Nous avons vu que l'erreur probable R est expri
mec par 1 équation
Mais on a
pour un système donne d’observations, et pour un autre
li) E — — — ou //=. — = — .
Supposons maintenant que les erreurs e, que l'on peut craindre pour chaque observation, soient égales, ou, pour mieux dire, également probables, «à savoir 7 = /•'; alors il viendra
ou bien
ou encore
et comme par définition, dans le cas d'observations également bonnes, on a, en appelant p , // les poids des deux systèmes d'observations ,
il viendra
R- ’ ÏV 2
D’crù il résulte que les nombres, c’est-à-dire les poiils des observations (en les supposant toutes d’égale précision) sont inversement proportionnels aux carrés des erreurs probables à craindre sur le résultat Jinal. En d’autres termes,
cn appelant p le poids d'un système d’observations, on aura
et enfin, (7)
K étant une constante quelconque.
21. Si l’on remplace K et E par leurs valeurs (§ III), l’équation (y) devient
^ — (0,6745/ et, en observant que l’on a
0,6745= p ya, p = 0,4769, comme on verra au § X, il vient
pour n suffisamment grand, on a sensiblement
L étant une constante.
O 11 déduit aussi des principes exposés que le poids île la moyenne de n observation? est n fois le poids d'une obseivation simple. En effet, soit P le poids de la moyenne, et p celui d’une observation simple, 011 aura
E, £ étant toujours les erreurs de la moyenne et d’une observation. Mais on a
donc
p = P ]fî = n P-
Notons encore que, pour des observations inégalement bonnes, on aura
P • P •• y, • lvj '• b: • H':’
E 3 • E ' 3 ” R 3 ' R' et, en général, quelles que soient les observations,
gï = ^- 5 > • = E r R \[J> ,
(«a) />'=£; = e' = E' \lp ' , r' = *'W.
22 . Exemple T. — On a fait pour la mesure d'un angle cinq séries d' observations, dont les erreurs probables sont respectivement
Quels seront les poids correspondants des observations P D'api ès la formule (2) ils seront
et par conséquent (en prenant K = 100) ils seront à peu près proportionnels à
Cela nous apprend qu'011 peut réduire les 5 séries d’observations, quelles qu’elles soient, à 5 autres, toutes également bonnes, mais au nombre de 7 pour la première, de 1 5 pour la deuxième, de 4 pour la troisième, de 40 pour la quatrième, de 8 pour la cinquième. Nous pourrons ainsi comparer une observation à une autre, et dire, parexemple,
que les observations de la première série valent ou pèsent to fois plus que celles de la troisième, et ainsi de suite.
23. Exemple II. — Supposons que l' inexpérience d'un observateur soit telle, qu'on ait à craindre de lui une erreur deux fois plus grande que d'un autre observateur. Quel sera le poids de ses obse/vations?
R. — Le poids sera = j-; c’est-à-dire sou observation vaudra £ de celle de l’autre observateur, et pour rendre comparables les deux résultats, il faudra que le premier fasse un nombre quadruple d’observations.
24. Exemple III. — On a déterminé la latitude X d'un lieu donné par deux séries ri' observations, l'une faite avec un sextant , l'autre avec un théodolite. On a trouvé pour la première et pour la seconde sciie respectivement les valeurs
— 49 ° 16 ' i3", avec une erreur probable R, de zh 5",
X, = 49° io", » » R, de zb 3".
On demande quelle est la valeur la plus probable de la latitude et quelle est l’erreur à craindre sur le résultat.
Appelons /?,, p t les poids des deux séries d’observations, on aura
et, en prenant K = i5% ils deviendront P i = 9> P * = ' l5 -
Ces nombres signifient que la première valeur de X est équivalente à la moyenne de 9 et, la seconde, à la moyenne de a» observations d’égale précision. Par conséquent, la somme 9 X, -f- a5X, est équivalente à celle que fourniraient 34 observations, toutes de même poids; en la divisant donc
par 34 , c’est-à-dire par le nombre des observations, on aura naturellement la valeur moyenne de ces observations. Appelons-la L, il viendra
2 o. Cherchons maintenant l’erreur probable r, correspondante à l'unité de poids.
D’après les équations (n) et (12) l’erreur probable r„ correspondante à l’unité de poids, sera
op encore et par suite
r, = R,vV>i> r, = R,^/?,,
Appelons maintenant Pie poids du résultat final L; nous aurons évidemment
P = Pi -+- p, ;
et pareillement
R désignant l’erreur probable de la moyenne L. E11 comparant les équations, nous aurons
(. 3 ) K= J**ŒEÛ,
et, eu égard à la relation (6),
on encore
|,5 > *=V / ^,=v/l^Z=V / «rrèT-
Dans le cas actuel R, = 5, R 2 = 3, et, par conséquent,
La valeur de la latitude L = 49°>6 , io ,/ , 8 serait donc exacte entre les limites ± 3", 5.
Notons que l’expression de R peut encore se mettre sons la forme
R = pV>ÎR?+^R^
En effet, on a
d'après les relations (6), ou enfin
26. En général, étant données diverses valeurs de x par le moyen de n séries d’observations,
x = », avec le poids p, et l’erreur probable r„
Pi
la valeur la plus plausible de x sera
^gj -jj- Pl °\ - t~ Pi a i -I- p*<ls -t
Pi -+- Pi -H Pi -4- . . • *+- p n
et le poids sera
{ 1 9 ) P = Pi ■+• Pi ■+■ Pi ■+■ • • • ■+• p*'
On aura encore, en suivant la même marche qu’auparavant,
