II

» ces hexagones ont une situation générale, par rapport à la section conique, qui D sert de directrice des pôles et polaires. Or, c'était un pas de fait dans la théorie » de la dualité ou de la réciprocité des relations de situation. Déjà d'ailleurs » M. Brianchon avait démontré (X« et XIIP Cahier du Journal de F École Poljr^ s> technique) que, a quand un point se meut sur une surface du second degré, le » plan polaire de ce point, par rapport à une autre surface de ce degré, en touche 2> constamment une même troisième, d et que, a quand une droite se meut, en tou- » chant une section conique, le pôle de cette troisième droite, par rapport à une jo autre section conique, demeure continuellement sur une section conique. » Hais il » restait à démontrer les propositions corrélatives, qui seules pourraient établir la D réciprocité des relations de situation des lignes et des surfaces du deuxième » degré.

)> Voilà, ce me semble, où en étaient les choses au commencement de 1818, D lorsque, résumant {Annales de Mathématiques, t.yill,p. 211) en ce peu de mots » les propriétés essentielles du pôle des sections coniques, a la polaire de tout B point d'une droite passe par le pôle de cette droite, et vice versa, «j'établis, sans » autre préambule, la théorie des pôles et polaires réciproques, c'est-à-dire la réci-j» procité parfaite qui existe, non pas seulement entre les relations de situation des D points et des droites, mais entre celles des courbes planes quelconques, /^o/a/re^ D par rapport à une section conique prise à volonté pour directrice, ou qui sont » telles que les points de l'une ont pour polaires les tangentes respectives de l'autre, » et vice versa. Me servant de cette réciprocité, ainsi justifiée en général, je déter- JD minai le degré et les affections principales des lignes polaires de courbes don-» » nées, et je fis voir que cette doctrine pouvait s'étendre aux figures dans l'espace, )> notamment aux surfaces du deuxième degré. Enfin, j'annonçai tout le parti qu'on » en pouvait tirer pour la démonstration et la recherche des propriétés des figures, » en prenant pour exemple la réciprocité des relations existantes entre les points » d'intersection et les tangentes communes de deux courbes quelconques tracées D sur un même plan.

ï> D'après ces diverses recherches, d'après tout ce qu'on savait d'ailleurs de la » dualité des propositions de la Géométrie de la règle, on concevra aisément que » M. Gergonne ait pu énoncer, dès 1819 et sans beaucoup d'hésitation, le théorème D sur les intersections de lignes droites, qu'il cite dans l'une des notes de la » page 127 du tome XVIII de son recueil (*), comme étant le corrélatif d'un autre

(*) « M. Gergonne y cite aussi, en faveur de ses idées sur la dualité, rarticle de la page 3ai » du tome IX des Annales, relatif aux polyèdres conjugués; tout ce que cet article prouve, c'est » que ses vues sur la dualité de l'espace étaient alors bien restreintes, et qu'il ne savait pas encore » se servir de la théorie des polaires réciproques, comme il le fit beaucoup plus tard (t. XV, » p. i57, novembre 1824), en reprenant ses recherches sur les polyèdres. Du reste, le mot de » dualité n'est pas môme prononcé dans un seul de ces endroits, et rien n'y constate les droits » de M. Gergonne à la découverte du principe de celte dualité, pas plus que toutes les autres » propositions doubles, antérieurement connues, ne constatent ceux des géomètres qui les ont, les » premiers, signalées ou démontrées, d

beau théorème dû à H. Coriolis ; mais ce qu'on ne saurait lui accorder sans B preuves, c'est que ses idées sur la dualité aient été, à cette même époque, com^ » plétement fixées, ainsi qu'il le prétend dans la note en question et qu'on le » répète à la page !2i3 du précédent Bulletin. Car il ne s'agit là que d'une applix> cation fort simple de la théorie des pôles et polaires, comme le prouvent les » considérations par lesquelles il a justiûé son théorème réciproque, deux années » plus tard, dans un article inséré à la page 335 du Xi* volume des ÀnnaleSy sans » dire un seul mot, du reste, qui ait trait à la dualité en général. La fin de cet B article démontre même que M. Gergonne ignorait alors le moyen très*simple » d'établir cette dualité pour le cas de l'espace : en effet, dans ce cas, les points D des énoncés, au lieu d'être remplacés par des droites^ devaient l'être par des plansy j> pour passer aux figures corrélatives; ce qui choquait probablement les idées bien » fixées qu'il avait de la dualité.

