COMPOSÉS SONT DONNÉS

216. Afin de donner à cette partie de nos recherches toute l'extension dont elle est susceptible et que mérite son importance, nous nous proposons de montrer généralement comment n + i points a, 6, c, ^,..., g*, h étant donnés, à volonté, sur la direction d'une même droite, et n autres points x, x'y ^,..., de cette droite, étant simplement définis par les n relations

dans lesquelles K, L, M,. . ., P, Q sont des nombres assignés àprioriy ou des rapports homogènes et quelconques de longueurs; nous nous proposons, di&-je, de montrer comment, à l'aide de ces données, on peut, de différentes manières, ramener la construction des points Xy x'y x",, .. à celle d'une courbe, de degré n, contenant tous ces points, et dont le tracé effectif exige seulement qu'on sache déjà construire n — i ou n — 1 points en ligne droite assujettis à des conditions analogues. Afin de simplifier un peu les raisonnements, nous conviendrons, une fois pour

(*) f^oyez la note de la page 187.

IL a6

toutes, de désigner par (X) la droite indéfinie qui contient les n points inconnus x, x\ x"y. . . ainsi que les n-f-i points donnés rx, A, c, rf,. . . g". A, et généralement par (A) toute transversale ou droite arbitraire contenant «, par (R) toute transversale contenant ft, par (C) toute transversale contenant c, etc.; ces différentes transversales étant d'ailleurs situées dans un plan unique passant par (X). Enfin nous convenonségalementde désigner par (AR) l'angle ou le système desdeuxdroites(A) et (R), par (ARC) le triangle formé par ta rencontre mutuelle des trois droites (A), (R) et (C), en supposant d'ailleurs que C représente l'intersection de (A) et de (B), A l'intersection de (R) et de (C), etc.

217. Première solution générale. — Les conventions qui précèdent étant admises, concevons, par l'un quelconque a des points donnés sur (X), la transversale arbitraire (A); prenons à volonté, sur cette droite, n points/?, p\ p", . . ., distincts de a, pour y faire passer une ligne du degré /i, que nous désignerons par ( /i) et qui devra contenir, en outre, les n points x, x'y x'\,. ., lesquels seront ainsi déterminés quand (n) le sera. Par le point ft, menons pareillement l'arbitraire (R), et, sur cette arbitraire, prenons les n — i points quelconques q\ 5", j'", . . . pour y faire passer également la courbe ( /i); la n*'*^ intersection 9, de celte courbe et de (R), sera évidemment déterminée en vertu de la première des équations ci-dessus. Car le triangle ( ARX), étant considéré comme transversal de (n), donnera la relation

(R/i)(Xg)(Aa:) (a p)(Xg)(fe^) ■^ (y.p)[kq){l^x)'^ {Xp){bq)[ax)'

attendu qu'ici le sommet R du triangle (ARX) se confond avec a et le sommet A avec b.

On aura donc, pour déterminer (166 ) le point 9 sur ( R ),

{ap)(y.q')(bx)y.q {ap)(^q') ^ X? , {\p)[bq'){ax)bq ^{lLp)(bq'y^ bq ~''

équation dans laquelle il n'y a d'inconnues que Xf et bq.

Si d'ailleurs K était donné en produits de segments, comme cela a lieu pour la question du n<* â07, il est clair (172 et suivants) qu'on pourrait construire linéairement le point q au moyen de tous les autres. Et il est évident réciproquement que la connaissance du système des n points g, q' y q'\. . . et de celui des n points /?, />', p", . . ., équivaut à celle du rapport K, et peut par conséquent tenir lieu de la première des équations proposées.

Menons pareillement la transversale arbitraire (G) par c, et prenons sur elle les /i — I points quelconques r', r", r**,. . . considérés encore comme appartenant à (n); on construira la n'**' Intersection r, de (n) et de (C), en regardant, à son tour, le triangle (ACXj comme transversal de la courbe (n) dont il s'agit; au moyen de quoi, le système de ces n nouveaux points et des deux précédents devra encore être censé équivaloir aux deux premières des relations données, ou tenir lieu de la connaissance de K et de L.

