CHAPITRE XI

ÉLEGTRO DYNAMIQUE

358. Définitions. — IS électrodynamique comprend l'ensemble des actions des courants sur les courants, actions découvertes par Ampère en 1821.

C'est Ampère qui a formulé toutes les lois qualitatives et quantitatives de ces actions.

Dans Tétat actuel de nos connaissances, on peut, au point de vue qualitatif, réunir toutes les lois relatives aux actions des courants en une seule, préciser le sens de l'action des circuits entre eux en considérant les champs galvaniques (144) produits par chacun des circuits considérés, et formuler celte loi ainsi :

Lea actions mécaniques exercées par deux circuits traversés par des courants est telle que le flux résultant deviefine maximum^ ainsi que l'énergie potentielle y cette position étant celle qui correspond à Véquilibre stable des circuits considérés.

Cas particuliers, — Deux courants parallèles et de même sens s'attirent et tendent à coïncider pour superposer les champs galvaniques qu*ils produisent.

Deux courants parallèles et de sens contraires se repoussent, puisque, produisant des champs galvaniques opposés, le champ produit par chacun d'eux est d'autant plus grand que l'autre est plus éloigné.

Deux courants angulaires tendent à tourner et à faire passer les courants qui les traversent dans le même sens, puisque c'est la position qui tend à superposer les courants et les flux.

ÉLEGTRODYNAMIQUE. 357

Toutes ces actions sont mises expérimentalement en évidence

à Vaidc d'un appareil qui porte le nom de table (FAmpèrCy et

qaî permet de réaliser facilement tous les cas. La règle que

nous venons de formuler permet de prévoir, sans expérience

préalable, toutes les actions exercées par les circuits entre eux.

Ces actions sont de deux sortes :

1** Les deux circuits tendent vers une portion d'équilibre, les actions sont directrices ;

2''Les deux circuits tendent à se déplacer indéfiniment, Tun par rapport à l'autre, et produisent des rotations électrodynamiques.

Nous n'étudierons ici que les valeurs des forces exercées entre deux circuits différents ou les différentes parties d'un même circuit. Les mouvements qui se produisent mettent de Ténergie en jeu, et ne pourront être étudiés avec fruit que lorsque nous aurons parlé de V induction, dont les rotations électrodynamiques ne sont que des cas particuliers.

L'étude des solénoïdes et des champs galvaniques produits par les courants fera l'objet du chapitre suivant.

359. Action de deux éléments de courant. — Ampère a cherché à déduire de l'expérience la loi des actions exercées par deux courants entre eux en la considérant comme la résultante des actions dues à chacun des éléments dans lesquels on peut décomposer le courant. Le problème considéré dans toute sa généralité ne répond qu'à une conception mathématique, mais la méthode reste légitime tant qu'on se propose de déterminer seulement l'action résultante du circuit tout entier, la loi élémentaire étant soumise à la seule condition que l'intégrale relative à un circuit formé donne, dans tous les cas, un résultat conforme à l'expérience.

Il peut d'ailleurs y avoir plusieurs lois élémentaires satisfaisant à cette condition fondamentale (*). Les principes et faits empruntés à l'expérience sont les suivants :

1 ** Égalité de faction et de la réaction. — Pas de démonstration fondamentale. Il entraîne comme conséquence que la force exercée entre les deux éléments est dirigée suivant la

(^1 Mascart et JouBBRT, Leçons sur Vélectricilé et le magnétisme, t. I, p. S02.

droite qui les joint, proportionnelle à leurs longueurs respectives, à rintensité du courant qui traverse chacun d'eux, et à une fonction de la distance des éléments et de leurs directions relatives.

2° L'action change de sens quand on change le sens du courant dans un des circuits ; elle reste de même sens lorsque le sejis change à la fois dans les deux circuits. Fait expérimental résultant aussi de la formule dans laquelle entre le produit des intensités.

3° Principe de symétrie. — Il en résulte que Taction de deux éléments a et i, dont Tun est perpendiculaire à Tautre en son milieu, est nulle.

Si Ton considère les deux éléments a & et leurs symétriques (fig. \ 66) a et i' par rapport à un plan P parallèle k a et à la

droite joignant a b^ on voit que les deux forces doivent être égales, mais a* h' n'est pas autre chose que a h dont on a changé le sens du courant dans h. Ces deux forces ne peuvent donc être égales que si elles sont nulles. Il Y' en est de même pour le cas de

, , deux conducteurs perpendiculai-

'^ ^ synâétrie"^*^^ ^ '^^^ ^* ^^"^ '® même plan . L'actioD

est également nulle.

