CHAPITRE PREMIER

De la Trisonomëtrie rectlllsne.

4. Dans un triangle recliligne, il y a six choses à considérer, savoir, trois angles et trois côtés; mais il suffit de connaître un certain nombre de ces diverses par^ lies pour déterminer les autres. Il suit, en effet, des propositions démontrées relativement aux triangles égaux, que l'on peut toujours construire un triangle lorsqu'on connaît trois des six choses qui le constituent, et que, parmi les choses connues, il se trouve au moins un côté. Pour ne rien laisser à désirer sur la théorie des triangles, il faut pouvoir appliquer le calcul aux constructions géométriques, parce que l'exactitude de ces dernières est limitée par rimperfection des instruments, tandis qu'on est toujours maître de pousser le calcul jusqu'au degré de précision qu'on veut. Tel est l'objet qu'on se propose dans la Trigonométrie rectUigne,

Ceux qui ont entrepris les premiers de développer par une suite d'opérations numériques , ou par des formules algébriques, les relations qu'ont entre elles les différentes

TRIGONOMÉTRIE, lO® écUt. j

parties d'un triangle , ont dû se trouver arrêtés par la difficulté de faire entrer dans le calcul la grandeur des angles, qui, mesurés par des arcs de cercle, ne peuvent être facilement comparés avec les lignes droites ; mais ils ont bientôt reconnu que s'ils pouvaient, par un moyen quelconque, calculer une suite de triangles dont les angles eussent toutes les valeurs possibles , celte suite en, renfermerait nécessairement un qui serait semblable au triangle que l'on aurait à déterminer, quel qu'il fût, et qu'alors de simples proportions suffiraient pour déduire les parties du second de celles du premier. L'exemple suivant éclaircira ce que ces notions peuvent avoir d'abstrait.

2. Je suppose que, dans le triangle ABC (Jig* i") ^ on connaisse l'angle B, l'angle C et le côté BC -, on cherchera dans la suite des triangles calculés, celui qui a deux angles ê et c respectivement égaux aux angles B et C : il sera nécessairement semblable au triangle proposé ABC 5 et puisque toutes ses parties ab^ ac^ bc sont connues , on aura les proportions

bc: ab W^BC: AB, bc \ ac \\ BC : AC,

dans chacune desquelles les trois premiers termes sont donnés. On trouvera, par conséquent,

AU = j 9 Ati =: ; :

bc bc

et comme on a d'ailleurs A = « , toutes les parties du triangle ABC seront déterminées.

3. Maintenant qu'on voit le parti qu'on peut tirer d'une suite de triangles faits sur tous les angles possibles, et dont les côtés seraient calculés , il est naturel de chercher les moyens de former une pareille suite. Pour considérer d'abord le cas le plus simple, je suppose que les triangles qu'on se propose de déterminer soient rectangles; il est facile de voir qu'on pourra les construire tous dans

un quart de cercle, en abaissant de chacun des points de l'arc AB (fig- 2) des perpendiculaires MP, M'P', M^'P"^ etc. , sur le rayon AC, et tirant les rayons MC, M'C, M'^C, etc.-, les triangles MPC, M'P'C,M"P''C, etc. , formés ainsi, seront rectangles en P, P', P'^, etc. , et les angles MCP, M'CP', M'^CP'', etc., auront successivement toutes les valeurs possibles ; «nfin , les angles CMP, CM'P', CIWP", etc. , qui, avec les précédents , forment un angle droit , seront aussi tels que Fexige la nature des triangles rectangles, et il ne saurait exister de triangle rectangle qui ne soit pas équiangle avec quelqu'un de ceux que fournit la construction présente. Il est à propos de remarquer que ces derniers ont tous une même hypoténuse, égale au rayon de l'arc AB.

4. On peut encore former une suite de triangles rectangles , ayant tous un des côtés de l'angle droit égal au rayon du cercle; il suffit pour cela d'élever la tangente indéfinie AT, à l'extrémité du rayon AC , et de mener, par le centre C et par les points M , M', M", etc. , les sécantes CN, CN'j CN'^, etc. Il est évident que les triangles CAN, CAN', CAN", etc., auront successivement toutes les combinaisons d'angles qui peuvent exister dans un triangle rectangle ] et parmi ces triangles il s'en trouvera nécessairement un semblable à tel triangle rectangle qu'on voudra.