SECTION III. ^ ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2o3

On continuerait ainsi éyidemment tant que le nombre des systèmes de points p, de points q^ de points r,. . ., de points u, successivement déterminés de cette manière, ou tant que le nombre des droites arbitraires (A)» (B), (C),. .. (F) qui leur correspondent, ne surpasserait pas n — i ; mais on ne saurait aller au delà, vu que le système des n points x, a/^sf^,.. .^ qui doit être censé donné par les équations cidessus, réuni aux n — i autres systèmes des n points^, des n points 9,. . •, des n points u que nous supposons appartenir, ainsi que le premier, à une courbe unique du degré », ne laissent plus d'arbitraire (2H) que le choix d'un seul et dernier point, dont la connaissance, comme on va le voir, complète entièrement les données graphiques nécessaires pour déterminer celte courbe, et pour ramener son tracé à la résolution de systèmes d'équations analoguea aux proposées (211), mais en nombre inférieur d'une unité; ou, ce qui revient au même, pour ramener ce tracé à celui d'une autre courbe dont le degré serait seulement n — t.

218. Pour le démontrer, soit v ce point choisi à volonté dans le plan des droites (X}, (A), (B),. . .; menons les nouvelles droites vg et vh aux derniers points g ei h donnés sur (X); ces droites, que d'après les conventions précédentes nous nommerons (G) et (H), rencontreront de nouveau et respectivement la courbe In) en n — I points /', j'', 7'*', ... et en » — i points z', z", z*, . - . dont la détermination, je le répète, dépendra delà résolution d'une question analoguea la proposée, mais d'un ordre moins élevé.

Considérant, par exemple, la droite (G) ou vgen particulier, on prendra successivement chacun des /i — i triangles (GXA ), (GXB), (GXC),. . ., (GXF)pour transversal de I9 courbe, ce qui donnera lieu à autant de relations distinctes de la forme de celles du n*'213, et qui seront, en effet, aptes à définir les n — i intersections fi y" y y" y . . . relatives à la droite dont il s'agit, attendu que les valeurs des rapports

L2£J, Lç— i, lâ-J,..., qui entreront dans leurs seconds membres, seront toutes

{ax) {bx) [ex]

données immédiatement par les n équations primitives (216) qui définissent les points X, x'y x"y .... Supposant donc qu'on sache déjà résoudre, pour le degré A — I ou pour n — i équations, le problème général qui nous occupe, et traitant le système des points z\ z\ z'",. . ., comme on vient de le faire pour celui des points /', x", 7'*', . . . , on connaîtra n -h i systèmes de n points en ligne droite, relatifs à la courbe (n), lesquels seront en nombre plus que suffisant (211 et suiv.)pour en déterminer les différents systèmes d'intersections avec une droite mobile autour de l'un quelconque de ces points, et ce à l'aide d'une suite d'équations qui se rapportent elles-mêmes toutes au degré w — i.

219. On simplifiera un peu la première partie de ces constructions, celle qui se rapporte à la détermination des points 7', x'\ 7*',. . . et z', z" , z*",. . ., en remarquant que, puisque les n — a points g', r', «',... et les n — a points q^y r', Z', . . . ont été pris d'une manière entièrement arbitraire, on peut les choisir respectivement sur les droites (G) et (H) qui joignent le point v aux deux derniers des points donnés, g et A.

En effet, attendu que les » — i points v, ç', r", «',... appartiendront alors à la

2o4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

courbe (n), la droite (G) qui les porte ne rencontrera plus celle-ci qu'en un seul et dernier point/, que Ton construira immédiatement et linéairement (165 et 172) en considérant (GXA) comme un triangle transversal de cette même courbe. On construira pareillement le n'^^ point d'intersection z, appartenant à vA ou (H), par la considération du triangle (HXA); menant enfin la droite /z, que nous nommerons (Y), elle rencontrera (/i) en n — 2 autres points qu'on déterminera, à leur tour, en considérant les/i — a triangles (YAB), (YAC), ( YAD),..., (YAF) comme transversaux de cette courbe, ce qui donnera sur-le-champ autant d'équations distinctes, de la forme des proposée^, mais qui ne se rapporteront plus qu'au degré n — 2.

