Interférence de deux mouvements de même période

- Nous considérerons en particulier le cas simple de deux mou- [iients vibratoires de même période, arrivant simultanément au oiue point suivant la même direction.

Nous avons dit (§18) que la vitesse d'un mouvement pério- [ue simple est donnée par la formule :

27ra . - t V = — sm in -

étant la vitesse à l'époque t, r la période du mouvement et a tmplitude maxima.

l^ur avoir une idée nette et générale des valeurs successives ! la vitesse, il suffit de construire comme nous l'avons dit (§ 18), le courbe dont les abscisses seront prises proportionnelles à fet s ordonnées proportionnelles aux valeurs correspondantes de v. Il outre, puisque, dans tout mouvement périodique, la vitesse i alternativement dirigée dans un sens puis en sens inverse, on [ résentera ces changements de direction de la vitesse par des ilonnées comptées au-dessus ou au-dessous de l'axe de.s abscisses. En appliquant ces conventions, ou trouve que les variations de vitesse pendant le temps îsont représentées par la courbe de la

Fig. ia3.— Courbe représentative delà vitesse d'im mouvement vibratoire simple.

;ure 123. On voit tout d'abord qu'aux époques représentées par 3 points 0,B,D... de la ligne des abscisses la vitesse est nulle

31t? ACOUSTIQUE.

Oes époques sont celles où le corps vibrant se trouve dans les pos lions les plus éloignées de sa position d'équilibre. A partir d l'époque 0, les ordonnées de la courbe augmentent; la vitesf augmente donc pendant le temps représenté par 0 A, elle est maxiii au temps A, puis diminue progressivement en repassant, en sei inverse, par les valeurs successives qu'elle a acquises de 0 en et s'annule en B, Pendant le temps OB,Ie corps est donc allé ( l'une de ses positions extrêmes à l'autre position extrême ; il effectué une. demi-vibràtion. A partir de l'époque B, les vitess changent désigne, ce qui veut dire que le corps va repasser, i sens inverse, par les positions successives qu'il a occupées pei dant le temps OB ; les ordonnées de la branche de courbe Bc ayant mêmes valeurs que celles de la branche OaB, la vites repassera, elle aussi, parles mêmes valeurs, mais elle sera dirig en sens inverse.

A partir du temps D, la vitesse reprend successivement tout les valeurs qu'elle a eues de 0 en B, puis de B en D et ainsi suite, c'est-à-dire que la courbe représentative des vitesses se colj pose d'une série de branches identiques à OaB et à BcD, le temi; OD étant égal à la période du mouvement vibratoire considérée

On tire immédiatement de là les deux conclusions suivante que l'on peut aussi déduire directement de la formule de la vitee donnée plus haut :

1° Les vitesses H/^, J;, hl... du mouvement vibratoire, conr dérées à des époques séparées entre elles par un intervalle • temps HJ, JL. , . égal à la période du mouvement, sont égales-; de môme signe ;

2° Les vitesses H/i et li, ïi et Jj, J; et Kk... du mouvemc vibratoire, considérées à deux époques séparées entre elles parr intervalle de temps HI, IJ, JK. . . égal à la moitié de la périci du mouvement considéré, sont égales et de signe contraire.

Soit maintenant un mouvement vibratoire qui se produit en: (fig. 124) et se propage dans un milieu indéfini.

Chacune des vitesses dont le point vibrant 0 est successivemall animé, se propagera dans toutes les directions et en particul'li suivant OL. Comme ces vitesses partent du point 0 les ui après les autres^ elles n'atteindront que successivement un mi point C de l'espace, lequel point sera dès lors animé successi\

INTERl^ÉRENCES.

neiit de toutes les vitesses qu'a possédées le corps vibrant O.

\insi, au moment où une vitesse maxima atteindra le point 0, , "vitesse maxima de signe contraire, partie de 0 après la précéoDte, ne sera arrivée qu'en B ; toutes les vitesses intermédiaires utre'ces deux vitesses maxima seront, par suite, arrivées en des ,oiiits échelonnés entre B et 0. Si donc nous voulons représenter nir une courbe les vitesses dont sont animés, à l'instant que nous ousidérons, les divers points compris entre B et 0, il nous suffira i'élever par ces divers points des ordonnées égales ou proportioniclles aux ordonnées de la figure 123 comprises entre les valeurs iiaxima Ce et Aa de la vitesse ; nous obtiendrons ainsi une branche le courbe cjb (fig. 124). Si nous représentons de même la vitesse lûQt sont animés au môme instant tous les points entre 0 et G, lous aurons la courbe sinueuse représentée sur la figure 124.