j» D'ailleurs, ceux qui connaissent l'activité infatigable de la plume de M. Ger- 9 gonne pour tout ce qui tient à la philosophie des sciences croiront difficilement h que, s'il avait eu alors sur la dualité des idées aussi complètement fixées qu'il veut D bien le faire supposer, il les eût gardées par devers lui jusqu'en i8a6, malgré la D haute importance qu'il leur accorde maintenant. Ils admettront volontiers, au contraire, que l'existence de la dualité n'était encore, pour ce géomètre, qu'un de » ces sentiments vagues, de ces aperçus obscurs, tels qu'il s'en présente quelle quefois à l'esprit, et qu'une étude un peu sérieuse ne vient pas toujours con- D firmer; en un mot, tout prouve que, même longtemps après 1819, les vues de » M. Gergonne ne s'étendaient guère au delà de celles que pouvaient faire naître » les faits déjà bien connus, et ce que j'avais dit d'un peu général, dès 1818 et x> surtout en 18211, dans les Annales de Mathématiques et dans le Traité des Pro- 9 prié tés projectives des figures. Voilà sans doute pourquoi il ne ju^e pas indispen- » sable d'en entretenir le public avant l'époque de i8a6.

D Au surplus, M. Gergonne ne disconvient pas de la priorité de mes recherches » sur les siennes, et son système de réplique parait se borner à la revendication » des mots dualité de situation, mots, selon moi, vides de sens en philosophie 9 mathématique, et absurdes, qu'on me passe l'expression, lorsqu'on entend en » faire le type d'un principe général indépendant de la théorie qui seule les justifie, n et ne point en borner l'application aux faits antérieurement connus et rigoureu- D sèment démontrés.

x> Je passerais donc volontiers condamnation sur de pareilles subtilités et j'accor- » deraiSy selon le désir de M. Gergonne, que le premier il a signalé la dualité, que » le premier il l'a proclamée dans ses Annales, s'il ne se montrait aussi habile à D profiter des moindres concessions de ses adversaires, et s'il n'était évident d'ail- » leurs que celte dualité n'est que la réciprocité telle que nous l'avons entendue D dans nos propres recherches, déguisée sous un nom un peu plus séduisant peut- » être. Car, puisque nous y avons démontré qu'en vertu de la théorie des pôles et » polaires, convenablement étendue, toute relation, toute propriété descriptive ou 2> de situation i*une figure a nécessairement sa réciproque dans une autre figure, D il faut bien aussi que de telles relations soient doubles ou marchent par couples,

» nous proposons ici est de considérer quelques cas de cette théorie qui reposent sur » des considérations fort simples et conduisent à des démonstrations qui ne le sont » pas moins, o

» J'ai prétendu seulement prouver que ces mêmes constructions se trouvaient 2> nettement et pour la plupart indiquées dans mon ouvrage, et que M. Plucker » n'avait pas eu beaucoup de peine à les reproduire sous une nouvelle forme, en o leur faisant perdre même leur caractère primitif de généralité.

» Je n'ai jusqu'ici relevé que la première partie des allégations et des assertions » mentionnées à la page 23 du présent volume du Bulletin, j'en viens maintenant D à la partie la plus délicate de ma réplique, parce qu'elle ne pourra manquer, j» quelle qu'en soit la forme, de mettre en jeu la susceptibilité de M. Gergonne : » je veux parler des erreurs qui se sont glissées dans les derniers Mémoires de 1827 ]> 9ur les lois générales qui régissent les courbes et les surfaces algébriques de tous jD les ordres, et que j'ai déjà signalées vers la un de mon précédent article (p. 117], erreurs d'autant plus graves qu'elles entachent plus universellement sa théorie 9 de la dualité, et qui ne peuvent s'expliquer, de la part d'un tel géomètre, que par j» la précipitation avec laquelle il a rédigé ses Mémoires et les a livrés à la publicité.