4° Principe des courants sinueux. — Deux conducteurs aboutissant aux mêmes extrémités, Tun rcctiligne et Tautre sinueux, mais ne s'écartant que très peu du courant rectiligne et traversés par le même courant, mais en sens contraires, ont une action nulle sur un aimant quelconque. Ils forment ce qu on appelle des coi\ducteurs adynamiques (365), le flux de force extérieur résultant étant nul.

Loi élémentaire d'Ampère. — Considérons deux éléments a et b dans une position quelconque (fig. 167), soient d/ et d/' leurs longueurs;

I i' les intensités des courants qui les traversent;

6 0' les angles de leurs direc-tions avec la droite qui joint

leurs milieux;

ÉLEGTRODYNAMIQUE.

Cl)

la longueur de cette droite ;

Tangle dièdre des deux plans définis par la droite qui joint les éléments et ces deux éléments. Prenons pour plan de figure celui qui passe par l'élément de

Fig. 167. — Action de deux éléments de courant.

la droite 0 0', et remplaçons chacun de ces éléments par ses trois projections sur trois axes rectangulaires. Les projections de / sont :

a =d/cose; a"=d/sin6.

Les projections de /' sont :

i'=d/'cos6; i''=d/'sin6'cosù); i*'=d/'cosO'sin(i).

De ces six actions, quatre sont nulles d'après le principe de symétrie. Les seules actions positives sont celle de a! sur V et celle de a" sur h" .

a' sur V s'exerce suivant des éléments dirigés, suivant une même droite et peut se représenter par

iï'd/d/'cosecose'.fi(rf).

a sur i" s'exerce entre deux éléments parallèles entre eux et perpendiculaires à la droite qui joint leur milieu et peut se représenter par

iV d/ d/' sin 6 sin 6' cos ù).f,(rf). L'action totale a donc pour valeur

dF=iïd/d/'(cosecosô%(rf)-i-sinôsinO'cosù).f2(rf). Dans cette expression, fi [d) et f^ [d) sont des fonctions tou-

jours positives de la distance d des éléments, ainsi que des intensités i et i des deux courants. Pour les déterminer, Ampère a considéré Taction de trois courants semblables (^). La démonstration d'Ampère réduite à ses points essentiels a été reproduite dans les Leçons sur rélectricité et le magnétisme, de MM. Mascart et Joubort (l. I, pages 512-521). Lamé, Blanchet et M. Bertrand (*) en ont donné d'autres démonstrations rigoureuses et élégantes, mais dont les calculs sont longs et compliqués. Enfin, M. H. Pellat en 1884 a donné une démonstration qui ne s'appuie que sur des expériences susceptibles d'une grande précision et n'exige, pour être comprise, que les notions les plus élémentaires du calcul des dérivées. Nous renvoyons le lecteur à la note de M. Pellat (^), nous contentant de reproduire la formule finale résultant des démonstrations adoptées par les différents auteurs.

,„-- iVd/d/' / . ^ . ^r ^ ^ ^A

d^r^: — -75 — Ismô sinO cosw — cosô cosO'j.

En appelant 9 l'angle des deux éléments dans l'espace, la formule devient

d^F — — ^5 — (COS9 — -cos6 cosO 1.

Cas particuliers. — Lorsque les courants élémentaires sonl parallèles et perpendiculaires à la droite qui les joint, la force élémentaire a pour expression

iVd/d/'

fa

Lorsque les éléments de courants sont dans le prolongement Tun et l'autre, d étant la distance de leurs milieux,

,2„ i ii'iM d/'

\}) Mruïoin.' sur la Ihroric mathématique do? phénomènes électrodynamiqucs, uniqupmont déduite de l'expérience, publié dans \q% Mémoires de t' Académie dft scicnnes, t. VI, p. 175 .i <'i88, daté de 1823, mais paru en 1827. Réimprimé dani: la CoUerlion de mémoires relatifs à la physique ^ publiés par la Société française de physique, t. III, p. 1-193, 1887.

(-) Journal de physique, 1" série, l. III, p. 207 et 335, 1874.

C) Journal de physique, 2*» série, t. IH, p. 117-127, 1884.