Fig. 124. — Propagation d'un mouvement vibratoire simple.

I II est dès lors évident que, si nous faisons déplacer cette courbe Li sinueuse, dont il vient d'être question, avec une vitesse uniforme il égale à la vitesse de propagation du son, les ordonnées successives D d'un même point 0 représenteront les vitesses successives dont l ce point est animé. La position de cette courbe sinueuse, à un moment quelconque, nous fournira e;i outre, par ses ordonnées, L l'état vibratoire de tous les points de la ligne indéfinie OL à l'instant 3' considéré.

Il importe de remarquer que, ainsi que nous l'avons dit plut haut, au moment où une vitesse maxima s'est propagée en G k j vitesse maxima de signe contraire est arrivée seulement en B. Or' d'après la deuxième conclusion établie ci-dessus, cette dernière vitesse, n'a existé en 0 et n'a commencé à se propager qu'un

temps ^ après la première; elle n'arrivera donc en G que ^ aprèf celle-ci. La longueur BO est donc la distance à laquelle le mouvement vibratoire se propage pendant le temps ~, c'est-à-dire la distance d'une demi-longueur d'onde.

On démontrerait de même que la longueur AG, qui sépare deux points dont les vitesses sont, à l'instant considéré, maxima et de même signe, représente la distance à laquelle se propage le mouve ment vibratoire pendant la durée de la période, distance qui n'esta autre que la longueur d'onde du mouvement. Le même raisonnement peut être appliqué à tous les couples de points tels que H et I, H et J... dont les vitesses, sans être maxima, sont égales et de signes contraires, ou égales et de même signe. Dans le premier cas, la distance des deux points est égale à une demi-longueun d'onde, dans le second à une longueur d'onde entière.

La généralisation de ces résultats est d'ailleurs évidente et l'on peut dire que :

Deux points, tels que H et K, qui sont distants d'unes longueur égale à un nombre impair de demi-longueurs d'onde, sont, à chaque instant, animés de vitesses égales et de signe contraire ;

2° Deux points tels que H et L, qui sont distants d'une longueur! égale à un nombre entier de longueurs d'onde ou à un nombre' pair de demi-longueurs d'onde, ont à chaque instant des vitesses': égales et de môme sgne.

Il est d'ailleurs évident que les mêmes conclusions s'appliquentà deux points pris sur des directions différentes issues de la même: source. Ces deux points seront animés à chaque instant de vitesses égales et de même signe ou égales et de signes contraires suivanti que la différence de leurs distances à la source sonore 0 sera égale à un nombre pair (points B et H, M et L....) ou à un nombre impair (points N et H, M et I, M et K....) de demi-longueurs d'onde.

lie

INTERFÉRENCES. 315 EnBn les deux conclusions précédentes sont encore vraies lors- ..lei'on considère deux sources distinctes mais identiques entre ''lies dans tous leurs éléments, c'est-à-dire dont les vitesses sont , chaque instant égales et de même signe. Deux pmnts pris res- 'ieclivement sur deux directions issues de chacune de ces sources ',ront au même moment, animés de vitesses égales et de même .i.oe ou de signes contraires suivant que la différence de leurs Ustances aux sources correspondantes sera égale a un nombre pair a à un nombre impair de demi-longueurs d'onde. Supposons maintenant qu'il arrive en un même point M de 1 es- ,ice et suivant des directions sensiblementlesmêmes,deuxmouveinents vibratoires issus de la même source ou de deux sources idenques, mais ayant suivi des chemins différents en longueur. Si la ifférence des distances du point M aux deux sources est égale a un ,ombre pair de demi-longueurs d'onde, les deux vitesses, qui arrivent au même instant en ce point M, seront toujours égales et de même signe; on démontre d'ailleurs que, si les amplitudes des -leux mouvements sont très petites, ce que nous supposons, la vitesse résultante esta chaque instant égale à la somme algébrique des vitesses composantes. L'intensité du son au point M sera des lors plus grande que si chaque mouvement composant y arrivait seul»; plus rigoureusement, l'amplitude du mouvement étant maxiraa en ce point M, l'intensité du son y atteindra une valeur plus grande qu'en avant ou en arrière de ce point.