La courbe (n), qui, par ses intersections avec (X), donne les n points jr, a:\ x" ^ . . . demandés, devant contcnirJe système des /i points trouvés en dernier lieu sur (Y), ainsi que les n — i autres systèmes de points 9, de points r, . . . , de points «, situés sur les droites respectives (A), (B), (C),. • ., (F), cette courbe, dis-je, qui doit en outre passer par v, se trouvera complètement déterminée (211 et suiv.) comme dans le cas qui précède, et son tracé sera ainsi ramené à celui d'une série d'autres courbes d'un degré moindre d'une unité que le sien propre, et dont chacune n'exigera, à son tour, que des constructions d'un degré moindre d'une unité, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit retombé sur des constructions du second ou du premier degré seulement.

220. Deuxième solution générale, plus simple, — Ces constructions étant encore fort compliquées, on pourra les simplifier notablement, du moins en ce qui concerne le tracé de la ligne auxiliaire (n}, si, au lieu de se donner un point ordinaire, tel que v, pour y faire passer cette ligne, on supposait que ce point fût multiple d'un certain ordre; seulement alors il faudrait diminuer en conséquence le nombre des droites (A), (B), (C),. . . ou des systèmes de points arbitraires qu'elles portent.

Supposant, par exemple, que v soit multiple de l'ordre n — 2, il est clair que la courbe {n) sera entièrement déterminée (198 et suiv.) par le système des «points^ définis par les équations du n"* 216, et des n points ;i de ( A ), des n points 9 de ( B ), construits comme il a été expliqué au commencement du n® 217, de sorte qu'on ne pourra plus se donner arbitrairement aucun autre point pour y faire passer cette courbe. Par conséquent, si, à l'aide de ces deux derniers systèmes de points seulement, du point multiple v et des n équations données qui se rapportent aux /i + i points fl, 6, c, . . . , g- et A, on parvient à déterminer un dernier système de n points /", r', r",. . . situés à l'intersection de [n) et d'une droite quelconque, on sera par là même en état de construire tous les points de cette courbe par un procédé qui n'exigera (198 et suiv.) que la répétition d'opérations du premier et du second degré seulement.

Pour prouver la possibilité de déterminer un tel système de points ou un système de points équivalent, montrons d'abord comment on peut construire les deux intersections de la courbe avec chacun des rayons vecteurs vc, vrf, . . . , vg^ et vA, ou ( C), (D),. . ., (G) et (H), qui sont en nombre /i — i. Soient, par exemple, f ^ly les intersections inconnues relatives à (C); on considérera successivement les triangles (CXA), (CXB) comme transversaux de la courbe (n), ce qui donnera deux relations

SECTION m. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 2o5

dans lesquelles il n'y aura d'Inconnus que les segments des points y, y^ dont il s'agit, et ceux des points x^ x'j :r^, . . . ; remplaçant donc les rapports des produits de ces derniers segments par leurs valeurs déduites de celles des équations proposées (216) qui sont relatives aux points a» b et o, on aura deux équations propres à construire y et y, par le tracé d'une ligne qui, d'après ce qui précède (219), sera simplement du second ordre» et pourra même être construite par des opérations purement linéaires.

Ayant déterminé, de la même manière, le système de deux points z* et 2" situés sur vc, celui de deux points /' et t" sur v</, et ainsi de suite, on pourra supposer, pour simplifier le reste de la solution, que les points p* et q\ qu'on s'était d'abord donnés d'une manière entièrement arbitraire sur (A) et fB), aient été choisis de façon que la direction p'q' passe par le point c, direction que nous désignerons par (C, ) pour la distinguer de (C) ou cv. Cela posé, afin de déterminer les n — 2 autres intersections de (C,) avec la courbe (/i), on considérera successivement les n — 2 triangles (CXD), (C|XE),. . ., (C,XG), (C.XH) comme transversaux de celte courbe, ce qui donnera un pareil nombre d'équations distinctes, propres à déterminer les intersections dont il s'agit, attendu que les rapports des produits relatifs à or, 0?', j:",... pourront encore en être éliminés, au moyen des équations proposées.

Supposant, de même, que la droite (D,) des points p" et ç", restés totalement arbitraires, ait été prise, à son tour, de façon à passer par le troisième point dy on déterminera pareillement ses n — 2 autres intersections avec (n); et l'on voit qu'on pourrait opérer encore ainsi à l'égard d'une troisième droite contenant/?*', q" et passant par e, ce qui permettrait de construire la courbe tout entière par le procédé des n®' 200 et 201. Mais, comme chacune de ces opérations suppose la résolution de 71 — 3 équations de la forme de celle du n*" 216, il sera plus simple et plus expéditif de se borner à la considération des deux premières droites/?' g', /?"g" ou (Cl) et (D,), dont les systèmes d'intersections avec notre courbe (n), joints à ceux des droites (A) et (B), suffisent pour construire successivement tous les couples d'intersections de celte courbe avec des transversales arbitrairement menées par le point multiple v.

