Nous avons vu que Terreur probable R est expri

méc par Téquation

Mais on a

(i) E=-T= OU /?= — = — -

pour un système donné d'observations, et pour un autre

Supposons maintenant que les erreurs e, que Ion peut craindre pour chaque observation, soient égales, ou, pour mieux dire, également probables, à savoir r= r'^ alors il viendra

ou bien

ou encore

Cl comme par définition, dans le cas d'observations également bonnes, on a, en appelant p^ p' les poids des deux systèmes d'observations ,

p \ p' :*, n \ n\ il viendra

\^) P'-P •• Ê^ 'Ê^ •• RÏ • RM-

D'où il résulte que les nombres, c'est-à-dire les poids des observations (en les supposant toutes d'égale précision) sont ifwersement proponionriels aux carrés des erreurs probables à craindre sur le résultat Jinal, En d'autres termes,

en appelant p le poids d'un système d'observations, on aura

et enfin 9

K étant une constante

quelconque.

21. Si Ton remplace R et E par leurs valeurs (§ III), 1 équation (7) devient

-^^ (0,6745/ lô^ '

et, en observant que Ton a

0,6745 =pv/^, p 1=0,4769,

comme on verra au § X, il vient

pour n suffisamment grand, on a sensiblement

L étant une constante.

On déduit aussi des principes exposés que le poids fie la moyenne de n observations est n fois le poids d'une observation simple. En effet, soit P le poids de la moyenne, et p celui d'une observation simple, on aura

E, e étant toujours les erreurs de la moyenne et d'une observation. Mais on a

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donc

Notons encore que, pour des observations inégalement bonnes, on aura

('0} P-P ••Ëî-Ë^--Rî-R^'

et, en général, quelles que soient les observations,

22. Exemple I. — O/i a yiiii pour la mesure d'un angle cinq séries d^obsen^ations^ dont les erreurs probables sont respectiv^ement

Quels seront les poids correspondants des obseivations ?

D'après la formule (2) ils seront

et par conséquent (en prenant K=:ioo) ils seront à peu près proportionnels à

Cela nous apprend qu'on peut réduire les 5 séries d'observations, quelles qu'elles soient, à 5 autres, toutes également bonnes, mais au nombre de 7 pour la première, de 1 5 pour la deuxième, de 4 pour la troisième, de 4o pour la quatrième, de 8 pour la cinquième. INous pourrons ainsi comparer une observation à une autre, et dire, par exemple,

-arque les observations de la première série valent ou pèsent 10 fois plus que celles de la troisième, et ainsi de suite.

23. Exemple II. — Supposons que V inexpérience d^un observateur soit telle, quon ait à craindre de lui une erreur deux fois plus grande que d'un autre observateur. Quel sera le poids de ses observations ?

R. — Le poids sera =7; c'est-à-dire son ^ observation vaudra 7 de celle de l'autre observateur, et pour rendre comparables les deux résultats, il faudra que le premier fasse un nombre quadruple d'observations.

24. Exemple III. — On a déterminé la latitude X d^un lieu donné par deux séries d'observations, Vune faite avec un sextant^ Vautre av^ec un théodolite. On a trouvée pour la première et pour la seconde série respectii^ement les valeurs

\ = 49" 16' iS*^, avec une erreur probable R, de di 5' X, = 49»i6'io^ V. » R, deiii3'

On demande quelle est la valeur la plus probable de la latitude et quelle est V erreur à craindre sur le résultat.

Appelons Pi^pt les poids des deux séries d'observations, on aura

et, en prenant K = i5', ils deviendront

Pi = 9f P'=^ ^5.

Ces nombres signifient que la première valeur de 1 est équivalente à la moyenne de 9 et, la seconde, à la moyenne de a5 observations d'égale précision. Par conséquent, la somme gXt -h aS^i est équivalente à celle que fourniraient 34 observations, toutes de même poids; en la divisant donc

par 34i c'est-à-dire par le nombre des observations, on aura naturellement la valeur moyenne de ces observations. Appelons-Ia L, il viendra

L = 2 — ^ = 49» i6' -h ^ jj = 49«i6'io",8.

25. Cherchons maintenant Terreur probable w correspondante à l'unité de poids.

D'après les équations (ii) et (la) Terreur probable r, correspondante à Tunité de poids, sera

ou encore et par suite

^^. yW^^Mi,

Appelons maintenant Pie poids du résultat final L ; nous aurons évidemment

et pareillement

»ir=zRv/P,

R désignant Terreur probable de la moyenne L. En comparant les équations, nous aurons

et, eu égard à la relation (6),

(.4) ^=JW±^=JZEL^J%

ou encore