TÉNACITÉ

ténacité sont, en général, ceux qui possèdent le plus grand coefpdent â/étasticité, et que le recuit diminue ordinairement la résistance, comme MM. Dufour, Baudrimont, Karmarsch Tavaient déjà constaté. La chaleur exerce une influence > moins régulière ; elle semble tantôt diminuer la ténacité, tantôt l'augmenter, du moins quand on ne dépasse pas 200°. Des expériences de Tremcry ont prouvé que le fer forgé ne présente au rouge sombre, que i de sa ténacité à froid. Les nombres du tableau laissent un peu dUncertitude. D*abord les résultats dépendent des échantillons sur lesquels on opère et des actions mécaniques auxquelles ils ont pu être soumis. En outre, il arrive souvent que la barre file avant de se rompre, ou bien Ton voit un étranglement se former, d*abord peu prononcé, mais néanmoins facile à distinguer par l'aspect terne que prend la surface en ce point, et par la chaleur qui s'y développe. C'est ce qui fait qu'une barre qui a résisté à une charge inférieure à celle qui est capable de la rompre instantanément, peut ensuite céder, après avoir filé lentement, à un effort beaucoup plus faible, mais dont l'action se fait sentir pendant longtemps.- 11 résulte de là, qu'il faut éprouver les barres métalliques destinées aux constructions, au moyen de charges qui ne dépassent que de peu celles qu'elles doivent supporter d'une manière permanente ; sans cela on serait exposé à les voir se rompre à cause de l'altération de structure que l'épreuve leur aurait fait subir. Au reste, quand on éprouve les matériaux des constructions, il ne faut pas chercher l'effort qui pourrait amener la rupture, mais celui qui serait capable d'atteindre à la limite d'élasticité ; et les efforts à supporter par ces corps dans les constructions devront être inférieurs à cette limite.

447. 11 est curieux de connaître quelle longueur devrait avoir une barre suspendue verticalement, pour se rompre sous son propre poids. Il est clair que, dans ce cas, la section n'a aucune influence, puisque le poids lui est proportionnel aussi bien que la résistance à la rupture. Supposons donc la section égale à l'unité, et soit P le poids qui produirait alors la rupture, L la longueur cherchée, et d le poids spécifique de la barre ; on devra avoir P = Ld ; d'où Ton tirera la valeur de L. On trouve ainsi, en nombres ronds, les longueurs qui suivent :

Fer

Arifent

Laiton

EUin

Bismalh

Zinc

Plomb

448. R«sisUuiee des vases. — C'est la ténacité qui empoche de se rompre, quand il est soumis à une pression intérieure, un vase de forme telle que cette pression ne puisse le déformer; comme cela a lieu pour une sphère creuse, ou un cylindre terminé par deux hémisphères. On donne ordinairement cette dernière forme aux chaudières à vapeur.

Considérons donc une chaudière cylindrique terminée par deux hémisphères, partout de même épaisseur, et soumise à une pression de P kilogrammes par centimètre carré. Cherchons quel est l'effort qui tend à la déchirer suivant une arête du cylindre. Pour cela, supposons ce cylindre divisé en anneaux, par des plans perpendiculaires aux arêtes, et distants les uns des autres d'une quantité égale

à riinité. Tout se passant de la môme manière dans chaque anneau, la longueur du cylindre n'aura pas d'influence, et il suffira de chercher Teffort qui tend à briser un d'eux, amhm' (fig. 364), en un point a, par exemple. Cela posé, un élément infiniment étroit mn supporte une pression normale, égale en poids» à P X mn. Cette force peut se décomposer en deux autres, Tune parallèle an diamètre ah et qui n'exerce pas d'action pour rompre l'anneau en a ; l'autre perpendiculaire à ce diamètre, et égale à P . miî cos a , ou P x h *» ^ ïnn cos a est égal à mr ou à pq. Faisant de même pour tous les éléments dn demi-anneau am6, nous aurons, pour la somme de toutes les composantes perpendiculaires à a6, P x «^ , ou P x 2R, en désignant par R le rayon «0. Cette force peut être remplacée par deux composantes égales à P X R. appliquées l'une en a, et l'autre en b. Le demi-anneau am'h supporte de même une pression totale qui donne deux composantes en a et 6, égales aussi à P X R , et qui tendent h séparer ses dernières molécules des dernières du

Fig. 365.

demi-anneau ainh. L'effort auquel doivent résister ces molécules, sous funilé de longueur, est donc égal à PR.

