CHAPITRE IX

DU MOUVEMENT ONDULATOIRE DES LIQUIDES

85. Formation des ondes liquides. — Dans le chapitre précédent nous nous sommes occupé du mouvement de translation rectiligne des liquides, et nous l'avons fait intervenir le mouvement curviligne qu'en tant qu'il était le résulat de l'action de la pesanteur sur une masse liquide mue par une impulsion iremière dirigée horizontalement, circonstance dans laquelle le mouvement lu liquide est de tout point comparable à celui des projectiles solides (cf. la fin tu § 77). Or il arrive fréquemment que le transport d'un liquide en ligne Iroile se combine avec un mouvement ondulatoire qui se propage dans le sein le la masse fluide. C'est ainsi qu'il se forme des ondes à la surface d'un lijuide qui s'écoule dans un canal , toutes les fois que l'afflux n'est pas parhitement uniforme ; de même , des vagues prennent naissance dans un cours d'eau quand le lit présente des aspérités notables, ou quand le vent vient à fouetter la surface liquide.

Ce qui rend possible l'apparition du mouvement ondulatoire dans ces conditions, c'est la mobilité dont jouissent les molécules liquides : si, en efl*et, à la force qui détermine la progression rectiligne de la masse liquide viennent s'ajouler d'autres influences qui provoquent une rupture d'équilibre entre les différentes molécules; chacune de celles-ci va obéir en même temps aux deux impulsions qui la sollicitent. De là, im mouvement résultant composé de deux autres, l'un dirigé dans le sens suivant lequel s'écoule le liquide, l'autre t'onslstant en oscillations accomplies par chaque molécule autour de sa position preraièn» , oscillations qui persistent un certain temps après que la cause perturhalrice a cessé d'agir ; puis les molécules liquides finissent par rentrer au r^ws ou par reprendre une marche parfaitement rectiligne. Pour se rendre fomplf' d'un mouvement aussi complexe , il importe d'étudier d'abord le mouvement ondulatoire des liquides considéré isolément , et d'examiner ensuite les înodilications fju'il éprouve quand il se combine avec un mouvement de translation rectiligne.

Étant donné un liquide au repos complet , on y voit apparaître des ondes loules les fois que l'équilibre est troublé en un point quelconque; de la surface !il>re de ce liquide, soit qu'on y plonge brusquement un corps solide, soit pion enlève une portion du liquide ou qu'on en ajoute une nouvelle quantité, tient-on, par exemple, à jeter une pierre dans l'eau ou à laisser toml)er une outte de liquide à la surface d'une eau tranquille , l'endroit où l'équilibre a fé ainsi rompu devient l'origine d'une onde circulaire qui se propage de xxrheen proche en s'éloignant du point de départ ; cette onde s'affaiblit à meire qu'elle s'avance et finit par s'éteindre. Dans le cas en question, la zone lilide qui environne la place où l'équilibre a été troublé commence par se souler au-<lessus de son niveau primitif et forme ainsi une onde saillante ou mont VeUenherg) ; puis, pendant que celle-ci devient onde rentrante ou val{\Vel' Uhal)^ la zone rentrante est soulevée à son tour, produit une onde saillante,

et ainsi de suite. Quand, au contraire, la rupture de l'équilibre est dueàL soustraction d'une petite quantité de liquide, par exemple quand on aspin le liquide à l'aide d'un tul>e , le mouvement ondulatoire débute par une oim1( rentrante : la zone circulaire qui entoure l'endroit où l'équilibre a été troubk commence par être déprimée au-dessous du niveau primitif; dans le tempi que l'onde rentrante ainsi produite se tranforme en onde saillante, la knm suivante se déprime à son tour , donne naissance à une onde rentrante, d ainsi de suite.

On voit qu'il y a une différence dans l'ordre de marche de l'onde , suivant qu'elle est produite par propulsion ou par appel : dans le premier cas, k mouvement débute par une onde saillante qui est suivie d'une onde rentrante: on a donc affaire à ce que nous avons appelé une ondulation positive (toj §§ 30 et 35) ; dans le second cas , c'est une onde rentrante qui marche en tèk et, par conséquent, l'ondulation est dite négative.