» En se rappelant ce que nous avions démontré, dès 1818, dans le tome XIII » des Annalesy il n'eût pas commis des inadvertances aussi capitales et il n'eût pas été obligé de les rectifier après coup. Dans tous les cas, ces inadvertances ne D sauraient certes prouver, qu'à l'époque de janvier 1827, pas plus qu'en i8ig, » H. Gergonne ait eu sur la dualité de situation des idées complètement fixées; sans » cela, s'excuserait-il en disant que « le principe de dualité ne date que d'hier, B qu'on peut, se méprendre quelquefois dans les applications, qu'on est forcé » de parler une langue qui n'a point été construite pour les idées qu'il fait D naître, etc. (*] d

n Enfin, peut-on expliquer d'une autre manière le pressentiment qu'il manifeste» D tout en terminant les Mémoires, des inexactitudes qui pouvaient les entacher, ]> attendu, dit-il, la nouveauté des recherches, Yimpeifection du langage^ elc» D Selon M. Gergonne, c'est s'être simplement mépris dans les applications que » d'avoir érigé en autant de principes généraux les propositions fausses qui con- B statuent et qui dominent toute la théorie de la dualité des courbes et surfaces; 9 de telle sorte que, pour en rectifier les nombreuses conséquences, il ne s'est » agi de rien moins que de torturer le sens des mots, en admettant simultanément » deux classifications essentiellement distinctes pour ces courbes et surfaces, chose » jusqu'alors inusitée en Mathématiques et qu'on ne saurait justifier par aucun » prétexte.

» Dans ses notes et dans son article de rectification du 5 novembre 1827, M. Ger* » gonne traite de vagues et d'insinuations obliques les assertions qui ont provoqué D cette rectification un peu tardive, parce qu'elles sont rédigées dans ce style de » modération que nous avons voulu employer envers un des doyens de la science, » comme une marque de notre déférence ; modération que, dans un autre endroit

(*) a Annaies, t. XVIII, p. i4i, note. »

» de ces mêmes notes, il nous reproche, comme on Ta vu, de n'avoir pas mise éga- . D lement en usage envers M. le docteur Plucker, qui nous est tout à fait inconnu. » Cette même modération va jusqu'à lui faire dire [Annales^ p. \^i et i34, notes] : D Voici ce qui semblerait prouver que la/01 à la dualité des propriétés de situation Ji n'est pas encore très^-vive chez M. Poncelet. — S'il n'avait pas autant dédaigné j» l'étude de la dualité de situation, il pourrait prendre ici un ton plus décisif. — » S'il n'est pas sûr de son fait, pourquoi accuse-t-il ? S'il l'est, au contraire, pour- 9 quoi ne montre-t-il pas où est la faute? Cela serait beaucoup moins désobligeant D que des insinuations obliques.. .. »

» Ce qui prouve que j'en avais assez dit pour mettre sur la voie M. Gergonne, j» c'est qu'avec très-peu de réflexions il lui a été possible de rectifier sa théorie. » D'ailleurs, la fin de mon précédent article ne contient rien de vague ni d'équij» voque. Ce géomètre avait avancé en principe, parmi beaucoup d'autres choses » fausses, conséquences nécessaires de ses idées trop étendues sur la dualité, que B la réciproque polaire d'une courbe ou surface d'un certain ordre était elle-même B de cet ordre; que le nombre des tangentes ou des plans tangents communs à » deux courbes ou à trois surfaces était constamment égal au produit des degrés B de leurs équations, etc.(*}. Or, eu citant mes recherches de 1818 et celles de 18^4 B sur la théorie des polaires réciproques, j'annonçais être arrivé à des résultats très* B différents et que je croyais Inattaquables, aussi bien que tous leurs analogues; B c'était dire, en termes honnêtes, que ceux de M. Gergonne étaient erronés, B c'était lui indiquer du doigt l'erreur qui entachait ses recherches. Il est donc B bien évident que la forme de mes critiques, présentées comme des doutes, a B entièrement fait prendre le change à M. Gergonne, et qu'il est injuste à mon B égard quand il taxe d'insinuations obliques des indications aussi expresses, aussi B positives,, des erreurs qu'il avait commises en donnant trop d'extension à ses B idées sur la dualité de situation. En insinuant de plus, au même endroit, que B cette dualité ainsi entendue ne pouvait s'appliquer aux lignes et surfaces en B général, comme elle l'est à celles du deuxième degré, c'était une autre manière B de l'avertir de l'universalité de son erreur; c'était annoncer que je ne l'avais pas B commise dans mon Mémoire de 1824; mais ce n'était pas affirmer, comme il le ^ ■ ■ ■ I ■ .1 ■ ■