Pour évaluer l'effort qui tend à séparer le cylindre suivant une section droite, remarquons que la composante parallèle aux arêtes, de la pression qui s'exerce sur un élément HÎ« de l'hémispliôre AmB (/î[/. 365), est égale à Px~fq\ de sorte que l'effort total qui tend à séparer le long du contour ab, les molécules appartenant à la portion ainb de la rliaudière, des molécules conliguês appartenant à la portion am'h, est égal à P X surf, ai; = P x tzK^. Pour avoir l'effort capable d'effectuer la séparation sur l'unité de longueur, il faudra diviser cette valeur par la longueur du contour «6, c'est-à-dire par SttR, ei l'on aura 7PR, pour le résultat cherché.

On voit que l'effort qui tend A produire la rupture suivant la section droite est deux fois plus petit que celui qui tend à séparer le cylindre suivant une arôte ; la nipture se fera donc de préférence suivant une aréle, comme fexpérience le montre. Pour une sphère, la rupture ne peut s'effectuer que suivant un grand cercle; elle exige un effort égal à 7 PR; ce qui montre qu'une sphère résiste deux fois plus qu'un cylindre de même rayon. Près des extrémités d'une chaudière cylindrique, la résistance est augmentée par celle des hémi sphères à se fendre suivant un grand cercle

Calcnl de Tépalsseor. — D*aprés cc qui précède, il est facile de calculer l'épaisseur qu'il faut donner aux parois d'une chaudière cylindrique pour qu'elle résiste à une pression intérieure donnée, quand on connaît son rayon et la ténacité de la substance avec laquelle elle est construite. Soit e l'épaisseur cherchée et t la ténacité, c'est-à-dire La charge minimum capable de rompre une barre de cette substance ayant pour section l'unité; pour que la résistance à la nipture suivant une arête fasse équilibre à l'effort intérieur, il audra que l'on ait PR = te, d'où e = PR : /. On donne toujours à la chaudière une épaisseur de beaucoup supérieure , à cause des irrégularités de stnicture et de la diminution de ténacité que produit la chaleur.

440. BÉSiSTAlîCB BSLATIVE. — Ou nomme résistance relative, la résistance qu'une barre oppose à la rupture par flexion. Soit une barre abc {pg. 306), ;îow flexible, horizontale, encastrée par l'une de ses extrémités, et soumise à une force F agissant normalement à l'autre extrémité. Il est facile de voir que cette force devina être bien moindre pour produire la rupture, que la force qui la produirait par traction. En effet, dans le cas de la traction, les files de I^S^a molécules parallèles aux arêtes de la barre résistent toutes également ; tandis que, dans la flexion, les molécules qui se trouvent en o, sont pressées les unes contre les autres et constituent par leur résistance un axe d'appui, pig. 366.

autour duquel les molécules de la surface de séparation tournent, en présentant une résistance qui dépend du bras de levier, c'est-à-dire de leur distance à l'axe 0. Galilée avait pris pour bras de levier moyen, la distance du centre de gravité de la section droite à l'axe 0 ; mais Mariette a fi\it remarquer, avec raison, que les molécules ne se séparent pas toutes au même instant , mais bien les unes après les autres ; car les plus éloignées de l'axe 0 sont plus écartées les unes des autres, à un moment donné, que celles qui sont plus rapprochées de cet axe. De plus, les molécules voisines de 0 sont comprimées, au lieu d'éprouver l'extension, jusqu'à un certain plan m/?, parallèle à bc, à partir duquel les molécules sont de phis en plus écartées.

4SO. Lois de la résistance relative. ^ — \^ La force nécessaire pour produire la rupture est en raison inverse de la lonijueur de la barre; car cette longueur est le bras de levier auquel est appliquée la force.

2o Quand la section de la barre est un rectangle dont un des côtés, pris pour largeur, est perpendiculaire à la direction de la force, cette force est proportionnelle à la largeur. Cette loi se conçoit facilement; car si l'on partage la barre par des plans équidistants perpendiculaires à la largeur, chaque tranche ainsi obtenue exigeant la même force pour se rompre, l'eflort totilliera proportionnel au nombre de tranches, c'est-à-dire à la largeur. * -'*"

3® La forée nécessaire pour rompre une barre est proportionnelle au carré

CORPS SOUDES.

de son épameur.. Cette loi suppose toujours que la section est un rectangle à Tcndroit où se fait la rupture, et que Fépaisseur est le côté parallèle à la direction de la force. Cette troisième loi a été trouvée par le calcul; rexpérienc« la confirme, ainsi que les deux autres.

Si nous désignons par R la résistance qu* oppose, à la rupture par flexion, une barre dont la section rectangulaire a pour épaisseur e et pour largeur 5, et si nous appelons t la ténacité sous Tunité de section, nous aurons, d'après le calcul mathématique.

pour une barre cylindrique dont le rayon est égal à r.

