DES COURBES ET DES SURFACES

238. Pour montrer comment le principe général, établi ci-dessus, sur le nombre des tangentes des lignes géométriques issues de points donnés, trouve son application dans chaque circonstance particulière, il n'y a qu'à se proposer (233) la recherche directe de la démée du système de m droites tracées arbitrairement sur un plan, en remarquant qu'ici on peut prendre les tangentes parallèles à une direction donnée, sans limiter en rien l'étendue de la question. La construction générale fournira positivement ^m (m — i) droites distinctes passant respectivement par les intersections mutuelles des m droites proposées, mais dont chacune devra être censée double, ce qui

(*) Je supprime ici une longue note de la première édition, devenue inutile par le triple motif: i"* que l'erreur signalée dans le n° 628 de ce Supplément^ relative aux lignes de courbure résultant de l'intersection des surfaces orthogonales du deuxième degré, se trouve déjà mentionnée et rectifiée dans une Note udditionncUe au tome P" de cette seconde édition (p. 419 et 4^0, Lettre de M. Charles Dupin); 1^ que l'ouvrage allemand de Breysig sur la Perspectwe des reliefs (Magdebourg, 1798), que je citais à propos des n^ SSI et suivants du même Supplément^ et dont je devais la communication à l'illustre géomètre Jacobi, ne méritait nullement les éloges que, dans la note ici supprimée, je lui accordais avant de l'avoir suffisamment apprécié par moi-même, du moins sous le point de vue géométrique, car il n'y est nullement question de points, de droites ou de plans situés à rinfmi, ni, à fortiori^ de centres et de plans d'/iomologie ; 3** enfin que, dans le tome XVI des Comptes rendus de l' Académie des Sciences de Paris, j'ai inséré au bas de la page 962, à ce dernier sujet, une note rectificative qui fait partie d'un article que, à cause de son importance historique, on trouvera tout entier reproduit parmi les Extraits divers imprimés dans la Section supplémentaire de ce volume.

donnera en tout m{m -- j) tangentes, circonstance qui tient à ce qu'en effet le système de deux droites qui se coupent sur un plan doit être considéré comme une sorte d'hyperbole dont les sommets se sont confondus en un seul avec le point d'intersection de ces droites. Si, d'ailleurs, il arrivait que trois quelconques de nos m droites se croisassent en un même point, ce point devant être considéré comme un point triple du système qu'elles forment, il est clair (236) que toute droite qui y passerait représenterait six tangentes superposées de ce système ou de la ligne du m***' ordre qu'il remplace, et ainsi de suite pour les intersections multiples d'espèce supérieure.

239. Concevons encore la parabole cubique ou ses analogues qui ont toutes un point de rebroussement à l'infini dont la tangente est elle-même située tout entière à l'infini, fait dont on s'assure en observant que toute transversale, parallèle aux branches infinies, n'a avec la courbe qu'un seul point d'intersection possible à distance donnée, ce qui en suppose nécessairement (235) deux autres confondus en un seul à l'infini, auxquels vient se réunir le premier quand la transversale se transporte parallèlement à elle-même au delà de toute distance donnée. Il est clair que, parmi les m (m ~ i) ou six tangentes à la courbe, issues d'un point quelconque de son plan, devront se trouver constamment les trois tangentes superposées (235) relatives au point de rebroussement, de sorte qu'il ne restera plus que trois dernières tangentes généralement distinctes, et dont deux pourront d'ailleurs être imaginaires. Si les tangentes devaient être parallèles à une direction donnée, ou que leur point de concours dût être à l'infini sur la tangente du point de rebroussement, celle-ci représenterait évidemment quatre tangentes superposées (235), et il ne resterait plus ainsi que deux tangentes distinctes qui pourraient même devenir totalement imaginaires.