Au contraire, si la différence des distances du point M aux deux sources est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'onde, les vitesses composantes en M seront à chaque instant de signes contraires ; si donc ces vitesses sont égales, elles se détruiront réciproquement, le point M restera au repos et aucun son ne sera

perçu en ce point.

En tout point autre que ceux dont il vient d'être question, la vitesse résultante, et par suite l'intensité du son, sera intermédiaire entre 0 et la valeur maxima considérée plus haut.

Lorsque les deux mouvements vibratoires qui arrivent simulta-

•• L'iatensité étant mesurée par la moitié de la force vive - mv^,

laquelle est proportionnelle au carré de la vitesse, lorsque la vitesse devient double, l'intensilé devient quatre fois plus grande.

némeut en un môme point M sont entièrement concordants, c'està-dire lorsque les vitesses qu'ils communiquent à ce point M sont à chaque instant égaies et de môme signe, on dit qu'ils arrivent en M dans la môme 'phase de vibration. Dans tous les autres cas, au contraire, ils présentent une différence de pbase au point M • si l'on appelle v et v' les vitesses apportées en M, à un moment donné mais quelconque, par les deux mouvements, on dit que la différence de phase est égale au temps, compté à partir de l'instant considéré, nécessaire pour que le mouvement qui est eu retard par rapport à l'autre amène au point M la vitesse v qu'y apporte actuellement celui-ci.

Les conclusions auxquelles nous sommes arrivés plus haut peuvent alors s'énoncer ainsi :

L'interférence sera complète, c'est-à-dire l'intensité du son sera nulle, en tous les points où les mouvements composants présentent

une différence de phase égale à - ; l'intensité sonore sera au contraire maxima en tout point où les mouvements composants se superposent sans différence de phase.

Ajoutons encore qu'il est facile de démontrer que le mouvement résultant de deux ou plusieurs mouvements vibratoires simples de même période qui interfèrent, c'est-à-dire se superposent en un même point, en présentant entre eux des différences de phase quelconques, est encore un mouvement périodique de période égale à celle des mouvements composants. Le son résultant a donc même hauteur que les sons composants.

171. Réalisation expérimentale de l'interférence de deux sons de même période. — Les conclusions auxquelles nous venons d'arriver pour l'interférence de deux sons peuvent être vérifiées de bien des manières par l'expérience, et en particulier au moyen de l'appareil de Kœnig représenté sur la figure 125.

Cet appareil se compose de deux tubes en U verticaux dont l'un est à tirage de telle sorte qu'on puisse à volonté faire varier sa longueur totale. A l'une de leurs extrémités, ces deux tubes sont réunis en un seul au moyen d'un tube en Y qui aboutit à un résonateur (§ 187) choisi de manière à renforcer le son d'un diapasoQ que l'on fera vibrer devant son ouverture. Les deux autres extrémités des tubes en U aboutissent chacune à une capsule manomé-

INTERFÉRENCES

trique logée dans l'épaisseur d'une plaque verticale carrée que l'on voit sur la droite de la figure. Les capsules manométriques, imaginées par Kœnig, sont formées par une cavité séparée, au moyen d'une mince membrane de caoutchouc, en deux parties que nous appellerons postérieure et antérieure. Les tubes en U aboutissent dans les espaces clos constitués par les parties postérieure de chacune des capsules, dont les parties antérieures sont munies i^hacune de trois ouvertures. Par l'une de celles-ci arrive un courant de gaz d'éclairage qui s'échappe en suivant les tubes de dégagement adaptés aux deux autres. L'un des tubes de chaque capsule aboutit directement à un bec tandis qu'un troisième bec, placé

Fig. 125, — Appareil à interférence de Kœnig.

i entre les deux précédents sur la figure 125, est en communication <avec les deux autres tubes de dégagement préalablement réunis eu

un seul. Grâce à cette disposition, les deux becs, situés à droite et à gauche sur la figure, recevront le gaz qui aura traversé seu- , lement l'une ou l'autre des deux capsules, tandis que le bec ! intermédiaire sera alimenté par un mélange en parties égales des '< masses. gazeuses qui ont traversé chacune de ces cavités.