Il résulte de ces lois que l'on devra prendre pour épaisseur le plus grand côté de la section rectangulaire d'une barre, pour obtenir la plus grande résistance; et que, à aire égale, il y aura avantage à donner à la section la forme d'un rectangle allongé plutôt que celle d'un carré, en ayant soin de placer le plus grand côté parallèlement à la direction de l'effort exercé.

Fig. 367

Fig. 368.

Fig. 369.

4Sf. Charc^e capable de prodaire la roptore. Cherchons HKlin-

tenant l'effort nécessaire pour vaincre cette résistance R, et produire la niplure. Soit P cette force, il y aura plusieurs cas à examiner.

1«> Si la barre est encastrée à l'une de ses extrémités, et si L est sa longueur, on aura, au moment do la rupture, R = PL, d'où P = R ! L.

2® Si la barre est appuyée par le milieu (A, fig. 367), et si la charge est partagée également entre ses deux extrémités, on aura R = yLXtP» d'où P = 4R : L.

3<> Si la charge est appliquée au milieu de la barre appuyée par ses deu\ extrémités (fig. 208), on aura encore R = -J- L X i P ; car les choses se passent comme si, le milieu étant fixe, les extrémités supportaient la charge.

4" Si la barre est chargée au milieu et encastrée par ses deux extréinil^> i fig. 309), on aura R = ; PL, d'où P = 8R : L ; en effet, dans ce cas. la rupture se fait en trois points c, c' et D. Or, il faut un effort égal à 2R l^ pour ndncre la résistance en c et c', et un effort égal à 4R : L po"'' vaincre celle qui existe en D; (m en tout 8R : L. Ces résultats ont él^ retrouvés par l'expérience, principalement par M. Dupin, qui a aussi vérifie

i\te conséquence de la théorie, que la flexion produite par une charge répartie Cernent sur toute la longueur d'une barre appuyée à ses deux extrémités, nit être produite par une charge unique placée au milieu et égale seulement IX I de la première.

4«». Coarbe d*écale réslstanee. — Les effets d'une force sur les différentes actions d'une barre encastrée à l'une de ses extrémités, sont d'autant plus sononcés que les sections sont plus rapprochées de l'extrémité fixe. On s'est amande quelle forme doit avoir la barre pour 16 toutes ses sections résistent également à

rupture, en supposant la largeur conante. Cette forme est celle d'une parabole.

En effet, soit 0 (fig. 370) le point d'appliition de la puissance, mOm' la courbe lerchée, et e l'épaisseur de la dernière Fig. 370

action fixe C. Posons OC = L, et soit m

Il point de la courbe rapportée aux axes Oj-, Oy. Représentons par R et R' « résistances à la rupture des sections C et mm'. Pour que ces résistances aient égales, on devra avoir R : R' = L : x ; or, on a (450), R = ^the\ t R'= 1 /6 . ;Sm'^ = ï iby'K En portant ces valeurs de R et R' dans la roportion précédente^ il vient ALy^ = eV; éqi^ption qui représente une arabole.

Si la barre était fixée par le milieu et également chargée à ses deux extréùtés, le résultat serait évidemment le même pour chaque moitié. On donne îuvent au balancier des machines à vapeur, cette forme parabolique.

463. R«sistanee des tabès. — Galilée a découvert qu'une barre creuse ^sisle mieux à la rupture par flexion qu'une barre massive de même substance, >fl/ Vaire de la section droite serait la même. Cette différence de résistance se >nçoil facilement ; car le diamètre extérieur étant plus grand pour la barre *euse, le bras de levier ob (fig. 36G), auquel est appliquée une partie de la distance, est aussi plus grand. De plus, les molécules placées près de l'axe n n'éprouvant que peu de changements de distance, il y a tout avantage à les ipprimer et à les reporter prés des surfaces extérieures 6c et od.

11 faut remarquer qu'il y a un maximum dans le diamètre extérieur, au-delà uquel la résistance de la barre diminuerait; car, si les parois du tube formé evenaient trop minces, elles tendraient à fléchir et à se plisser en o, et il n'y wraitplus de point fixe. M. Girard a calculé que le maximum de résistance 'un cylindre creux a lieu quand le rayon extérieur r et le rayon intérieur r' ont entre eux comme 51 : 112, ou à peu près comme 5:11. La formule lui donne la résistance au moment de la rupture est alors

Si Ton fait r' = 0, c'est-à-dire si l'on suppose le cylindre massif, on "ï^wnrc la formule [2] (450).

CORPS SOUDES.

de son épaisseur.. Cette loi suppose toujours que la section est un rectangle i Tendroit où se fait la rupture, et que l'épaisseur est le côté parallèle à la direction de la force. Cette troisième loi a été trouvée par le calcul; Texpérience la confirme, ainsi que les deux autres.