La même discussion peut être appliquée mot pour mot k la parabole du troisième degré qui sert de développée à la parabole ordinaire, si ce n'est qu'ici le point de rebroussement est à distance donnée, et que le point de simple inflexion est à l'infini aussi bien que sa tangente, qui devra toujours (234) être comptée deux fois au nombre des six tangentes de la courbe qui seraient parallèles a une direction quelconque donnée ou devraient concourir en un point quelconque de la tangente dont il s'agit. On appliquera une discussion analogue aux lignes du troisième ordre, mentionnées par M. Lacroix à la page ii8, n^ 86, de son excellent Traité élémentaire de Calcul dijférentiel (/J* édition), Traité où la ligne représentée par \^ fig. 22 ofTre en effet l'exemple d'une courbe du troisième ordre qui est susceptible

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. aaS

d'avoir six tangentes» toutes distinctes et réelles» issues d'un même point donné. Cette courbe, qui a trois points d'inflexion en ligne droite dont un à l'infini, et qui est sans points multiples, a été spécialement considérée par Mac-Laurin dans son Traité des lignes géométriques.

240. Soit enfin le système de deux lignes géométriques quelconques, de degrés m et n, tracée^ sur le même plan et qu'on peut regarder comme une seule ligne géométrique du degré m -+- /i; le degré de sa dérivée, ou, ce qui est la même chose, le nombre de ses tangentes parallèles à une droite ou issues d'un point donné, sera toujours (m-h/i) (w-h w — i); mais, parmi ces tangentes, se trouveront comprises : i*' les m (m— i) tangentes de la courbe (m); a^ lesn(/i — i) tangentes de {n)\ 3** enfin chacun des couples de tangentes superposées relatives aux intersections de ces courbes, lesquelles doivent être considérées comme autant de points doubles de la ligne (m + n), dont le nombre est ainsi, en général et au plus,

^ Ll L i i î i r= mn,

c'est-à*dire égal au produis des degrés des deux courbes simples (m) et (/i), comme on pouvait le prévoir d'aprës le théorème connu sur le nombre des intersections de deux courbes de degrés donnés et tracées sur un même plan.

Ainsi la considération de la dérivée des courbes planes géométriques nous fournit un moyen de découvrir le nombre des intersections communes à ces courbes, comme elle nous a fourni celui de découvrir le nombre de leurs tangentes issues de points donnés^ et comme elle fournirait aussi les moyens de trouver, àpriori, tous leurs points multiples de différents genres, c'est-àdire de croisement, de tangence, de rebroussement, etc. : il ne s'agirait, en effet, que de prendre leurs dérivées par rapport à deux directions arbitraires et au même axe, puisqu'elles devraient avoir en commun, sur cet axe, les points qui répondent auift points multiples dont il s'agit.

Le même genre de raisonnements étant applicable d'ailleurs aux surfaces et aux systèmes de surfaces géométriques, pourvu qu'on remplace l'axe par un plan fixe quelconque, on en déduira beaucoup d'autres théorèmes analogues relatifs aux plans tangents de ces surfaces issus d'une droite donnée, aux cônes qui leur sont circonscrits, au degré et au nombre de leurs intersections communes deux à deux, trois à trois, etc., théorèmes dont plusieurs ont déjà été démontrés ou simplement mentionnés dans la première partie du Mémoire sur la Théorie générale des polaires réciproques (Sect. II).

241 . A cet effet, on prouvera d'abord sans beaucoup de peine que la surface conique, circonscrite k une surface quelconque du degré m, est généraleinent du degré m — i seulement; d'où Ton conclura, par le genre 'de raisonnement que nous venons de mettre en usage, que la courbe d'intersection de deux surfaces quelconques des degrés m et n est elle-même du degré mn\ proposition d'ailleurs évidente àprioriy d'après celle qui concerne les intersections des simples courbes planes, et si l'on admet, pour définition des courbes à double courbure de degré m, que de telles courbes sont susceptibles d'être rencontrées en m points réels, imaginaires, etc., par un plan arbitraire, ou, ce qui revient au même, que leurs différentes projections sur des plans quelconques doivent être des courbes géométriques du degré m.

Ces préliminaires étant établis, on démontrera ensuite que le nombre des intersections d'une courbe à double courbure, du degré jx, avec une surface quelconque de degré m, est généralement et au plus jxTn, en observant, à cet effet, que la dérivée (233) du système de cette courbe et de cette surface, prise par rapport à un plan-axe quelconque et parallèlement à une droite fixe arbitraire, est elle-même une courbe à double courbure du degré fx/w, puisque d'ailleurs on doit ici faire abstraction des m (m — i) cordes qui, sur chaque transversale issue des points de (jui), appartiennent à la surface (m).