ÉLECTRODYNAMIQUE. 361

La force est attractive pour des courants de même sens, répulsive pour des courants de sens contraires.

360. TTnité électrodynamique d'intensité de courant. — Considérons deux courants rectilignes parallèles de même sens, et intégrons l'action exercée par un conducteur de longueur / sur un conducteur indéfini placé à une distance d

.Il/

En faisant y = i ; d= i ; /= i et i=i\ on a /= i, c'est la définition de V unité électrodynamique d'intensité donnée par Weber.

In courant a une intensité égale à i unité électrodynamique longue, traversant un fil rectiligne placé parallèlement à un setond fil et à une distance égale à sa propre longueur et traversé far un courant de même intensité^ il l'attire avec Ufie force égale à I unité (i dyne).

Un système basé sur cette définition pourrait constituer le Sf/.stème électrodynamique. Il a été proposé, mais n'est pas employé en pratique. Il est peu probable, a priori, que Tunité d'intensité de courant ainsi définie dans le système C.G.S. par les actions électrodynamiques ait la même grandeur que Tunité C.G.S. d'intensité telle que nous l'avons définie (153) parles actions électromagnétiques.

Nous devons donc tout d'abord cherclicr à déterminer le rapport de ces deux unités et, si ce rapport est différent de i, transformer la formule d'Ampère on lui appliquant un coefficient numérique qui rende la formule exacte lorsqu'on y introduit les intensités exprimées en unités électromagnétiques C.G.S. Nous arriverons à cette transformation en considérant un cas particulier pour lequel le calcul est facilement applicable, celui de l'action mutuelle de deux circuits plans placés à une très grande distance l'un de l'autre.

361. Action mutuelle de deux circuits fermés plans placés à une grande distance par rapport & leurs dimensions. — Les doux circuits, supposés carrés (fig. 168) pour simplifier le problème, ont respectivement

pour côtés a et i et sont traversés par des courants d'intensité i et i* (en unités électro dynamiques).

ix'

iéL...

tù...

lY

Fig. 168. — Action de deux circuits placés à une grande distance.

Le plan du circuit b est perpendiculaire au plan du circuits et passe par son centre.

!•' cas. — Le circuit a est fixe, et le circuit b mobile autour de l'axe YY '.

En appliquant la formule élémentaire d'Ampère (360), on trouve que l'action du circuit a de surface S sur le circuit h de surface S' se réduit à un couple dont le moment W a pour valeur

cP

Unité électrodynamique (V intensité. — En faisant S = S'=i et i = i', on a pour valeur numérique du couple

et l=:l.

Un courant a une intensité égale à i unité électrodynamique d'intensité lorsque, traversant deux circuits de surface égale à I, disposés comme ci-dessus, il exerce sur le circuit mobile un couple dont le moment est mimériquement égal à l'unité divisée par le cube de la distance des centres des deux circuits.

2* cas. — Si le circuit a est mobile autour de Taxe X X' et le circuit b fixe, le couple a pour expression

ssTi; id'

fiLEGTRODYNAMIQUE. 363

Si la disposition des deux circuits est appliquée à un appaîil de mesure, on a intérêt à rendre le circuit b mobile au lieu a circuit a^ puisque, toutes choses égales d'ailleurs, le coule est deux fois plus grand et l'appareil deux fois plus senible.

362. liapport de l'unité électrodynamique à Tunlté électromagnétique d'Intensité de courant. — Nous venons d'établir que le couple exercé par un circuit de surface S sur un circuit de surface S' placé à la distance d a pour valeur, en appelant i et l' les intensités qui traversent respectivement les circuits S et S',

Nous savons, d'autre part (196), qu'un courant de surface S exerce sur un aimant de moment 311 placé à une distance d un couple dont la valeur est, en appelant I l'intensité du courant qui le traverse, intensité exprimée en unités électromagnétiques C.G. S.,

D'après le principe des aimants et des courants équivalents, cet aimant de moment 311 peut être remplacé par un courant satisfaisant à la relation

3n=ST.

Le couple exercé par les deux courants S et S' s'écrit alors

£& égalant les couples, les surfaces et les intensités des coufinis qui traversent les circuits, nous aurons

Celle relation montre que pour avoir la valeur du couple il hul multiplier le résultat par 1 si les intensités sont exprimées *û unilés électromagnétiques C.G.S.