Nous n'avons parlé que de la formation d'une seule onde circulaire, mai le phénomène ne s'arrête pas là d'ordinaire : les molécules liquides dérangée de leur position d'équilibre ne re\iennent pas au repos , après avoir accompi une oscillation unique ; en vertu de la vitesse acquise , elles continuent à O0c3 1er encore un certain nombre de fois et à former ainsi une série d'ondes aller nativement saillantes et rentrantes, qui se propagent de la môme manière (p la première ondulation ; cependant le mouvement vibratoire s'affaiblit de pla en plus , à mesure (|ue le nombre des oscillations accomplies augmente , et i linit par s'arrêter entièrement. Ces oscillations cx)nsécutives s'observent, qw que soit le sens de l'ondulation , qu'il soit positif ou négatif.

Le mouvement vibratoire qui prend ainsi naissance s'explique par les ki «le l'équilibre des liquides. Considérons, eu effet, un corps solide tomfaiii «l'une certaine hauteur et rencontrant la surface d'un liquide: le corps,» moment où il frappe le liquide, possède une force vive par suite de laquelle! ))ousse devant lui et fait enfoncer les molécules liquides (|ui font obstacle à « duite ; ce déplacement du litiuidc directement choqué par le corps délennineuj mouvement en sens contraire des molécules voisines , et celles-ci s'élèvent soj forme d'un rempart circulaire tout autour de la partie déprimée. Or, p<W <|u'un liquide soit en équilibre, il faut que le niveau de sa surface libre soi horizontal; par conséquent , les molécules liquides qui ont été soulevées i* tombent par leur propre poids , et comme elles acquièrent , dans ceM chute, une cerlaine quantité de force vive, elles dépassent leur positîo d'é4|uilibre et descendent au-dessous du niveau général. Agissant à leur toui comme l'a fait à leur égard le corps solide en tombant , elles détenninei l'ascension des molécules suivantes, et ainsi de suite. Tel est le mécanisa suivant le(iuel se propage l'onde circulaire positive ; il en est de même < l'onde négative , sauf sous le rapport de Tordit; de succession des ascension et des dépresssions.

86. Tra|ectoire des molécules liquides dans le mouyement ondulcloirt.

I^i trajectoirtî que décrivent les différentes molécules liquides dans mouvement ondulatoire, iHîut être déterminée à Taide de considéralîo très-simples. Il est évident, d'abord, que cha({uc molécule, à tout insU

DU MOUVEMENT ONDULATOIRE DES LIQUIDES

Fig. 68. — Trajectoiro décrite par imo molécule liquide pendant la durée d^une oscillation entière.

du mouvement, se déplace dans le même sens que Tonde dont elle fait partie intégrante. S'agit-il, par exemple, d'une molécule située au point où prend naissance une onde saillante , cette molécule se déplacera en avant et en haut, puis elle se dirigera en avant et en bas, quand Tonde s'abaissera ; on voit en A (Fig. 68) une flèche dont la forme et la direction indiquent la trajectoire décrite par la molécule en question pendant la durée de Tonde saillante. La flèche Ggurée en B représente le chemin suivi par la même molécule pendant la durée de Tonde rentrante qui a succédé à Tonde saillante : dans cette phase du mouvement , la molécule revient d'abord CD arrière et en bas , puis en arrière et en haut. En réunissant ces deux trajectoires partielles, on a le .chemin parcouru par la molécule pendant la durée d'une oscillation entière ; c'est cette trajectoire complète que nous avons figurée en C, en supposant que la hauteur de Tonde saillante soit égale à la profondeur de Tonde rentrante. On voit que dans ce cas chaque molécule liquide se retrouve , à la fin de Toscillation , exactement dans la position qu'elle occupait au débu^. La propagation de Tonde est donc tout à fait indépendante de la progression du liquide ; elle ne consiste point dans un transport réel de matière ; c'est la déformation seule de la matière qui se transmet de proche en proche : [Unda non fit materia progrediens , sed forma materiœ progrediens (E. H. Weber)].