Lorsque le diapason sera ébranlé par un archet, son mouvement vibratoire sera transmis, à travers les deux tubes en U, { l'air des deux capsules manométriques et par suite à la cloison er caoutchouc de chacune d'elles. Pendant la durée de cb^icune de; \'ibrations ainsi transmises, la membrane élastique sera d'aborc n repoussée vers la partie antérieure de la cavité, puis se déplacer; ; en sens inverse; il en résultera une diminution puis une augmea tation du volume de cette partie postérieure, et par suite des aller natives d'augmentation et de diminution de pression du gaz qui • circule. Les flammes des becs subiront donc, à chaque vibratioi du diapason, une augmentation et une diminution de hauteur qu l'on rendra visible en regardant ces flammes dans un parallélipipèd rectangle dont les quatre faces sont constituées par des miroirs e qui est animé d'un mouvement assez rapide de rotation. Par ce artifice, en eS'et, une flamme de hauteur invariable est étalée grâce à la persistance des impressions lumineuses sur la rétine en un ruban lumineux de largeur constante, tandis que les chan gements de hauteur de la flamme se traduisent alors par des dente luresdel'un des bords du ruban lumineux.

INTERFÉRENCES

.'lit, au raéQie instant, aux deux membranes de caoutchouc, se- ,int égales et de môme signe; les dentelures des deux becs qui oivent chacun le gaz de l'une des capsules seulement se corspoudroot exactement et seront d'égale hauteur ; mais celles du oisième bec, dont le gaz vient par parties égales des deux capsu- >, auront une hauteur double des précédentes puisqu'elles résulront de la somme des compressions et des dilatations que le gaz Libit dans chacune des deux cavités. C'est ce que représente la artie gauche de la figure 126.

En augmentant la longueur du tube à tirage, on peut augmen-

t!r de ^, c'est-à-dire d'une demi-longueur d'onde, l'un des chemins

arcourus par le mouvement vibratoire ; la différence des distances

œs membranes en caoutchouc à la source sera alors égale à ^ et ces

embranes recevront, à chaque instant, des vitesses égales et de ne contraire. Donc, au moment où le gaz de l'une des capsules bira une compression, le gaz de l'autre capsule subira une dilation égale, de telle sorte que le troisième bec, alimenté simulnément par les deux capsules, devra avoir une flamme de haulur constante, ce que l'expérience vérifie, ainsi que le montre la «artie droite de la figure 126. Les dentelures des flammes des deux atres becs conservent d'ailleurs la même hauteur que tantôt, ces entelures ayant seulement changé de positions relatives par aile des nouvelles conditions de l'expérience. Si l'on augmente de nouveau la longueur du tube à tirage, de llle sorte que la différence des distances des membranes des cap-

les à la source devienne égale à > ou à 2 |, ces membranes re-

vront de nouveau, à chaque instant, des vitesses égales et de ^éme signe; la hauteur des dentelures de la flamme du bec interliédiaire deviendra donc de nouveau égale à la somme des hau- Ts correspondantes des deux autres flammes. Il est d'ailleurs évident que, lorsque la différence des distances

(!s membranes à la source est comprise entre ^ et 2 -, les

tesses communiquées à chaque instant aux deux membra-

AGOUSTIODE.

nés élastiques sont plus ou moins concordantes et que les dent( lures du bec intermédiaire ont alors une hauteur comprise enti 0 et la hauteur maxima réalisée plus haut.

172. Interférence d'ondes directes et réfléchies. — Il e facile de faire percevoir à l'oreille ces interférences, c'est-à-dii ces maxima et minima d'intensité sonore, que l'on rend visibles l'œil au moyen de l'appareil que nous venons de décrire. Oa arrive, entre autres moyens, par la superposition d'ondes sonon directes et d'ondes sonores réfléchies.

Soit une source sonore O (fig. 127) et une surface réfléchissan

MN : nous avons dit (§ 16'

que les ondes réfléchies étaie:

les mêmes que celles que fou nirait une seconde soun identique à, la première placée en un point 0' syméti que de 0 par rapport à MN Eu un point tel que A, siti sur la normale OP, arrivero donc, à chaque instant, deie impulsions, l'une venant O, l'autre que nous pouvo\ regarder comme venant de C' Ces deux vitesses s'ajoutero" ou se retrancheront suiva qu'elles sont de même sens i de sens contraire, c'est-àsuivant la différence des tances du point A aux dei sources O et 0'. Si les dei sources 0 et 0' étaient situi d'un même côté de A, les deux vitesses apportées simultanéme eu ce point seraient égales et de même signe lorsque l'on aurai

elles seraient au contraire égales et de signe contraire lorsque T aurait :

Fig. 127. — Interférence d'ondes directes et d'ondes réfléchies.