221. Soit, en effet, vu' ou (U) une pareille transversale rencontrant la courbe aux points m' et u"\ pour déterminer directement ces points, on imaginera une ligne du second ordre qui les contienne à la fois et passe, de plus, par les trois points q\ p\ p" qui sont connus et dont celui du milieu est à l'inlerseciion de (A) et de (Ci). Cette ligne rencontrera, de nouveau, la droite (B) qui contient tous les points q^ ç', q"y, . . , et la droite (Di) qui contient p^, q" et rf, en deux autres points qu'on déterminera linéairement en considérant, d'une part le triangle (UA6), d'une autre le triangle (UC.D,), comme à la fois transversaux de (n) et de la ligne du second ordre dont il s'agit; car il en résultera deux couples d'équations, de chacun desquels éliminant les produits dé segments relatifs aux intersections communes u! et u" de (U)avec les courbes dont il s'agit, on déduira deux nouvelles équations qui ne contiendront plus que les simples rapports des segments relatifs à chacun des deux

ao6 PROPRIÉTÉS PR0JECTIVE8 DES FIGURES.

points inconnus de la ligne du second ordre. Cette ligne» passant en outre par les trois autres points q'y p' et p'^, sera ainsi complètement déterminée, et donnera, par ses intersections avec (U), le couple des points u' et u^ demandés.

Faisant maintenant varier la transversale (U) autour de y comme pôle, on obtiendra, d'une manière assez rapide, la suite de tous les couples de points analogues à a' et u", qui tracent la courbe (n) dont les intersections x, a/, jc",. . ., avec la droite (X), se trouvent être précisément les n points satisfaisant aux équations proposées.

222. Troisième et dernière solution générale. — Si, au lieu de supposer v un point multiple de Tordre n — i, on le supposait de Tordre /i— - 1, on ne pourrait, au plus, se donner arbitrairement que les n points p, p', p'\ . . . , situés sur la droite (A) menée à volonté par a; car nous avons vu (203 et suîv.) qu'un tel point multiple et les deux groupes de n points, p, /?', /?", . . . , jt, ar', ^", . . . , dont lé dernier doit toujours être censé défini complètement par les n équations primitives, suffisent pour déterminer et même pour construire linéairement la courbe du degré n qui passe par ces différents points. D'ailleurs, en suivant toujours Tesprit des méthodes mises en usage dans ce qui précède, on chercherait à déterminer, au moyen des points arbitraires p, p', p^, . . . du point multiple v et des n équations proposées, un nouveau système de n points de la courbe, situés en ligne droite, lesquels, réunis avec les premiers, serviraient à décrire linéairement cette courbe sans qu'il fût nécessaire de recourir directement aux points x, a/, x'^y ...

En effet, menant de v vers les différents points b, c, d,. , ., g, k, en nombre/», des droites ou rayons vecteurs (B), (C), (D),. . ., (Gj et (H), on déterminera linéairement leurs dernières intersections avec la courbe (/i), et qui sont distinctes de v, en considérant successivement les triangles (AXB), (AXC), (AXD ),..., (AXH) comme transversaux de cette courbe, et remplaçant, dans les équations correspondantes, les rapports des produits de segments [ax], [bx),(cx),(dx)y...y{hx) par leurs valeurs tirées des équations primitives; car il n'y restera plus d'inconnus que les rapports simples des paires de segments qui, sur chacun des rayons vecteurs v6, ve,. . ., vh de ces triangles, appartiennent aux n intersections cherchées, rapports qui seront ainsi donnés immédiatement par chaque équation. Conduisant enfin, par l'un quelconque p des points/?, p', p^y* et par 6, je suppose, une nouvelle droite (Bi), les /t — i autres intersections tt', 7^'^. . • de cette droite et de la courbe seront déterminées par un système d'équations du même genre que les proposées, en nombre n — i, et qui seront données par les triangles successifs (XB,C}, (XB|D),. . ., considérés à leur tour comme transversaux de cette courbe (*).