5. Dans les triangles CPiM,CP'M',CP'' M'', etc., dont l'hypoténuse ne change pas, les côtés PM, P'M', P'^M", etc. , qui croissent en même temps que les angles ACM, ACM', ACM'^ etc., et que les arcs AM, AM', AM'^, etc. , qui mesurent ces angles, ont reçu un nom à cause de cette dépendance : la ligne PM s'appelle le sinus de l'arc AM; la ligne P'M' est de même le sinus de l'arc AM', et ainsi des autres. Il suit de là que le sinus d'un arc est la perpendiculaire abaissée de l'une des extrémités de cet arc, sur le rayon guipasse par l'autre ex-

trémité. Les lignes CP, CP', CP'', etc., qui diminuent lorsque les arcs AM, AM', AM", etc., augmentent, sont respectivement égales , comme parallèles comprises entre parallèles , aux perpendiculaires MQ, M'Q', M" Q", etc. , abaissées des points M, M', M'', etc., sur le rayon CB perpendiculaire au rayon CA *, et il est évident que les lignes MQ, M'Q', M''Q'', etc., sont, par rapport aux arcs BM, BM', BM'V etc. , ce que sont PM, P'M', P''M'', etc. , par rapport aux arcs AM, AM', AM'', etc. , et que, par conséquent, MQ est le sinus deBM, M'Q' celui de BM', M" Q" celui de BM", etc.

Deux arcs qui , pris ensemble ou soustraits l'un de l'autre , donnent le quart de la circonférence, sont dits compléments Vuxi deTautre. Lesarcs BM, BM', BM", etc., sont respectivement les compléments de AM, AM', AM", etc. On a désigné les lignes MQ, M'Q', M"Q", etc. , ainsi que leurs égales CP, CP', CP", etc., sous le nom de cosinus des arcs AM, AM', AM", etc. D'après ces notions, le cosinus d'un arc est le sinus du complément de cet arc , et est égal à la partie du rayon comprise entre le centre et le pied du sinus.

Les triangles rectangles CPM, CP'M', CP"M", etc. , qui ont tous une même hypoténuse, sont donc formés par le rayon du cercle et par le sinus et le cosinus de celui de leurs angles aigus qui a son sommet au centre (*).

6. Je passe aux triangles CAN, CAN', CAN", etc. Leurs hypoténuses sont les sécantes des arcs AM, AM', AM", etc., parce qu* on nomme sécante d'un arc le rayon mené par une des extrémités de cet arc, et prolongé jusif u à la rencontre de la tangente menée par l'autre extrémité. Les portions AN, AN', AN", etc., prises sur

( * ) La partie AP du rayon AC , comprise entre le pied du sinus et l'extrémité de l'arc, se nomme sinus verse. Cette ligne, d'ailleurs, n'est f d'aucun usage dans la Trigonométrie élémentaire.

la taiigojiie Aï, sont les laiigeiiles des arcs AM, AM', AM'', etc., parce que Von est com^enu d* appeler tangente d^un arc la partie qu interceptent^ sur la tangente menée par Vune des extrémités de cet arc^ les deux rayons qui le terminent (*).

7. Si , par rextrémité B de l'arc AB [fig. 3 ), on mène la tangente B/i prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la sécante CN, la ligne Cn est la sécante de l'arc BM, complément de AM, et se nomme la cosécante de AM^ la ligne Bn, tangente de BM, est la cotangente de AM, parce qu'on appelle cotangente et cosécante d^un arc, la tangente et la sécante de son complément* La cotangente et la cosécante , comme on voit , ne font pas partie des mêmes triangles que la tangente et la sécante, ainsi que cela arrive pour le sinus et le cosinus.

8. Les tangentes et les sécantes ont, avec les sinus et les cosinus, des relations très-simples, au moyen desquelles on peut trouver les unes lorsqu'on connaît les autres. Les triangles CPM et CAN, étant semblables, donnent

CP: PM :: CA : an,

d'où Ton tire

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