Menant, en effet, un plan transversal quelconque parallèle à la direction donnée, il coupera (jx) en jx points, à chacun desquels correspondra une transversale parallèle à cette même direction, contenant m intersections de la surface (m), et par conséquent m abscisses ou cordes comptées de ce point, ou enfin (233) 2 m points de la dérivée que Ton considère. La totalité des points (|x), compris dans le plan transversal dont il s'agit, sera donc jtxm, donnant lieu à 2 /nju. points de la dérivée également compris dans ce plan ; et, attendu que cette dernière ne saurait y en avoir d'autres à distance donnée ou infinie, il faut bien qu'elle soit, en général et au plus, du degré 2 /tzjx.

Finalement, comme aux intersections de la dérivée avec le plan-axe doivent correspondre un pareil nombre d'intersections de (/x) avec (m), et que ces dernières donnent lieu à des points doubles sur le plan dont il s'agit, ou qui sont la rencontre mutuelle de deux branches distinctes de la dérivée, il s'ensuit rigoureusement la proposition avancée, que :

Toute courbe à double courbure ^ du degré jx, rencontre ^ généralement et au plus, en m^i points une suiface géométrique quelconque du degré m.

Donc aussi :

Trois sur/aces quelconques des degrés m, /i, p s'entrecoupent, généralement et au plus, en m>:nxp points.

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. aaS

GÉIfÉtALISÀTIOlf DU MODE DE TRÂNSPOEMATION DES COURBES GÉOHfiTRIQUES.

242. Nous ne pousserons pas plus loin ces dernières considérations, qui nous conduiraient a un grand nombre de propositions curieuses sur les courbes à double courbure et les surfaces, parce qu'elles nous feraient perdre de vue, trop longtemps, l'objet actuel de nos investigations relatives aux faisceaux de tangentes des lignes géométriques.

Jusqu'ici, en effet, nous avons supposé les points de concours de ces faisceaux à l'infini ou les tangentes parallèles, ce qui nous a permis de discuter, avec facilité, les singularités qui leur appartiennent; or il est bon de faire voir comment nos constructions peuvent s'étendre directement au cas où le point de concours est à une distance donnée sur le plan de la courbe, sans qu'on soit obligé de recourir (233) à la projection de la figure sur un nouveau plan. Pour cela, il ne s'agira que de généraliser ces constructions de manière qu'elles deviennent naturellement/^/Yj/^cr/ïV^, ou telles, qu'elles demeurent applicables à la fois à toutes les projections coniques delà courbe proposée; ce qui est très-facile, comme on va le voir.

Afin d'obtenir, sur une transversale quelconque parallèle à la direction donnée, tous les points qui appartiennent à la dérivée de la courbe (m), nous avons tacitement supposé, dans le n" 233, qu'on ferait usage du compas ou de mesures graduées; mais on peut immédiatement ramener la détermination de ces points à une opération qui n'exige que le tracé de droites parallèles, lesquelles, comme on sait, se changent, dans les perspectives ou projections coniques de la figure, en de simples lignes concourant en des points donnés; ce qui rend les opérations purement linéaires ou les abaisse au premier degré.

Ayant, en effet, déterminé, sur la transversale que l'on considère en particulier, les /w intersections qui lui correspondent dans la courbe proposée, on mènera, par un point ou pôle arbitrairement choisi sur la droite qui sert d'axe a la dérivée, une parallèle à cette transversale, puis m autres droites aux intersections dont il s'agit. Gela posé, on conduira par chacune de ces intersections m— i nouvelles droites parallèles à celles des m droites précédentes qui n'y passent pas; ce qui donnera, en tout, /n(/w— i) droites de cette espèce, rencontrant la parallèle à la transversale en un pareil nombre de points distincts du pôle fixe par lequel est conduite cette parallèle, et qu'on ramènera sur la transversale elle-même, a l'aide d'un dernier système de parallèles à l'axe ; ce qui donnera évidemment tous les points et tes