[*) a Annalesy t. XYIII, p. 316, ai8, 23a, 234, etc. Dans notre Mémoire de 1818, souvent » rappelé, nous avons prouvé que ce nombre est ;7in(m — i)(/i — i), m et ;i étant les degrés des » courbes. C'est d'ailleurs ici le lieu de remarquer que, des deux théorèmes de M. Vallès, men- » tiennes à la page 27 du tome VI du Bulletin des Sciences, celui qui concerne les courbes a été n donné dans le Mémoire susdit, et l'autre se trouve indiqué dans V Application de Pcmatyse à la » Géométrie, par Monge, 2' partie, p. i4* Nous rappelons ces faits parce que les propositions qu'ils » concernent se rattachent à la théorie des polaires réciproques, et ont été attribuées uniquement à » M. Vallès, par MM. Gergonne et Bobillier, dans les Annales de Mathématiques. En les démon- » trant, ainsi que plusieurs autres sur les pâles des courbes et surfaces, M. Bobillier s'est servi » {Annales, t. XVIII, p. 93 et suiv.) des mêmes principes de projection que nous avions mis en » usage dans notre Mémoire de 1818, principes démontrés dans la première section du Traité des » Propriétés projectives, et dont l'emploi eût également pu épargner à M. Bobillier les calculs pro* » lises de la page 157 du volume cité des Annales, »

)> prétend dans les notes déjà citées plus haut, que la dualité n'avait pas lieu pour » les courbeç et surfaces en général; car je démontre expressément le contraire A dans ce Mémoire {n^ 100 et 101), quant à ce qui concerne tes relations de situa* B tion indépendantes de leur degré,

D 11 résulte aussi de là qu'une inQnité de théorèmes généraux relatifs aux courbes D et surfaces peuvent être réciproques, dans le sens même que l'entendait primitix> vement M. Gergonne, sans qu'il soit nécessaire de recourir à la double définition » si mal à propos adoptée par lui en dernier lieu, et que c'est bien à tort qu'il les D a confondus avec tous les autres dans son article de rectification,

A Dans le fait, je suis bien loin de trouver les rectifications de M. Gergonne satis- » faisantes et même suffisantes; de plus, elles ne sont pas les seules qu'il faudrait » faire subir au Mémoire sur les lois générales gui régissent les courbes et sur^ A faces. En traitant des mêmes matières dans mon Mémoire de 1824, je n'ai pas » reculé devant la difficulté de conserver aux classifications des courbes et sur- » faces leur définition légitime et universellement admise; et je crois pouvoir dire » que MM. les Commissaires de l'Académie royale des Sciences, chargés de l'exa- » men de ce Mémoire^ y trouveront, sur la double existence des relations de l'étendue, plus de données positives et surtout moins d'erreurs qu'on n'en Ji rencontre dans ceux de M. Gergonne, Tout le monde pourra y voir que, même » avant 1824, la dualité de situation, comme les autres dualités, n'était pas pour D moi une doctrine obscure et qui ne datât que de la veille.

A PONCILST.

» MetZ; le 22 janvier 1828. »

RÉPONSE DB H. PONCBLET AUX bêglàmàtions db H. PLUCKEB, iusérécs à la page 33o

du tome X du Bulletin des Sciences de Férussac,

[Extrait du tome XI (1829) de ce recueil, p. 33o à 333.]

a M. Plucker se plaint, dans la lettre qu'il a adressée, en juillet 1828, au rédac* » teur du Bulletin des Sciences mathématiques, des attaques que j'aurais dirigées x> contre sa personne à l'occasion de la polémique qui s'est établie entre M. Ger- D gonne et moi; le fait est que mes reproches s'adressaient, non à la personne de » M. Plucker que je n'ai pas l'avantage de connaître, mais bien à l'auteur des Mé- D moires à doubles colonnes insérés dans le tome XYII des Annales de Mathéma-x> tiques, qui semblait avoir pris à tâche de reproduire, sous une forme inusitée, » les théorèmes et les problèmes sur les contacts et osculations des lignes du » second ordre, qui se trouvent exposés ou indiqués dans le Traité des Pro^ n priétés projectiles des figures.

