CL -h* 2 7T

Nous terminerons ces considérations par un beau théorème dû à Parseval. Si l’on a

en faisant le produit de ces deux formules et en intégrant, depuis t = a jusqu’à f = a 4- 2 tt, on trouve

(A)— c> (cV“ l )>]/ lV / V — a 0 û 0 H-rt|6|4- a 2 &2 + ....

27r Ju.

Cette formule permet, comme on le voit, de trouver la valeur de la série dont le terme général est a n û„, quand on

connaît les valeurs des séries (supposées convergentes, lorsque le module de x est i), dont les termes généraux sont a n x n et b n x n \ et c’est en cela que consiste le théorème de Parseval (*).

Évaluation approchée de P ml et A", lorsque m et n

sont très-grands.

Lorsque l’on veut évaluer l’un des nombres P m = i.2...w, C^ ou À" , on se trouve souvent arrêté par la longueur des calculs provenant de ce que m et n sont de grands nombres \ Stirling a fait connaître une formule approchée, bien suffisante dans la plupart des cas, et qui ramène le calcul de P m ,

C^, à celui de l’expression très-simple y/27r«e“", qui est à peu près égale à i . 2 . 3 . . .n. La formule de Stirling, dont la démonstration a été rendue rigoureuse dans' ces derniers temps par Cauchy, a été l’objet de travaux remarquables, parmi lesquels nous citerons ceux deLaplace, de Poisson, de Cauchy, de MM. Serret, Liouville, Binet, etc. Ces géomètres sont, en général, partis de la formule

x n e~ x dx.

La méthode que nous allons indiquer nous a paru à la fois la plus simple et la plus rigoureuse } elle a, du reste, l’avantage d’être une application immédiate des principes,

(*) On pourrait aussi énoncer le théorème de Parseval en disant que si les séries, dont les termes généraux sont a n x n et b n a sont convergentes le long d’un cercle de rayon R et à l’intérieur de ce cercle, et ont pour valeurs respectives p(.r) et ^(-r), la série dont le terme général est a n b n a pour

valeur

le résidu étant pris à l’intérieur du cercle en ques

tion.