Si nous désignons par R la résistance qu'oppose, à la rupture par flexion, une barre dont la section rectangulaire a pour épaisseur e et pour largeur b, ot si nous appelons t la ténacité sous l'unité de section, nous aurons, d'après le calcul mathématique,

pour une barre cylindrique dont le rayon est égal à r.

11 résulte de ces lois que l'on devra prendre pour épaisseur le plus grand côté de la section rectangulaire d'une barre, pour obtenir la plus grande résistance ; et que, îi aire égale, il y aura avantage à donner à la section la forme d'un rectangle allongé plutôt que celle d'un carré, en ayant soin de placer le plus grand côté parallèlement à la direction de l'effort exercé.

Fig. 367.

Fig. 368.

Fig. 369.

4SI. Charge capable de produire la rupture. — Cherchons maintenant l'effort nécessaire pour vaincre cette résistance R, et produire la niplure. Soit P cette force, il y aura plusieurs cas à examiner.

1« Si la barre est encastrée à l'une de ses extrémités, et si I. est sa longueur, on aura, au moment de la rupture, R = PL, d'où P = R : L.

2<» Si la barre est appuyée par le milieu (A, fig. 367), et si la charge est partagée également entre ses deux extrémités, on aura R = 7LXïPî d'où P = 4R : L.

3° Si la charge est appliquée au milieu de la barre appuyée par ses deux extrémités (fig. 268), on aura encore R = y L X i P ; car les choses se passent comme si, le milieu étant fixe, les extrémités supportaient la charge.

4" Si la barre est chargée au milieu et encastrée par ses deux extréniit^> t fig. 369), on aura R = ; PL, d'où P = 8R : L ; en effet, dans ce ras, la rupture se fait en trois points e, c' et D. Or, il faut un effort égal à 2R.*1' |K)ur vaincre la résistance en c et c', et im effort égal à 4R : L p'"'" vaincre celle qui existe en D; ou en tout 8R : L. Ces résultats ont i^l^ retrouvés par l'expérience, principalement par M. Dupin, qui a aussi vénhe

tte conséquence de la théorie, que la flexion produite par une charge répartie alement sur toute la longueur d'une barre appuyée à ses deux extrémités, at être produite par une charge unique placée au milieu et égale seulement X 1 de la première.

4K«. c«arbe d*é|paie résistance. — Les effets d'une force sur les différentes étions d'une barre encastrée à l'une de ses extrémités, sont d'autant plus )noncés que les sections sont plus rapprochées de l'extrémité fixe. On s'est mandé quelle forme doit avoir la barre pour e toutes ses sections résistent également à rupture, en supposant la largeur coninle. Cette forme est celle d'une parabole. En effet, soit 0 (fig. 370) le point d'applilion de la puissance, mOm' la courbe erchée, et e l'épaisseur de la dernière F»g- 370

ction fixe C. Posons OC = L, et soit m

i point de la courbe rapportée aux axes Ox, Oy. Représentons par R et R' 5 résistances à la rupture des sections C et mm' . Pour que ces résistances ient égales, on devra avoir R : R' = L : ^r ; or, on a (150), R = ^(6e'^, R'= 1 /6 . Sm'2 = i ihyK En portant ces valeurs de R et R' dans la ©portion précédente-, il vient 4Li/^ = eV; équ;ition qui représente une irabole.

Si la barre était fixée par le milieu et également chargée à ses deux extréités, le résultat serait évidemment le même pour chaque moitié. On donne uvent au balancier des machines à vapeur, cette forme parabolique. 453. Résistance des tubes. — Galilée a découvert qu'une barre creuse siste mieux à la rupture par flexion qu'une barre massive de même substance, ni Vaire de la section droite serait la même. Cette différence de résistance se nçoit facilement; car le diamètre extérieur étant plus grand pour la barre wise, le bras de levier ob (fig. 366), auquel est appliquée une partie de la distance, est aussi plus grand. De plus, les molécules placées près de l'axe t n'éprouvant que peu de changements de distance, il y a tout avantage à les pprimer et à les reporter près des surfaces extérieures 6c et od. Il faut remarquer qu'il y a un maximum dans le diamètre extérieur, au-dehï •quel la résistance de la barre diminuerait ; car, si les parois du tube formé ^venaient trop minces, elles tendraient à fléchir et à se plisser en o, et il n'y u^itplus de point fixe. M. Girard a calculé que le maximum de résistance un cylindre creux a lieu quand le rayon extérieur r et le rayon intérieur r' Mit entre eux comme 51 : 112, ou «^ peu près comme 5:11. La formule "i donne la résistance au moment de la rupture est alors

Si l'on fait r' = 0, c'est-à-dire si l'on suppose le cvlindre massif, on ^^fOttTc la formule [21 (450).