( * ) La question se trouve ainsi ramenée à une autre du degré n — i seulement ; mais on la rabaisserait de suite au (/i — a)' degré, si, au lieu de prendre les points/;, p\ p'y... de (A) totalement arbitraires, on déterminait l'un d'entre eux d'après la condition que l'intersection de pb ou(B,) avec cv ou (C), par exemple, fût sur la courbe (n). En effet, la même équation qui, d'après ce qui précède, donne cette dernière intersection au moyen des points p, p\ /'^..., servirait aussi à déterminer linéairement l'un de ceux-ci au moyen de l'intersection dont il s'agit, censée donnée à priori; et, si Ton supposait qu'à son tour l'intersection de «fv ou (D) et de (B,)

Ayant ain^ toutes les intersections/?, p\ /?">... et/?, Tr'yTr',... relatives aux droites ( A) et (B), on sera en étal de construire linéairement autant d'autres points de (/i) qu'on le voudra, situés sur les différents rayons vecteurs qui partent du point multiple V. Menant, par exemple, la transversale vnt, qui rencontre en m et / respectivement les droites (A) et (Et) dont il s'agit, on sera en état de construire sa nouvelle intersection z avec (/i), en ne faisant usage que d'une simple règle; mais, au préalable, il sera nécessaire de déterminer la tangente au point/?, qui est commune à (A) et à (B), ce qu'on fera sans difQculté à l'aide de la relation même qui, d'après le n"^ 171, lie le point z à l'intersection correspondante de cette tangente et de mv, intersection que nous nommerons a. En effet, la considération du triangle Imp, dont le sommet p est sur la courbe (/i), donne la relation

[mp') (n'r!) /v"~* h^ ma

inp') (TV) /»y"-'*mi'T« "" ''

qui servira à déterminer linéairement (172, 174. et 184 ) le point a de la tangente en /?, m Ton suppose que v/ se confonde précisément avec la direction de l'un des rayons vecteurs vfr» vc,. . . , pour lesquels, d'après ce qui précède, z est connu, ou qui servira à construire linéairement 2, quand la tangente dont il s'agit aura été construite une fois pour toutes.

CONCLUSIONS GÉNÉRALES BT PRINCIPALBS CONSÉQUENCES.

223. Ce qui précède suffit, je pense, pour convaincre nos lecteurs de la possibilité de résoudre, d*une manière purement géométrique, le problème général que nous nous sommes proposé dans le n^ 216, et pour montrer la variété des ressources qui sont offertes par l'Analyse des transversales dans toutes les questions où il s'agit de construire le système des intersections d'une ligne géométrique avec une transversale arbitraire de son plan, quand cette ligne est simplement définie par un nombre suftisant de semblables systèmes ou de systèmes équivalents (212 et 215), ce qui fournit aussi des moyens pour la décrire complètement par points sous ces mêmes données.

On voit qu'en définitive ces constructions se réduisent à une suite d'opé* rations ou de calculs qui appartiennent uniquement au premier degré ou à la Géométrie de la règle, ce qui signifie seulement que les courbes auxiliaires qui» par leurs intersections avec des droites données, servent a déterminer les points qu'on cherche, se trouvent elles-sièmes construites à l'aide d'opé* rations purement linéaires. Or, cette circonstance parait tenir essentiellement

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fût sur la courbe, on aurait deux équations, de la forme de celles du n° 216, propres à déterminer deux quelconques des points/?, p\ /'",..., considérés comme inconnus ; de sorte que le problème serait alors ramené à la résolution de deuic autres des degrés /t~ 3 et 2; et ainsi de suite. — (Note de i83i.)

2o8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

à ce que les relations métriques qui définissent les inconnues se présentent toutes sous la forme de celles que nous avons nommées Mlenvs projectwes ^ et spécialement de ce que les segments ou distances qui y entrent constituent une fonction symétrique de produits homogènes.

