II. Vitesse en un point quelconque, d. Tnbe de PItot

Le tube de Pitot, qui porte le nom de son inventeur, est le plus simple des hydromètres de lu seconde catégorie. C'est au moyen de cet instrument que Pitot découvrit le fait de la diminution des vitesses à partir de la surface, et qu il renversa ainsi la théorie, généralement admise à cette époque, d'après laquelle la vitesse des filets d'une même section dépendrait uniquement de la pression du liquide supérieur, c'est-à-dire qu'elle irait en croissant de la surface au fond.

L'instrument employé par l'inventeur élail un simple tube en verre recourbé à l'extrémité inférieure et ouvert aux deux bouts. Pour mesurer la vitesse v d'un filet , ou plutôt d'une veine liquide située à une profondeur H (fig. 65), le tube était plongé dans le courant, le bout recourbé tourné vers l'amont et le centre A de son orifice à hauteur de cette veine. Le liquide entrait alors dans le cylindre creux et s'y élevait d'une certaine quantité A au-dessus du niveau supérieurMN, en vertu de la pression duc à sa vitesse v. D'après Pitot cette hauteur h serait celle qui correspondrait à la relation :

c'est-à-dire qui serait capable de produire la vitesse v cherchée.

Mais, par suite des expériences citées au chapitre V, Dubuat fit remai^quer Tinexaetitude de l'hypothèse précédente. La hauteur h mesure bien la pression exercée sur Torifice inférieur, mais celle-ci n'est pas proportionnelle à la vitesse; nous avons vu que la pression moyenne/)

par unité de surface sur cet orifice dépasse la pression liydrostaiique d'une quantité proportionnelle au carré de la vitesse d, et à un coefficient C variable avec la forme et les dimensions de Tobstacle. Nous poserons donc les deux relations suivantes :

P^H+h et p = H + C':|l

qui donnent par soustraction :

formule dans laquelle C est constant pour un (ube de forme et de dimensions déterminées.

Dubuat fit ses premiers essais avec un tube en fer-blanc, de 0'",04 de diamètre extérieur, dont la branche inférieure avait environ O^jSo de longueur. Pour larer cet instrument, c'est-à-dire, pour délerminor la valeur de C qui lui est propre, il le fit mouvoir dans une eau tranquille en lui imprimant diverses vitesses uniformes connues; la moyenne des résultats obtenus donna pour C la valeur :

Dubuat modifia ensuite l'instrument de Taçon à le rendre plus sensible en isolant le filet central de la veine liquide; à cet effet il donna à la branche horizontale la forme d'un entonnoir, et en ferma l'orifice par une plaque percée d'un petit trou vers le centre A. I| arriva que celte modification eut pour effet de rendre plus forte la pression qui faisait monter l'eau dans le tube; c'est-à-dire que, à vitesge égale, la hauteur h devint plus grande et plus facile à observer. Par suite aussi la valeur du coefficient C Tut différente : elle atteignit en moyenne 1,50

ou^ . Ainsi la hauteur due à là vitesse v était représentée par

les -=- de l'élévation h du flotteur dans le tube vertical ; il en résulte la

relation ;

'=y/|f?fc =5,621/ /i

Le lube de Pilot fut encore modifié ultérieurement par d'autres hydrauliciens, tels que Miehelotti, Mallet, etc. Mais on ne parvint guère à lui donner une exactitude suffisante, surtout pour la mesure des petites vitesses. Le seul perfectionnement réel qui ait t-té apporté à cet hydromètre est dé à MM. Darcy et Baumgarten.

Tube Ile PItol |^crffecll«B«é par Barey et BaiiaicarleB (fig. 66).

L'instrument suivant, conçu par Darcy, a été modifié dans quelques détails par Baumgarten. Il se compose d'un tube en verre, à deux branches AB et CD, fixées sur une plaque graduée, et garnies à leur extrémité de deux tiges creuses en cuivre, Ba et Db, d'un très-petit diamètre.

Pendant l'opération les branches verticales se placent dans un plan parallèle au courant; Tune des deux tiges horizontales est dirigée, comme dans les tubes déjà cités, en sens opposé à la direction du liquide auquel elle présente normalement son orifice; la seconde tige 6D est ouverte aussi à son extrémité, mais celle-ci est destinée à recevoir un ajutage qne l'on oriente dans le courant de façon qu'il se présente une non-pression sur son entrée. L'ajutage indiqué à la fig. 66 est celui du modèle que possède l'école des ponts et chaussées; il est disposé horizontalement et son orifice b' est placé à la partie iuf^ieure.