CORPS SOUDES.

de son épaisseur m. Cette loi suppose toujours que la section est un rectangle à Tendroit oii se fait la rupture, et que l'épaisseur est le c^té parallèle à la direction de la force. Cette troisième loi a été trouvée par le calcul; Texpérience la confirme, ainsi que les deux autres.

Si nous désignons par R la résistance qu'oppose, à la rupture par flexion, une barre dont la section rectangulaire a pour épaisseur e et pour largeur 6, ol si nous appelons t la ténacité sous l'unité de section, nous aurons, d'après le calcul mathématique,

pour une barre cylindrique dont le rayon est égal à r.

Il résulte de ces lois que l'on devra prendre pour épaisseur le plus grand côté de la section rectangulaire d'une barre, pour obtenir la plus grande résistance ; et que, à aire égale, il y aura avantage à donner à la section la forme d'un rectangle allongé plutôt que celle d'un carré, en ayant soin de placer le plus grand côté parallèlement à la direction de l'efTort exercé.

rig. 367

Fig. 368.

Fig. 369.

451. Charge capable de produire la rupture. — Cherchons maintenant l'effort nécessaire pour vaincre celte résistance R, et produire la mpturf. Soit P cette force, il y aura plusieurs cas à examiner.

1«> Si la barre est encastrée h l'une de ses extrémités, et si L est sa longueur, on aura, au moment de la rupture, R = PL, d'où P = R : L.

2<» Si la barre est appuyée par le milieu (A, /ig. 367), et si la charge est partagée également entre ses deux extrémités, on aura R = yLX7Pî d'où P = 4R : L.

3° Si la charge est appliquée au milieu de la barre appuyée par ses deux l'xlrémités (fig. 208), on aura encore R = y L X 1 P ; car les choses se passent comme si, le milieu étant fixe, les extrémités supportaient la charge.

4** Si la barre est chargée au milieu et encastrée par ses deux exlrémité> t /ig. 300), on aura R = ; PL, d'où P = 8R : L ; en effet, dans ee cas. la rupture se fait en trois points c, c' et D. Or, il faut un effort égal à 2R.*1' pour vaincre la résistance en c et c\ et un effort égal à 4R I L P*^ vaincre celle qui existe en D; ou en tout 8R : L. Ces résultats ont été retromés par rexpérieuce, principalement par M. Dupin, qui a aussivénne

Fig. 370

tte conséquence de la théorie, que la flexion produite par une charge répartie :alement sur toute la longueur d'une barre appuyée à ses deux extrémités, ut être produite par une charge unique placée au milieu et égale seulement IX y de la première.

4SS. c«arbe d*é|paie résistance. — Les effets d'une force sur les différentes étions d'une barre encastrée à l'une de ses extrémités, sont d'autant plus ononc^s que les sections sont plus rapprochées de l'extrémité fixe. On s'est mandé quelle forme doit avoir la barre pour le toutes ses sections résistent également à rupture, en supposant la largeur conante. Cette forme est celle d'une parabole. En effet, soit 0 {fig. 370) le point d'appliition de la puissance, tnOm' la courbe lerchée, et e l'épaisseur de la dernière îclion fixe C. Posons OC = L, et soit m

ri point de la courbe rapportée aux axes Ox, Oy. Représentons par R et R' « résistances à la rupture des sections C et mm' . Pour que ces résistances oient égales, on devra avoir R : R' = L : .r ; or, on a (-450), R = ^/6e'^, t R'= 1 (b . Sm'^ = i ihy'K En portant ces valeurs de R et R' dans la roportion précédente^ il vient \Ly'^ = cV; équ^ition qui représente une arabole.

Si la barre était fixée par le milieu et également chargée à ses deux extréûtés, le résultat serait évidemment le même pour chaque moitié. On donne ouvent au balancier des machines à vapeur, celte forme parabolique.

453. Résistance des tubes. — Galilée a découvert qu'une barre creuse ésiste mieux h la rupture par flexion qu'une barre massive de môme substance, o«( Vaire de la section droite serait la même. Cette différence de résistance se onçoit facilement; car le diamètre extérieur étant plus grand pour la barre ï'euse, le bras de levier oh (fig. 366), auquel est appliquée une partie de la ésislance, est aussi plus grand. De plus, les molécules placées prés de l'axe »« n'éprouvant que peu de changements de distance, il y a tout avantage à les upprimer et à les reporter près des surfaces extérieures hc et od.