La propagation de Tonde se déduit facilement du mouvement des différentes molécules liquides. Pour plus de simplicité, nous supposerons d'abord que la trajectoire de chaque molécule soit circulaire. Considérons dès lors toutes les molécules a, 6, c,d, e,/*, g, , . , . qui prennent part , à un moment donné, à la formation de la surface de Tonde alig (Fig. 69); leur position à l'instant considéré est indiquée par le chiffre 1 . Chacune de ces molécules parcourra sur sa trajectoire des arcs de cercle égaux dans des temps égaux. Quand, par exemple, la molécule a sera arrivée

«ians la position marquée 2, les molécules h^ c, d, e^ f auront marché

d'une même quantité et occuperont aussi sur leui*s trajectoii'cs i-espcctivos 'es points qui portent le chiffre 2. En réunissant par une li<]:ne continue les points marqués 2, on obtient la courbe pointillée hBh qui représente la position de Tonde A , au moment où chaque molécule a parcouru la sixième partie de sa trajectoire. L'onde B a exactement la môme forme que Tonde A ; mais elle occupe une position un peu différente : Tonde s'est déplacée de maï^ere à ce que son sommet soit venu de A en B. Dans un troisième moment, londe continuant à marcher a son sommet en C ; cette troisième position est fi^rée par la ligne pleine cCi.

Lorsque les molécules auront passé de la position 1 à la position 4 , elles

Fig. 69. — Propagation des ondes à la surface des liquides.

auront accompli une demi-oscillation ; à ce moment-là, Tonde A sera devenue rentrante , de saillante qu'elle était à l'époque où les molécules occupaient la position i. Enfin, le môme lieu A sera de nouveau le siège du sommet d'une ondi» saillante, lorsipie les molécules seront revenues , après une oscilbtioD complète, prendre les places marquées i. Les ondes liquides ainsi produite» par une rupture d'équilibre qui imprime aux molécules un mouvement d'oscillation le long d'une courbe fermée , correspondent aux vibrations «to^wnnaires étudiées dans le § iO ; elles ne sont autre chose que la forme spéciale sous laquelle se présentent les vibrations stationnaires dans les ondes liquides. I^s trajectoires dc^rites j)ar les molécules liquides dans le mouvement ondulatoire ne sont pas toujours des circonférences , comme nous l'avons supposé dans ce (|ui préi-ède; elles ont, en général, une forme elliptique, le grand axe de l'ellipse étant parallèle à la surface libre du liquide dans l'état d'équilibre. C'est dans la couche la plus superficielle que la trajectoire elliptique se rap-, proche le plus de la forme circulaire; à mesure qu'on descend au-dessous de la surface, Taxe vertical de Tellipse devient de plus en plus petit, jusqu'à ce (jue finah'ment la trajiH'toire soit réduite à une droite horizontale, le long de laquelle s'exécute le va-et-vient de la molécule liquide. On peut constater directement l'existence de ces oscillations moléculaires, en mêlant au liquide des corps réiluits en poudre et possédant la même densité : en excitant alors des ondes , on voit les paiiicules solides décrire les oscillations dont nous avons jKirlé.

87. Influence de Tinégalité de longueur de Tonde saillante et de l'onde mtrinte sur le monyement des molécules liquides. Ondes ayec translation dincU on rétrograde des molécules. — Nous avons supposé jusqu'ici que l'onde saillante était égale en longueur à Tonde rentrante. IiOrs(|ue cette égalité n'a pas lien , le mouvement dt»s molécules liquides en est )>rofondément nKNiiliê. Nous sup|»osiM'ons d'abord «pu» Tonde s;iillante ait une longueur supérieure i . celh^ de Tonde rentrante : dans ce cas

la niohVule li<piide |)arcourt, pendant la période d'ascension et de descente de Tonde saillante, uu certain espace « -. nx-. . , j t^t u ^^ A , 'ï'M.Fig. 70, A") ; mais le chemin par-