Limité électromagnétique est égale à l'unité électrodynamique multipliée par sj'i.

La formule d'Ampère donnerait donc des valeurs 2 fois trop petites si les intensités étaient exprimées en unités électromagnétiques C.G.S au lieu de Tètre en unités électrodynamiques. II faut donc multiplier la formule d'Ampère par le Acteur 2 pour que les intensités exprimées en unités électromagnétiques C.G.S. donnent la valeur des forces en dynes. On se trouve ainsi conduit à transformer la formule d\\mpère.

363. Transformation de la formule d'Ampère. — Li formule élémentaire d*Ampère devient alors, lorsqu'on substitue aux intensités exprimées en unités électrodynamiques les intensités exprimées en unités électromagnétiques C.G.S.,

dF = — -15 — (2COS9 — 3cosôcosô)

ou, en appelant (o Tangle des deux conducteurs :

dF= — -7j — ( smôsine cosw — cosôcosô 1

les longueurs étant exprimées en centimètres, les forces le sont en dynes.

Cas particuliers,' — Pour deux courants parallèles élémefttaires (359) la formule devient

Pour deux courants dans le prolongement Tun de Tautrc,

ird/d/'

dF-=

364. Actions électrodynamiques de courants de formes géométriques simples. — Courant indéfini et courant fini parallèles. La force exercée par un courant indéfini sur un courant parallèle de longueur finie /, placé à une dislance rf, est égale à

ÉLEGTRODYNAMIQUE. 365

(F en dynes, / et d en centimètres, I et V en unités électromagnétiques C.G.S.)

Deux circuits circulaires plans parallèles. — Deux cercles de rayon r placés à une distance d traversés par des courants I et r, et perpendiculaires à la droite qui joint leurs centres, exercent entre eux une force attractive ou répulsive

a Si les deux cercles renferment respectivement N etK' spires,

Deux circuits de forme quelconque, — D*une manière générale, lorsque deux circuits de forme quelconque dont l'un est fixe et Tautre mobile sont maintenus en position par une action ^gale et opposée à Faction électrodynamique, cette action se traduit par une force ou un couple proportionnel au ^rorfwiV des intensités qui traversent les circuits, et à une constante K qui ne dépend que des formes des circuits et de leurs positions relatives.

Les électrodynamomètres et les puissance-mètres ou ivattmè- ^res sont fondés sur ce principe.

865. Conducteurs asiatiques et adynamiques. — Un conducteur est astatique lorsqu'un champ magnétique uniforme n'exerce sur lui aucune action directrice.

On obtient ce résultat en réalisant deux circuits fermés d'égale surface. La ligure 169 montre quelques formes de conducteurs astatiques. Chacun de ces circuits produit deux flux de force égaux et de signe contraire pour lesquels la résultante . de Faction du champ uniforme dans lesquels on les place est nulle.

Un conducteur est adi/namique lorsqu'il n'exerce aucune action sur des aimants ou des courants et n'est pas influencé par eux. Un fil roulé en double dans lequel le courant va dans un sens et revient dans l'autre en suivant sensiblement le même chemin constitue un conducteur adynamique.

Les bobines de résistance roulées en double, les conducteurs

ENERGIE ËLECTRIOUE.

doubles parallèles ou en torsade réalisent des conducteurs adynamiques. Un conducteur adynamique est toujours astatique, mais un conducteur astaLique n'est pas nécessairement adynamique. Dans toutes les mesures de précision, il importe de faire usage de conducteurs adynamiques pour relier entre eux

Kl

lî

Kig, IGO. — Exemples de conducteurs astatiques.

les ditTérenls appareils, afin d'éviter les influences éleclrodynamiqucs qui ne sont pas toujours négligeables lorsque le codrant ne suit pas sensiblement le même chemin à l'aller et an retour.

36d. Rotations électromasnétlqaes et électrodynamiques. — Un courant traversant un conducteur flexible exerce sur lui-même des forces qui tendent à le déformer; un conducteur mobile placé dans un champ magnétique subit des déplacements et peuL mc^me prendre un mouvement de rotation continu. Dans tous ces phénomènes, il y a de l'énergie mise eo jeu, sous forme de travail mécanique effectué et d'énergie électrique dépensée.

L'étude complète de ces phénomènes sera donc mieux k u place lorsque nous aurons parlé de Vindiiction, qui tient précisément compte de cette inlerventîon d'énergie.