H faut remarquer qu'il y a un maximum dans le diamètre extérieur, au-delà 'uquel la résistance de la barre diminuerait ; car, si les parois du tube formé 'evenaient trop minces, elles tendraient à fléchir et à se plisser en o, et il n'y *ïiraitplus de point fixe. M. Girard a calculé que le maximum de résistance l'un cylindre creux a lieu quand le rayon extérieur r et le rayon intérieur r' sont entre eux comme 51 : 112, ou h peu près comme 5:11. La formule qui donne la résistance au moment de la rupture est alors

^ Ion fait r' = 0, c'est-à-dire si l'on suppose le cylindre massif, on "^^îcU formule [2] (450).

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CORPS SOUDES.

de sou épaisseur*. Cette loi suppose toujours que la section est un rectangle à Tendroit où se fait la rupture, et que l'épaisseur est le côté parallèle à la direction de la force. Cette troisième loi a été trouvée par le calcul; Texpérienceb confirme, ainsi que les deux autres.

Si nous désignons par R la résistance qu'oppose, à la rupture par flexion, une barre dont la section rectangulaire a pour épaisseur e et pour largeur &, et si nous appelons t la ténacité sous Tunité de section, nous aurons, d'après le calcul mathématique.

pour une barre cylindrique dont le rayon est égal à r.

11 résulte de ces lois que l'on devra prendre pour épaisseur le plus grand côté de la section rectangulaire d'une barre, pour obtenir la plus grande résistance; et que, à aire égale, il y aura avantage à donner à la section la forme d'un rectangle allongé plutôt que celle d'un carré, en ayant soin de placer le plus grand côté parallèlement à la direction de l'effort exercé.

rig. 367

Fig. 368.

Fig. 369.

451. Chargée capable de produire la rupture.- — Cherchons ni«lintcnant l'effort nécessaire pour vaincre cette résistance R, et produire la rupture. Soit P cctlo force, il y aura plusieurs cas à examiner.

1*> Si la barre est encastrée à Tune de ses extrémités, et si L est sa longueur, on aura, au moment de la rupture, R = PL, d'où P = R : L.

2® Si la barre est appuyée par le milieu (A, fig. 367), et si la charge est partagée également entre ses deux extrémités, on aura R = |LXtP5 d'où P = 4R : L.

3® Si la charge est appliquée au milieu de la barre appuyée par ses deux oxtrémités (fig. 268), on aura encore R = 7 L X i P ; car les choses se passent comme si, le milieu étant fixe, les extrémités supportaient la charge.

4" Si la barre est chargée au milieu et encastrée par ses deux extrémités I fiy. 360), on aura R = { PL, d'où P = 8R : L ; en effet, dans ce ras, la rupture se fait en trois points c, c' et D. Or, il faut un effort égal à 2R'.L pour vaincre la résistance en c et c', et un effort égal a 4R : L pour vaincre celle qui existe en D; ou en tout 8R : L. Ces résultats ont été retrotSvés par rexpérience, principalement par M. Dupin, qui a aussi vérifié

Fig. 370

I conséquence de la théorie, que la flexion produite par une charge répartie îment sur toute la longueur d'une barre appuyée à ses deux extrémités, être produite par une charge unique placée au milieu et égale seulement I de la première.

ss. c«arbe d'é|paie résistance. — Les effets d'une force sur les difTérentes ions d'une barre encastrée à Tune de ses extrémités, sont d'autant plus onces que les sections sont plus rapprochées de l'extrémité fixe. On s'est andé quelle forme doit avoir la barre pour toutes ses sections résistent également à ipture, en supposant la largeur conte. Cette forme est celle d'une parabole. n effet, soit 0 {fig. 370) le point d'applin de la puissance, mOm' la courbe chée, et e l'épaisseur de la dernière on fixe C. Posons OC = L, et soit m

oint de la courbe rapportée aux axes Ox, Oy. Représentons par R et R' ésistances à la rupture des sections C et mm\ Pour que ces résistances U égales, on devra avoir R : R' = L : x ; or, on a (450), R = ithe\ R' = I (6 . wim'2 = ^ ihy'^. En portant ces valeurs de R et R' dans la ortion précédente^ il vient 4Ly' = eV; équ^ition qui représente une bole.

la barre était fixée par le milieu et également chargée à ses deux extrés, le résultat serait évidemment le même pour chaque moitié. On donne ent au balancier des machines à vapeur, cette forme parabolique. •3. Résistance des tubes. — Galilée a découvert qu'une barre creuse te mieux à la rupture par flexion qu'une barre massive de même substance, Vaire de la section droite serait la même. Cette différence de résistance se oit facilement; car le diamètre extérieur étant plus grand pour la barre se, le bras de levier ob {fig. 366), auquel est appliquée une partie de la itance, est aussi plus grand. De plus, les molécules placées prés de l'axe l'éprouvant que peu de changements de distance, il y a tout avantage à les irimer et à les reporter près des surfaces extérieures hc et od. faut remarquer qu'il y a un maximum dans le diamètre extérieur, au-delà lel la résistance de la barre diminuerait; car, si les parois du tube formé naient trop minces, elles tendraient à fléchir et h se plisser en o, et il n'y it plus de point fixe. M. Girard a calculé que le maximum de résistance cylindre creux a lieu quand le rayon extérieur r et le rayon intérieur r' entre eux comme 51 1112, ou à peu prés comme 5:11. La formule lonne la résistance au moment de la rupture est alors

Ton fait r' = 0, c'est-à-dire si l'on suppose le cylindre massif, on »uve la formule [i] (450).