» M. Plucker vient ici nous déclarer qu'il n'est point l'auteur des doubles » colonnes de son Mémoire, et que par conséquent il n'y a pas, de sa part, esprit D de prosélytisme pour la dualité; que ce n'est pas lui non plus qui a cité le Traité A des Propriétés projectiles dans une occasion insignifiante, puisque aujourd'hui

jft même il ne le connaU pas; que ses citations s'étaient bornées, dans son primitif » et véritable Mémoire, à ce qui concerne le théorème sur Tosculation du troisième » ordre des sections coniques, que j'ai énoncé dans le tome VIII (année i8i7)des » Annales de Mathématiques; qu'il avait eu pour but, dans ce Mémoire, de prou- » ver que les méthodes de la Géométrie analytique se prêtent facilement à cette » sorte de spéculations; que c'était le rédacteur des Annales qui, pour faire préva- X) loir ses vues systématiques de dualité, avait ainsi dénaturé son travail, et y » avait ajouté tous les développements favorables; qu'enfm il ne peut qu'approuver » ces changements, bien qu'il ignore, à l'instant même où il écrit sa lettre, tout ce » qui a été publié dans les deux derniers volumes des Annales^ c'est-à-dire la rédaction de son premier Mémoire de i8a6, etles discussions qui se sont élevées » à son sujet.

» C'est donc encore à M. Gergonne que, sans le savoir, j'avais affaire lorsque je » lui adressai, en 1826, mes réclamations sur les Mémoires de M. Plucker, récla- » mations auxquelles il ne jugea pas à propos de faire droit alors, par un motif qui )> peut maintenant se deviner. Voilà aussi le motif de sa sollicitude toute particu- » Hère envers M. Plucker et des graves reproches qui m'ont été adressés, dans les » Annales, au sujet de ce géomètre que je n'ai aucun intérêt personnel à attaquer. » Je ne me fusse jamais imaginé de telles choses, je l'avoue, avant les éclaircisseï> ments tardifs que M. Plucker vient aujourd'hui nous donner. Le moyen de sup- » poser qu'un homme du caractère de M. Gergonne se soit complu à mutiler le B travail d'un savant étranger pour lui faire honneur de théories que sciemment D il n'a pas le premier inventées, et en dépouiller ainsi, sans aucun risque, le vé- » ritable auteur I Cela explique aussi comment il se fait qu'à trois reprises difféi> rentes, le Bulletin des Sciences ait, sur le témoignage des Annales, attribué à D M. Plucker et à quelques autres géomètres fort étrangers à toutes ces discus- )> sions, diverses propositions qui se trouvent dans nos ouvrages, et notamment i) celles qui concernent les cercles sécants, tangents et osculateurs d'une section » conique, etc. (^). On s'explique enfin comment nos réclamations, soit dans le k> Bulletin des Sciences, soit dans les Annales de Mathématiques, ont pu parattre » d'injustes agressions, et causer du déplaisir à plusieurs estimables géomètres, D sans que nous ayons fait autre chose que de rappeler que tels ou tels principes, » tels ou tels théorèmes se trouvaient déjà établis ailleurs que dans les Annales. Il » semble que M. Gergonne ait eu à cœur de prouver à ses lecteurs et à ceux du D Bulletin, que les ouvrages qui renferment ces théorèmes sont presque totale- » ment ignorés des géomètres; si donc j'ai eu quelque droit de me plaindre de cet » oubli général de la part d'auteurs qui cultivent avec prédilection le même genre 1) de recherches que moi, je ne puis, en aucune manière, être comptable envers » eux du désagrément que ces plaintes leur ont occasionné; ils doivent unique- » ment s'en prendre à la personne qui leur a rendu un si mauvais ofQce, et em-

(*) « Nous prions, entre autres, le lecteur de rapprocher les énoncés du n*" 1^8, p. 186 du tome IV 9 du Bulletin des Sciences de 1828, avec les n"** 394, 404, 405, etc., du Traité des Propriétés » projectiles, n