224. La solution que nous avons présentée en dernier lieu (222) nous parait d'ailleurs aussi simple et aussi rapide que le comporte la nature du problème proposé ; car elle ramène de suite la recherche de n points inconnus X, x\ x\,.. à celle de /i — i autres points jr',\s,..., dépendant d*une question du même genre, mais d'un degré inférieur d'unKunité, et qui, étant une fois trouvés, permettraient de construire les proposés paî^r le tracé d'une courbe auxiliaire de degré n. Mais, comme ces n — i points V» tt",... exigeraient, a leur tour, la détermination de /i — 2 autres points an'ïftlog^^®» ^^ le tracé linéaire d'une ligne de l'ordre /i — a et ainsi de suite, on voM Q^ ^^ remontant de proche en proche, on fera dépendre la solution du proV^^^^ d'pn ou de deux derniers points qui exigeront le tracé d'une ligne droilj^ ^^ d'une section conique, et qui serviront a en déterminer trois autres pa\^^ tracé linéaire d'une ligne du troisième ordre, quatre autres par le tracé reil d'une ligne du quatrième ordre, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soi arrivé aux n points proposés, qui eux-mêmes réclameront le tracé d 'une ligne de l'ordre n.

Ces différentes opérations, qui s'exécutent toutes avec la règle, au ront donc nécessité le tracé de n — i courbes géométriques dont les degrés respectifs sont représentés par la série des nombres naturels compris entre i et n (*). Or nous ne voyons pas, pour le moment, comme il serait possible de remplacer, généralement, cette suite de tracés assez pénibles par le tracé unique d'une courbe de degré n\ et quoique, par elle*-même, la chose ne répugne en aucune manière, nous devons cependant avouer que nous l'avons jusqu'ici vainement tentée, même pour la question particulière du n^ 213, où le système des équations à résoudre n'exprime autre chose que la dépendance purement descriptive qui lie les m — i points inconnus aux m^ + i points donnés, et en vertu de laquelle tous ces différents points appartiennent à une même ligne géométrique du degré m.

La complication dont il s'agit parait, du reste, tenir au fond même de la question, et à ce que les données ou conditions graphiques n'en seraient pas

[*) D'aprèsles observations de la note du n"* 222, le nombre des courbes auxiliaires pourra être réduit d'environ moitié.

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. 20g

assez explicitement définies sous le point de vue purement géométrique. Car, par exemple, dans le problème du n^ 213 dont il vient d'être parlé, la complication n'a pas lieu lorsque les m' premiers points donnés, situés m par m en ligne droite, sont immédiatement définis par la condition de se trouver sur un second système de m droites, ou, en général, sur une courbe géométrique du même degré que la proposée, et elle n'a pas lieu, non plus, pour le problème du n^ 206, où il s'agit de déterminer le système complet des tangentes en un point multiple d'une courbe, dont l'indice est le plus élevé possible par rapport à son degré. Nous verrons en effet, par la suite (Sect. IV ), que dans ces cas particuliers la question, bien qu'elle dépende toujours d'un système d'équations analogues, peut se résoudre néanmoins par le tracé d'une seule courbe auxiliaire dont le degré est marqué par le nombre des points qui sont à déterminer.

225. Quant à présent, nous devons nous borner à tirer quelques conséquences générales des recherches qui précèdent, dans lesquelles nous n'a* vous prétendu qu'indiquer rapidement des moyens généraux de solution, propres seulement à montrer la possibilité et l'étendue d'une classe de questions qu'on serait volontiers tenté de regarder comme tout à fait en dehors du domaine de la pure Géométrie.

En effet, il résulte clairement, des discussions auxquelles uous nous sommes livré dans ce paragraphe, que pour m systèmes de m points, situés sur un égal nombre de droites s'entrecoupant toutes dans un même plan, et qui, pris trois par trois, satisfont à la relation métrique du n^ 165, on peut mener une infinité de lignes géométriques du degré m; mais que, si un dernier point est donné arbitrairement pour y faire passer la courbe, cette courbe sera entièrement déterminée de forme et de position, aussi bien que ! ses intersections avec une transversale quelconque passant par ce point, ou

I même avec une transversale entièrement arbitraire. Il résulte aussi de la

I évidemment que, c si un nombre quelconque, supérieur à m, de systèmes

» de m points, situés sur un égal nombre de droites comprises dans un » plan unique, sont tels que, considérés trois par trois, ils satisfassent à la i > relation dont il vient d'être parlé, tous ces points appartiendront néces-

> sairement à une seule et même ligne géométrique d'un degré précisément

> égal à m, et que, si par m quelconques de ces systèmes de points et par » l'un des points restants on fait passer une ligne de ce degré, elle passera » nécessairement aussi par tous les autres > : sur quoi il est important de remarquer qu'au lieu d'épuiser toutes les combinaisons possibles de droites