Fig. Mi.

Applications. — La nature nous offre de nombreux exemples de la é\<\^ sition en forme de tube : les os lon^s des animaux , les plumes des oiseau\. les tiges de certaines plantes. L'industrie tire aussi parti du même principe pour augmenter la résistance sans augmenter le poids : on fait des colonofs creuses en fonte ; au moyen de tubes en fer creux, on fabrique des meubles qui joignent la solidité du fer à une grande légèreté. On a construit en Angleterre

des milts de vaisseau et des vergues creux, au moyen de longues douves assemblées et maiBtenues par des cercles en fer comme cellft des barriques. On fait des poutres en fer, m on fonte, pour former la charpente ou poor soutenir les planchers des édifices, dont b section présente un rectangle très allonge, placé verticalement, et terminé en dessus et « dessous, par deux autres rectangles, disposés transversalement au premier, A (fig.21\\ Les rails des chemins de fer présentent ok forme analogue, B. Sur la ligne du iMidi, b plupart des grands ponts sont soutenus par d'immenses poutres en fer présentant cette même forme, C, et simplement appuyées sur les piles et les nilé<«. C'est toujours le m<^me principe : la matière est accumulée le plus possible vers les parties supérieure et inférieure.

L'application la plus remarquable qu'on ait faite du principe de Galilée, consiste dans les po;//s-/«nwW.ç qu'on a construits en Angleterre, pour faire franchir des rivières à des trains remorqués par de lourdes locomotives. f/> admirables constructions consistent en tubes gigantesques à section rectangulaire, formés de plaques de tùle clouées. Ces tubes, appuyés sur des culées oo des piles en maronnorie, no fléchissent pas, malgré leur poids énorme, ce qiii no manquerait pas d'avoir lieu s'ils étaient massifs avec le même poids. Deu\ ponts semblables ont été construits par l'ingénieur Stephenson, nu chemin A' fer de Choster à Hoiyhead, dans l'île d'Anglésey. Le plus grand, jeté sur le détroit do Menai, à 30 mètres au-dessus de la haute mer, est composé de quatre parties , avec trois piles intermédiaires. Les deux parties du milieu ont Ul"* do longueur, et les doux autres 8:2™. La hauteur et la largeur «le la section droite du tube sont de 9"» et 4^,50. L'épaisseur de la tôle \'arie {\c 0'",025i à G*", 0063. Los tubes avaient été construits sur le rivage, ptwr les soulever et les poser sur les piles destinées à les soutenir, on s'est seni do presses hydrauliques construites pour cet objet, et les plus puissantes donl on ait jamais fait usage.

4,%i. RÉSISTANCE TRANSVEBSE. — M. Vicat a distingué une Iroisièuic esptce do l'ésistanco, à laquelle il a donné le nom de résistance transverse. C'est rell»' qu'oppose un corps à l'action d'une force agissant dans le plan même île la section suivant laquelle doit se faire la séparation, de manière que les surfaces qui se séparent glissent l'une sur l'autre.

RUPrrRK PAR TORSION. -427

C'est cette espèce de résistance qui est vaincue dans l'action des cisailles, dont les branches h section rectangulaire B, A (^^f. 371) glissent l'une contre l'autre ; Tune, B, soutenant la barre ac, tout prés de la section où l'on veut la sépaçer; l'autre, A, appuyant aussi tout prés de cette section, mais du c6té opposé, de manière à faire glisser les molécules les unes par rapport aux autres dans la direction du plan AB.

Pour percer les lames épaisses de tùle, on se sert d'une espèce d'emportepiécc, formé d'un cylindre d'acier n (fig. 372), que l'on appuie fortement sur la lame de tôle placée sur une table en fonte. Cette table est percée d'un trou cylindrique o, qui correspond au cylindre «, et dans lequel vient tomber le disque de fer détaché par ce cylindre. C'est encore la résistance transverse qu'il faut vaincre ici.