Cherchons ta formule des vitesses pour cet instrument. Soient : h la hauteur représentative de la pression en a ; h' la hauteur représentative de la non-pression en b'. C et C" deux coefficients constants pour des appareils de même forme et de mêmes dimensions.

Nous durons :

D'où il résulte :

:C'^ et E^a^^

ig C -f C"

fc-f H C + C''

Le tarage de l'instrument se fera encore, soit en le plaçant dans un courant de vitesse connue, soit plus généralement en lui imprimant certaines vitesses dans une eau tranquille. Remarquons à ce sujet que, dans toutes les opérations analogues, il est indispensable de déterminer le coefficient constant au moyen d'une série d'observations faites sur des vitesses différentes; Ton donnera alors pour valeur à ce coefficient la moyenne des résultats trouvés. FI résulte, en effet, des expériences de Dubuat, que les valeurs de C, de C et de C", des formules précédentes ne sont pas constantes d'une manière absolue pour un même instrument, mais qu'elles varient plus ou moins suivant la grandeur de la vitesse que l'on emploie dans le tarage. Il est évident d'autre part

que le coefficient de tarage ^ ^^ doit varier suivant l'espèce d'aju-

tage dç la tige inférieure.

f. Balances hydrométrliiueit ; tachamètre de BrUnlngs.

Les balances ou romaines liydromélriques se composent généralement d'une plaque ou planchette exposée au choc normal du liquide, et maintenue dans sa position primitive au moyen d'un conlrcrpoids. Le tachomèlre de Brîinings appartient à celte catégorie d'hydromètres.

Cet instrument consiste en une plaque A (fig. 67) fixée à l'extrémité d'une tige AB qui se meut à frottement doux dans la douille C, perpendiculairement à la barre verticale OD. A l'extrémité B de la tige est fixé un cordon qui, au moyen d'une poulie de renvoi E, va s'attacher au petit bras d'une balance romaine GOF.

La pièce OD étant fixée verticalement, et l'instrument étant arrêté sur cette barre à la profondeur où l'on veut prendre la vitesse v, la plaque A reçoit du courant une pression normale dont la valeur, par unité de surface, est représentée par Ci?* et qui tend à pousser horizontalement la tige AB , par conséquent à faire descendre le bras OF. L'on fait mouvoir alors le poids P sur l'autre branche jusqu'à ce que le levier GOF, équilibré par lui-mêpae, soit horizontal, c'est-à-dire qu'il y ait équilibre entre ce contre-poids et la pression du liquide.

Supposons donc que le levier GF soit équilibré par lui-même, et

qu'où néglige Tacliou des frollemeuts qui oui cepeodaut uoe ioflueace variable suivant le fini et le iravail de Tinslrument. Soit a;, la distanjce du poids P à Taxe d'appui 0, et a la longueur constante OF. L'on aura Téqualion d'équilibre :

Px = aC»«

Les vitesses seraient donc proportionnelles à la racine carrée des valeurs correspondantes de x.

Pour déterminer C Ton ferait comme précédemment, en donnant à v des vilesses connues v\ v", r'", etc. ; Ton remplacerait, dans la relation (m), V par ces valeurs successives, et x par celles qui leur répondraient, et qu'il suffirait d'observer chaque fois sur la branche graduée GO. La moyenne des quantités C, C", C", etc., résultantes serait la valeur du coefficient constant propre à l'instrument employé.

g. Moulinet ilo Woltmanii (fig. 68).

La pièce principale du moulinet de Woltmann est un arbre AB, tournant sur des points fixes, et portant deux ou quatre petites ailes disposées obliquement à Taxe AB, comme celles des moulins à vent. Cet arbre engrène à volonté avec un système de roues dentées qui communiquent avec un compteur destiné à indiquer le nombre de tours IN que fait l'arbre en un temps connu T. Les roues sont montées sur un châssis CD, mobile autour d'une de ses extrémités G, et portant à l'autre bout un cordon DE. Dans lëtat ordinaire le châssis GD est maintenu à dislance de l'arbre par un ressort à boudin m ; pendant l'opération l'on lire de bas en haut le cordon DE ; le ressort cède à cette pression, et les roues viennent s'engrener dans l'hélice n de l'arbre tournant.

M. Baumgarten a modifié le moulinet de Woltmann en substituant aux bras à ailettes des ailes hélicoïdales se prolongeant jusqu'à l'arbre. Cette disposition a rendu l'instrument beaucoup plus sensible attendu qu'il fail plus de tours que le précédent en un temps donné sous l'action d*un même courant.

