de sécantes comme autant de lignes de degré m, transversales des triangles daf^ dhe^fce qui leur correspondent, puis combinant les relations auxquelles ces systèmes donnent lieu, avec les précédentes, à peu près comme on Ta fait dans le cas du n"* 179, on obtiendra les nouvelles équations

(<fa)5r"' (rfQ) (gj?)ir"' ^(gR) {fa)j^" ^{f¥)

qui indiquent que le système des points x', a?^, «, #, j,. . ., en nombre m, combiné successivement avec le système des m points Q, Q', Q"", . . . et celui de m points P, F, P",..., forme autant d'involutions simples (181) par rapport aux couples de points respectifs rf et/, e et rf,/et e.

200. Afin d'obtenir des relations qui indiquent plus explicitement'encore la dépendance purement descriptive qui lie les points^' et j:^ aux points donnés, nous chercherons à éliminer les segments qui leur appartiennent des relations ci-dessus, en imaginant, par ces deux premiers points, une ligne du second ordre qui contienne en même temps trois quelconques p^ q, r des derniers, appartenant à des côtés différents du triangle abc.

Nommons, à cet effet, /ii, gi, n les points inconnus où la ligne auxiliaire dont il s'agit rencontre de nouveau ces côtés respectifs, et supposant qu'on ait prolongé indéfiniment les sécantes ou cordes r. 9,, /?, n, ptqi jusqu'à leur rencontre enPi, Qi et Ri avec la transversale sdx'x'^ on aura évidemment, en raisonnant comme cidessus,

[dx] dQ,dQ, {ex) igR.gR. (/^r) __ /P./P, (f^)''fQ'fQ^' (rfar)""rfR.rfR.' (ex)'' eV.eVi'

équations qui, combinées avec les précédentes, donnent celles-ci

dQ,.ds^^ {dQ') gR. gT^' (cR) f^^-fs^' {fP')

fQ^^fiT-'^^f^yy rfR..5r'^(^"^')' ep^T^'^i^n'

dans lesquelles n'entrent plus les segments relatifs aux points Xy x\ P, Q, R, et qui indiquent qiie le système des m — i points Q, s, s, s,... et des m — 1 points Q', Q%... sont en involution par rapport aux points d et/, comme le système des m — I points R, i, i, 1,. . . et celui des m — i points R', A%... sont pareillement en involution par rapport k e eid, etc.

11 suit de là donc que chacun des points P., Q., R.^ dont dépend la ligne du se* cond ordre qui contient x et x\ pourra être construit linéairement (155 et suir.) au moyen de tous ceux qui lui correspondent et avec lesquels il est directement en involution. Or, je dis que la connaissance des trois points dont il s'agit fixe entièrement la position des points inconnus/?., Çi, r, de cette ligne du second ordre qui, devant en outre passer par les points donnés ;>, q^ r, est elle-même complètement déterminée de position aussi bien que x et x*.

201. Toute la question consiste évidemment à construire un triangle /^iÇiTi dont les sommets s'appuient respectivement sur les trois droites /?/?i ou ab, qqi ou bc, rrx ou ac prolongées indéfiniment et dont la direction des côtés passe par les points Pi, Oi» 1^1 pris dans Tordre assigné par les considérations qui précèdent. Supposant donc un instant que Tun quelconque r, de ses sommets devenant libre, c'est-à-dire cessant d'être assujetti à demeurer sur la droite rVi ou ac qui lui correspond, on le fasse varier de position en l'assujettissant, du reste, à toutes les autres conditions, ce sommet décrira, comme on sait, une nouvelle ligne droite passant par le point de rencontre des directrices ab, frcdes deux autres sommets coupant ac au point r,, Tun des points cherchés de l'auxiliaire du second ordre, et dont les analogues s'obtiendront sur-le-champ, par le simple tracé des droites r, Q,, n P,.

Quant à la construction définitive des points x* et x^y on l'obtiendra, soit parle tracé effectif et par points (H5 et suiv.) de la ligne du second ordre auxiliaire dont il s'agit, soit en opérant directement sur les points;?, g, r, />,, g,, r, qui lui appartiennent, d'après la méthode générale du n** 34-4 du tome l*""de ce ^T/w/Vé/ méthode qui, elle-même, repose sur la théorie des centres et axes d'homologie des lignes du second ordre, développée dans le Chapitre I**^ de la Section III [ibidem),

202. Revenant maintenant à la question proposée en premier lieu : de faire passer une ligne de degré m par les trois systèmes de m points, p, p\ /?^..., 7» ?'» ?">•••> '■» '''» '*^» définis au n* 198, et qui aille pôle * des rayons vecteurs pour point multiple de l'ordre m — 2, je remarque : i** que les constructions précédentes n'assignent que deux seuls points x et x' sur chacune de ces transversales; 2* que la suite de tous ces points forme naturellement une ligne continue; 3^ que cette ligne passe effectivement par les 3 m points donnés, puisque les diverses relations qui définissent les points x et x' sur chacune des transversales sd prouvent qu'aucun des segments relatifs aux premiers points ne peut devenir nul sans qu'aussitôt l'un de ceux qui correspondent aux derniers et qui a précisément la même origine ne devienne également nul; 4'' enfin que cette même ligne courbe ne peut rencontrer en aucun autre point que ceux dont il s'agit les trois droites ab, bc et ac qui les contiennent m par m, puisque, par exemple, si le point x' venait à se confondre avec le point dy sur la droite a6, on aurait dx' = o, ce qui exigerait, en vertu desdites relations, que l'un, au moins, des segments dp, dp\ dp'\,». devînt nul à son tour, ou que x' se confondit avec l'un des points correspondants.

Donc, en vertu du principe de conXxnwiié {Introduction de cette IIP Sect., p. 129), la ligne tracée conime on vient de le dire est bien une ligne du degré m seu-

lement, ayant le p6le s pour point multiple de Tordre m — 2; ce qu'on prouverait également et de plusieurs autres manières, en démontrant, par exemple, que cette ligne n'a que m — » branches passant par le points, etc. Donc enfin il existe une infinité de lignes pareilles contenant le système des points p, p', />'',..., q, q' , q^^^^-y r, r', r',..., que définit Téquation générale du n"* 165, pourvu seulement que le nombre m, qui marque le degré de la courbe, soit supérieur à a, conformément à la remarque qui en a été faite au n** 198 ci-*des$us.

TRACÉ LINfiAIEB DES COURBES DONT ON POSSÈDE CN POINT MULTIPLE DE L* ORDRE LE PLUS