INÉGALITÉS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES DUES A L’ELLIPTICITÉ DU SOLEIL
183. Nous prendrons pour unité la masse M du Soleil; en nous reportant à la formule (9) du n° 103, nous remplacerons a par la distance r, au centre de gravité O de cet astre, d’une planète dont la masse » sera censée concentrée en son centre de gravité; de plus, nous supprimerons l'indice r du rayon moyen, de la surface ; enfin nous poserons
Nous aurons ainsi
Le premier terme de cette valeur est le potentiel de l'attraction du Soleil, considéré comme point matériel, sur la planète 72, attraction qui donne lieu au mouvement elliptique de cette planète. Le second terme
(3) == Cu)
(1) Nous rappellerons que E représente l’aplatissement du Soleil, » le rapport à l'équateur de la force centrifuge solaire à la pesanteur. & le cosinus de l'angle 9 que forme 0» avec l'axe de rolation Oz du Soleil.
dû à l’ellipticité du Soleil, doit être considéré comme une fonction perturbatrice.
Soient
ON l'intersection du plan de l'orbite actuelle avec celui de x0y de [ ;
l'équateur solaire ;
y l’angle formé par ces deux plans, dont nous ne conserverons que la seconde puissance;
RE ne
OI l’origine des longitudes elliptiques ;
Ÿ la longitude du nœud N mesurée à partir de Ox;
e celle de la planète.
Un triangle sphérique rectangle donnant
cosô—sinysin(y — 41), l'expression (3) devient k À?
(4) R= + — sin (= v)]
Nous avons dans le mouvement elliptique, en négligeant le cube de l’excentricité e, en nous reportant à la formule (28°) du n° 15,
- —i1—ecos(nt+e—w) — —[cos2(nt+e—w) —1], (42 2
d’où
7° —3 : 7 (2) —=1+3ecos(nt +e—w) + $e[3 cos2(nt + —w) +1]. a ù ;
Il suit de là que l’on a, en négligeant eÿ°? et remplaçant y par nt + e (n°15,
FANS 3e?
Na me CORRE W)== CRM 2
[3 cos2 (nt +e—w) +1]
Lie & 1
| — Êfi— cos2(nt+e—%)]},
INÉGALITÉS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES, DUES A L'ELLIPTICITÉ DU SOLEIL. 439
d’où d 2 D? , DRM + ecos(ut + — 0) + —[3cos2(nt+e—w) +1] — Êfi—cos2(nt+e—y)] :
Ê— k = | cos(nt+e—u) + e[3cos2(nt+e—w)+i]{, 6 dR Fos a (6) Le — k=e[sin(nt+e—w) + 3esin2(né+e— ):
dR ASIE 2e UPS FE noble nt ets) SIN2(né+Ee—w) + y sin2(nt+e—14)], dR LUN ; 7. — k=3vli- COS EE )].
Comme nous n'avons en vue que de déterminer les inégalités séculaires de l'orbite, nous ferons abstraction des termes périodiques dans ces expressions, qui se réduisent, par suite, aux suivantes :
dR er vÈ a .
da GS 2 dR A?
— (=. €, de di 6') NR— K du # dR ete QE dR A?
dy æ&!
Si nous nous reportons aux formules (13) du n° 33, en y remplaçant d e par y et remarquant que 7 —0, nous voyons d’abord que 4, e, 7
n’éprouveront pas d’inégalités séculaires. Nous aurons ensuite, au degré d’approximation convenu,
cu A e?
= nk : I dt a 2 de RE e \ Te - nk — (2 Le? 3% ) a a 2
du ne e?
= = je (: = h
d’où ne e?\ MOoX— nk — ( I ) (5e | ai 2 = SRE ne. £ Lie (W) j. = nk (2 - + e?- 3x )e à A? e?
| 0x == — nk— (: }e a” 2 184. Application à Mercure. — Les inégalités précédentes seront
d'autant plus sensibles que la planète sera plus rapprochée du Soleil; si donc elles peuvent acquérir une valeur appréciable, c’est surtout dans le mouvement elliptique de Saturne.
Nous avons vu (n° 102) que la plus grande valeur que puisse atteindre E est 0 et correspond au cas où le Soleil serait homogène ; d’où il suit que # est au plus égal à 0. Nous admettrons cette valeur pour obtenir des limites supérieures des inégalités dont il s’agit. Si v désigne la vitesse angulaire de rotation du Soleil, nous aurons
Av? A5 v?
Co — ; M M A2
En désignant par a’ le demi-grand axe de l'orbite terrestre et par la vitesse angulaire moyenne de la Terre dans son mouvement autour du Soleil, nous avons (n° 3)