— ÎW -

C. EXAMEN CRITIQUE D£S FORMULES; APERÇU DBS THÉORIES ET EXPÉRIENCES DE D*AUBUISSON, BAUMGARTEN, CHASLES, LATER- RADE, COHEN, BOILEAU, ETC.

Plusieurs formules ont été proposées pour exprimer la vitesse au moyen du moulioet.

D'après D'Aubuisson, si ou néglige la faible résistance due au frottement de Tarbre sur ses supports, la vitesse d'un courant est proportionnelle à celle des ailettes, et celle-ci Test au nombre n de rota-

N tions décrites dans Tunité de temps, ou bien au quotient -=- , dans

lequel N exprime le nombre de tours correspondant au temps T. Désignant encore par C un coefficient constant pour un même moulinet, D'Aubuis$;on en conclut la relation :

»=Cn .^... (f)

Dans un mémoire publié en 1847 (*) M. Baumgarten a proposé la formule suivante :

r = Cn + l/CV + C" (5)

trouvée à Taide de considérations analytiques plus ou moins exactes, et dans laquelle C, G' et C sont encore des coefficients constants poui' un instrument déterminé.

M. Chasles, dans son cours de Técole polytechnique, a donné une théorie plus simple mais moins complète que la précédente, de laquelle il a déduit pour la relation des vitesses :

» = CfiH-C' (2)

Cette formule peut se déduire de celle de Baumgarten, ainsi que le prouve M. Bresse dans son traité d'hydraulique; d'après lui, la différence entre les relations (2) et (3) résulte : l"" de ce que M. Ghasles a supposé les actions et les réactions de l'eau concentrées au centre des ailettes ; c'est-à-dire qu'il a .admis que celles-ci fussent assez petites pour pouvoir être assimilées à un simple élément plan ; S^ de ce que l'équation (2) n'a pas de terme particulier pour représenter la résistance

(*) Annales des ponts et chaussées. Novembre-décembre 4947, p. 349.

exercée pur 1 eau sur les bras du mouUnei, résislance que M. Chastes a négligée.

Dans le mémoire précité. M. Baumgarten rapporte une série d'expériences qu'il a failes pour déterminer les valeurs des constantes C, C et C; les vitesses imprimées ayant varié de O'^Sl? à S'^SiG par seconde, c'est-é*dtre comprenant les vitesses que Ion peut rencontrer dans la pratique. Ces expériences apparlienneni à deux catégories distinctes : les unes ont été faites en promenant le moulinet en ligne droite dans une eau bien tranquille; les autres, en lui imprimant un mouvement circulaire, sauf à ramener le mouvement circulaire au mouvement rectiligne à l'aide d'un coefficient indiqué par Tauleur.

En 1858, M. Lalerradey ingénieur des ponts et chaussées, a publié (^) un mémoire dans lequel il a cherché à prouver, par la discussion des expériences de Baumgarten :

l"" Que la formule (1) conduit à des résultats moins satisfaisants que les deux autres ;

2"* Que les résultats fournis par les relations (2) et (3) présentent à peu près le même degré d'exactitude ;

3" Que la formule (2) doit être employée de préférence à celle de Baumgarten, puisque, à exactitude égale, elle offre lavantage d'une plus grande simplicité.

Ces conclusions ne peuvent être admises d'une manière absolue. Il résulte en effet d'expériences récentes faites par M. Cohen, dans le but de déterminer les coefficients C et C du moulinet hélicoïdal Baumgarten, que la formule (2) satisfait bien aux résultats de l'expérience, pour des vitesses ordinaires; mais que, lorsque celles-ci sont très-faible^, la formule de Chasles ne parvient pas à donner la forme réelle du lieu géométrique des vitesses exprimé par lequalion v = / (n).

En effet, soient (fig. 69) OX et OY deux axes de coordonnées rectangulaires ; supposons que les nombres n', n'\ n!", etc., de tours exécutés en une seconde par le moulinet et donnant des vitesses t?', v" y «'", etc., servent d'abscisses à la courbe t? = /" (n); les

(*) AnwUes des ponU et ehauseéeê, Jtavier-fé?rler 485S.

vitesses v\ v'\ v'^\eic., correspondaules servant d'ordonnées verticales.

Si Ton (construit le lieu géométrique représenté par Téquation de

Ghasies :

r = /'(n)=Cn + C'

Ton obtiendra une ligne droite AB qui vient couper Taxe des y en un point A tel que OA == G^ et dont Tinclinaison de la tangente sur Taxe des X est exprimée par C.