C'est à cause de la résistance transverse que les tilels des vis ne sont pas brisés. La résistance des corps à l'écrasement dépend en partie de cette sorte de résistance, qui est, du reste, d'autant plus grande que la résistance absolue de la substance est elle-même plus prononcée. Après la résistance à l'écrasement, c'est la résistance transverse qui est la plus grande. Par exemple, M. Vicat a trouvé que, pour les pierres calcaires de dureté moyenne, la résistance transverse est égale à [:\„^ 372. 6 fois et 7 la résistance absolue.

45S. Rupture par torsion. — La rupture par torsion a lieu généralement au milieu de la barre tordue. Elle peut se faire de deux manières, suivant que la barre est roide ou flexible. Dans ce dernier cas, la barre se rompt lentement, par parties, et après avoir éic tordue, de manière que sa surface présente souvent des hélices d'un très petit pas. La rupture des corps roides, comme le verre, l'acier trempé, la cire à cacheter, se fait brusquement, et par glissement, de manière que la résistance peut, ju^u'à un certain point, se rapporter à Li résistance Iransverse. Si la séparation avait lieu au même moment dans tous les points de la section, la surface de séparation serait a peu près plane. Mais les molécules superficielles éprouvant des déplacements angulaires plus grands que les molécules intérieures, et se distribuant suivant des hélices de plus grand diamètre, ce qui les force à s'écarter davantage les unes des autres, la séparation a lieu d'abord à l'extérieur, et la surface de rupture présente la forme d'un cône couvert de stries hélicoïdales. Dans les barres carrées, la nipture doit donc commencer par les angles; c'est, en effet, ce qui a lieu.

Les substances fibreuses, comme le bois, le fer obtenu à la filière, se fendent avant de se rompre, parallèlement aux fibres, à commencer par les plus éloignées de l'axe de torsion. Tous ces résultats ont été trouvés par M. Wertheim.

AiS CORPS SOLIDES.

S 4. — PROPRIÉTÉS QUI DÉPENDENT DU DÉPLACEMENT PERMANENT DES MOLÉCULES.

456. Ductilité. — Les moléculcs de certains corps sont susceptibles de prendre, par diverses opérations mécaniques, différentes positions d*éqailibre stable, en tournant les unes autour des autres sans se séparer. Nous mm déjà constaté cette propriété en parlant de la limite de rélasticité (441). Onhi donne le nom de ductiUié. Il y a des corps qui ne sont pas ductiles; par exenplr le verre, le soufre, la plupart des substances minérales non métalliques; el parmi les métaux, Tantimoine, le bismuth, Tarsenic.

On reconnaît la ductilité par différents procédés: Taction du morton, l'opération du latninoiry le passage à la filière, la flexion et la compmsm. C'est par la compression qu'on fait prendre aux médailles l'empreinte de eoifis en acier entre lesquels on les comprime fortement.

457. Haiiéabiiité. — Les corps qui s'étendent le plus facilement sous le marteau sans se déchirer, sont principalement des métaux, et dans Yùtèt suivant : ploniby éiain, or, zinc, argent, cuivre, platine, fer.

C'est au moyen du marteau que l'on fabrique ces feuilles d'or ou d*argeit qui sont si minces qu'un pouce cube d'or, d'après Réaumur, peut couvrir phs de 262633 pouces carrés, ou 1830 pieds carrés, ce qui suppose une épaisseur de TTT77 de ligne. Après avoir réduit l'or, au moyen du laminoir, en plaques df 1™" d'épaisseur environ, on en empile un certain nombre et on les étend soos le marteau jusqu'à l'épaisseur du papier. On les bat ensuite en les séparant par des feuilles de papier, puis par de la baudruche. L'étain se réduit aussi m feuilles minces entre des lames plus épaisses de même métal, que Ton bit à coups de marteau, et qui sont destinées, comme le papier dans le cas de l'or, à empêcher la tète du marteau de déchirer la feuille mince.

Relativement à la facilité avec laquelle ils supportent l'opération du laminoir, les métaux doivent être placés dans l'ordre suivant : or, argent, cuivre, éim, plomb, zinc, phline, fer. Cet ordre n'est pas le même que lorsqu'on se sert du marteau. La différence paraît provenir des chocs qui accompagnent l'emploi de ce dernier instrument. On donne souvent le nom de malléabilité à la propriété de s'étendre sous le laminoir ; les métaux que nous venons de citer sont donc les plus malléables.

La chaleur modifie notablement la ductilité de certains corps. Ainsi, le fer est très ductile quand il est rouge ; aussi le fait-on rougir au feu pour le foi^r, ou le faire passer au laminoir. La cire, la résine sont dans le même as. Le verre, qui n'est pas du tout ductile à la température ordinaire, le devient à un haut degié à la chaleur rouge, et c'est sur cette propriété que roulent les procédés de fabrication des ouvrages en verre. Il y a des substances moinj