Pic. 70. — Trujwt»»!^ ne» muliFcules liquides iui* 1«» vcr ij.ji^ji

eu do coexiAWnce du mouvcmeot i>ndauu«ire et du couru pendant la durée de I oude ren-

mourviiient do irannUtion. Oodo «voc tran*Uti..n fraUte CSt pi US petit : SOil bc Cette S^ directe de« DKdrcultf*. . . . i i a • « • fu

conde portion de la trajectoire. Ui j^ ]B voit qu'en pareille circonstance h tra-

jectoire n'est pas fermée et que la mo-

-xr

lécule ne se retrouve pas, à la fin dp Toscillation , dans la |M)siUon qu'elle ^ .. ^ ^ ... . j occupait à Torigine du mouvement:

IVe- Tl. — Onde arec irmntUtion n'tn^prwe de« ■ i •. • • •

Bkii/cuUM4. elle a mart^hé d une longueur éfak^

ttc. Si une deuxième onde \ient i at* ne la même moKVule, celle-ci décrira, connue la première fois« une courbe vmèo, qui la fera avanc«M* d'une nonxelle quantité et, après quatre onde^ lives, cette inoK»cule se tr\>u\era trans|H»rtée de a en /"^Fig. 70, B>,

nu MOUVEMENT ONTHILATOIRE DES LIQUIDES.

Supposons, au contraire, ijue Il> nioiivenient débute [lar une onde ren- Iraiile el que celle-ci soil plus looguo que l'onde Raillante qui lui succède ; en [lareil ois chaque molécule oscillante va parcoui-ir, pendant )a dui'ée de l'onde ^illaiiti;, un e3pai:e be (Fig. 71 , A) plus petit que le chemin ab correspondiul & l'onde rentrante ; il en résultera (|u'û la fin de l'oscillation la molé- (ule sera en urrière de sa position première d'une longueur égale à ac ; après iiuntre ondes successives, elle aurait reculé de a en f (Fig. 71 , B). De ce qui précède nous tirons les conclusions suivantes : Toutes les fois que dans le mouvement ondulatoire d'un fluide il y a inégililÉ de luugueur entre l'onde saillante et l'onde rentrante , il en résulte un mouvement de translation des molécules oscillantes ; lorsque l'onde saillante «ttplus longue que l'onde rentrante, le mouvement de translation est direct, c'csl-à-dire qu'il s'elFectue dans le même sens que la propagation de l'onde ; il fsl, au contraire, rétrograde ou invei'se, c'est-à-dire dirigé en sens con- Inirc de la prapaga^on de l'onde, quand Tonde rentrante l'emporte en lonpieur.

Uani le» cas que nous venons d'examiner, le mouvement ondulatoire des liifuideg est ilonc toujours ac4:ompagnè d'un transport réel de matière, et c'est lunti que la cousidéi'atiou de la trajectoire des molécules oscillantes nous conihiîl k concevoir la coexistence des ondes avec le mouvement de progression de Jlniasse liquide. Quand, dans un liquide en mouvement, on excite des ondes jnitites en faisant, par exemple, varier périodiquement la vitesse d'écoule- •ent, Hiaque molécule liquide décrit une trajectoire semblable à celle de la R(. 70, B. Plus les ondes positives se succèdent avec rapidité, plus la longMur des ondes saillantes augniente en comparaison de celle des ondes ren- ■notes i il arrive doue un moment où la fin d'une onde saillante coïncide avec Tongine d'une nouvelle onde de même espèce et où, par conséquent, lei

rentrantes font entièrement défaut; ** A iFig. 72) est représentée la courbe que dêcrix'ent, dans ce cas, les mulécules Gquides. Pour produire des ondes négatives *cooiDpagi)écs de l'écoulement du liquide, ■Itatfitde ret^oufir à l'aspiration du liquide feafrrmé dans un réservoir : chaque coup àe piston de la macliine aspirante donne \i-£ à une onde négative qui se prolage de proche en proche, pendant que les Biniteules liquides marchent en sens con- Inifi; et se dirigent vers la pompe, Au fur et à mesure que les coups de piston «celèrent, les ondes renlraules deviennent relativemenl de plus en plus W<'es, jusqu'à ce que finalement lu trajectoire des molécules liquides prenne B représentée en B (Fig. 72).

Hg. 7Ï. - Fomo du mo

Buttii pMltlTe