Or, la construction graphique des données de Texpérience a prouvé que, dans les basses vitesses, le lieu géométrique cesse d'être linéaire. Pour construire un point quelconque de la courbe, correspondant à une vitesse v\ il suffisait de porter celle vitesse connue sur un axe OY, et le nombre correspondant n' de tours de Tinslrument sur un axe perpendiculaire OX. La courbe ainsi obtenue par M. Cohen a présenté les caraclères suivants :

1^ Avec des vitesses répondant à plus de deux tours par seconde, le moulinet hélicoïdal de M. Baumgarten place tous les points du lieu géométrique sur une ligne droite, dont Tinclinaison est constante pour un même inslrument, quelles que soient les dispositions du système pendant l'opération.

2** En dessous de deux révolutions par seconde, la loi cesse d'èlre constante. Ainsi, enlre deux tours et un tour, le lieu géométrique est une courbe légèrement convexe du côté de Taxe des abscisses ; et il paraîtrait que cette partie curviligne devient concave vers cet axe, à

partir du point correspondant à n = — • .

l/équation (3) proposée par Baumgarten rend compte de ces résultats de Texpérience. En effet, si Ton prend sa différentielle après ravoir mise sous la forme :

» = Cn + v/ c'2„j ^ c'/

Ton obtient, pour valeur de la tangente aux divers points du lieu géométrique représenté par la relation (3) :

Faisant n =» 0, il vient daas réquatioo (3), et :

dn

Ainsi, ie lieu géométrique coupe Taxe des y, ou des vitesses, en un point A' situé à une distance de rorigîne égale à i/C\ terme qui représente en effet, dans la formule de Baumgarten, les résistances dues au frottement. L'on voit aussi que ce point A' appartient à une courbe,

/in

puisque celle-ci y a déjà une certaine inclinaison -r~ = C, sur Taxe

an

des X ou des tours.

Pour des valeurs de n croissant de zéro à Tinfini, v et -j- vont lou-

dn

jours en croissant ; la courbe a donc la forme indiquée en A'B'(fig. 66),

c'est-à-dire qu'elle reste convexe du côté de Taxe des x; sa tan-

gente en A' a pour inclinaison ~r—= C, et en B', censé à l'infini,

an

dv

-T- = C + C, obtenue en faisant n = a dans la relation (4).

I^ formule de Baumgarten n'indique pas de changement de courbure verslepointm, ainsi qu'il résulterait des expériences de M.Goheu; mais ce fait n'est peut-être qu'une anomalie que des expériences ultérieures viendront modifier. D'un autre côté, cette formule précise très-bien les circonstances dans lesquelles on pourra considérer la courbe comme sensiblem^t reetiligne. En effet, si l'on remarque que le terme C", correspondant au frottement, est toujours très-faible, et que Texpression CHi* prend une valeur d'autant plus grande que le nombre de tours est plus considérable. Ton en conclura qu'à partir

d'une certaine valeur de n, le terme ^r^j-j devient négligeable par

rapport à l'unité, dans la relation (4); la tangente -^ tend à atteindre

par degrés insensibles la valeur C + G', c'est-à-dire, devient asymptote à une droite B'A'' partant de l'infini et faisant avec l'axe des x un angle B'A"X' = C + C. Nous avons vu par les expériences de M. Cohen qu'en se servant du moulinet hélicoïdal de Baumgarten qui

a 0"',02 de hauteur et 0™,08 de diamètre, la forme de la courbe peut être confondue avec celle de la ligue droite, pour des valeurs de n supérieures à 2, et même à 1 ,75. Dans les expériences faites avec des vitesses inférieures à 0^30 par seconde, le moulinet a marché d'une façon irrégulière et par saccades, tantôt s arrêtant complètement, tantôt marchant très-vite.

L'on peut déduire de ce qui précède que les conclusions de M. Laterrade sont trop absolues; qu'en outre, la formule (3) de Baumgarten répond seule aux phénomènes de la pratique pour certaines valeurs de la vitesse.

L'erreur de M. Laterrade est due, eu partie, à ce que les expériences qu'il a discutées ne se sont pas étendues à des vitesses assez faibles, et en partie, à ce qu'elles ont été faites par Baumgarten à 1 aide du moulinet de Woltmann, moins sensible que celui qu'a employé M. Cohen ; car la théorie et l'expérience tendent à prouver que la courbure est d'autant plus sensible que l'instrumeut l'est plus luimême.

il est facile d'établir la supériorité du moulinet hélicoïdal de O'^yOS sur celui de Woltmann parles formuler mêmes qui appartiennent à ces instruments. L'équation du moulinet de Woltmann (1) est la suivante :

V = 0,3595 n + 1/ 0,0007 i n^-j- 0,0018 Celle du moulinet hélicoïdal de 0"',08 :

Les coefficients C et C'^ sont donc beaucoup plus forts dans la première formule, tandis que C" y est plus petit.

Or, d'après les relations (3) et (4), les augmentations de C et de €' ont pour résultat de diminuer le nombre de tours correspondant à une vitesse donnée, fait qui n'est que faiblement combattu par la diminution de C". Comme la sensibilité d'un moulinet croit avec le nombre de tours correspondant à uue vitesse donnée, il faut conclure de ce qui précède que le moulinet Baumgarten de 0'",08 doit être préféré au moulinet de Woltmann ordinaire.

L'on doit à M. le capitaine d'artillerie Boileau, auteur d'un Traité

(1) Annales des ponts et chaussées, V série, t. XIV.

sur la mesure des eaux courantes, un inslruinent plus sensible encore que celui de Baumgarten^ ainsi, pour une vitesse d'environ O'^ySOpar seconde, le moulinet de M. Boîleau donne 9^50, tandis que le moulinet hélicoïdal de 0",08 n'en fait que 7,79.

D. TARAGE DU MOULINET.

Quelques précautions sont nécessaires dans les opérations du tarage; Ton peut généralement adopter la marche suivante :

1*» Placer le moulinet à Tavant de la barque, en saillie d'environ 1 mètre, et le plonger de 0",60 à O^'jSO dans Teau afin d'éviter l'action de la barque sur le liquide à proximité de l'instrument.

S"" Disposer le système de traction, et manœuvrer le bateau de ma-, nière que la direction de celui-ci reste bien rectiligne et soustraite à l'influence du vent. Nous citerons, comme exemple, les dispositions employées par M. Cohen dans les expériences mentionnées plus haut.

Le mouvement était donné, au début, par deux hommes marchant sur les rives, et qui balaient le bateau en le tirant chacun par deux cordes attachées l'une à l'avant, l'autre à l'arrière. L'un de ces hommes, muni d'un compteur, donnait le pas à l'autre de façon à avoir la même vitesse.

L'on reconnut bientôt l'insuffisance de ce dispositif pour lutter contre les effets du vent. Lorsque celui-ci prenait le bateau par le travers il le faisait dévier de la ligne droite malgré l'action directrice des quatre cordes; parfois aussi, lorsqu'il enfilait le canal, la vitesse du bateau était sensiblement accélérée ou retardée.

Pour éviter ces inconvénients, l'on ajouta aux quatre cordes deux longues perches, fixées chacune par un bout aux flancs du batelet, et poussées à l'autre bout par les haleurs; les cordes étaient réunies deux à deux à l'extrémité libre des perches.

3** Coupler chaque expérience, c'est-à-dire faire parcourir au bateau le même chemin deux fois pour une vitesse déterminée, mais dans des directions opposées; avoir bien soin de suivre chaque fois la même piste, et de maintenir la vitesse au5isi constante que possible. Admettre alors qu'à la demi-somme des vitesses par seconde déduites de ces deux observations correspond la demi-somme des nombres moyens de tours exécutés pendant le même temps.

Ë. JAUGEAGE THÉORIQUE ET PRATIQUE MIS GOUIfô D EAU-

Le jaugeage d'un cours d'eau est ropération par laquelle ou déterniine le volume liquide qu'il est susceptible de fournir en une seconde, autrement dit, sa dépense ; celle-cS a été représentée antérieurement par Q, et' sa valeur a été exprimée par la relation :

Q=FûU

Pour connaître U, la vitesse moyenne, Ton aura recours à Tun des moyens suivants.

l^" L'observation par les hydromètres, en y joignant l'emploi d'une »de5 formules indiquées au ehap. IV et qui donnent U en fonction des viiesseis en d'autres points.

Lorsqu'on n'a pas besoin d'une grande précision, un procédé trèssimple consiste à mesurer, au moyen de flotteurs, la vitesse V maxima à la surface du courant, et à en déduire approximativement la vitesse moyenne U par la formule U == 0,80 V.

2'' Les formules du chap. IV qui donnent directement U en fonction de quantités connues; telle est, par exemple, la formule :

Hi ou — i=^^,U2

Mais il est préférable généralement d'employer les moyens d'observation directe, à cause de l'incertitude qui subsiste encore sur la valeur du coefficient 6i.

Lorsque le cours d'eau est de faible importance, on peut employer un autre procédé pour la détermination de Q. Il consiste à faire passer tout le débit sur un déversoir ou sous une vanne, et à la rigueur sur un barrage provisoire en planches. L'on en déduit la dépense par les formules correspondantes données au chap. III.