Pour plus de simplicité, considérons un système

d'équations à trois inconnues seulement; le raisonnement

ne perdra nullement de sa généralité.

Soient

ax -\- bjr H- f z -h d = o^

a'x-h by -4-c'2 -t-r/' =0,

(i) { a"x^by-^c''z-^d'' = o,

a^x 4- by -4- c'^z 4- ^" = o.

les équations de condition. Soient £, e', e'^ t'",.,. les résultats de la substitution des valeurs des inconnues, que nous nous proposons de déterminer, dans les premiers membres des équations susdites. Si ces valeurs étaient vraies, les e seraient nuls; mais comme elles ne sont qu'approchées, ces e seront les erreurs commises, et elles exprimeront de combien les premiers membres diffèrent. de o. Or, afin que ces valeurs, parles raisons ci-dessus exposées, puissent être pour nous les plus plausibles, il faudra que, en vertu des principes exposés, la somme

(2) s^H- £'»-h€"»-he'^»-|- . . . z=r minimum.

En supposant, pour un instant, que les x, j, z,. . . représentent les valeurs les plus plausibles, l'équation (a) deviendra

j [ax H- ^/ -4- cz -h df -4- [a'x -h b'y -h cz'-h dy

. .r= min.

^^' \ ^[a''x-^-by+c'z-hd)

Mais, par des théories bien connues, pour que les valeurs X, y, s,. . . rendent le premier niembre un minimum, il faut que les dérivées relatives à chaque inconnue s'annulent. On aura donc successivement pour D^, D^, D,,. . .

. cz -h rf) a -t- (a'x -+- b'x -f- c'z -f- d')a'

-4- {a''x-\-b''x'^ c"z -4- d"\ a" -4- . . . rr: o,

• C2 -4- rf) ^ H- [a'x-\- b'y -+- cz 4- d') b'

' cz-^-d)c -{- [a'x -h b'x -h c'z -^ d')c'

là'x 4- labjr -h lacz 4- lad=:Oj (5) l labx-^lby -+'lbcz-hlbd=:o,

lacx 4- Ibcj 4- 2c'z -h Icd z=o^

qui çeront les équations normales que l'on cherchait. En

résolvant ces trois équations à trois inconnues, on obtiendra les valeurs cherchées de x^ jj z. On voit, en général, qu'ayant autant d'équations de la forme (4) qu'il y a de données et partant d'inconnues, ce procédé conduira toujours à un nombre d'équations égal à celui des. inconnues, d'où elles pourront toujours être éliminées.

Observons en passant que les coefficients des inconnues dans les équations (5) forment un déterminant symétrique par rapport à la diagonale, savoir :

/ 2fl% laby InCy (6) I lab, ib^, ihc,

[lac, ibc, Ic^;

et que, par suite, il suffira d'en calculer une partie. D'ailleurs, comme on a

lab = -[l[a -4- b^ — la^— ib''],

on voit qu'on pourra déterminer tous les coefficients (5) au moyen des sommes des carrés Za', et des sommes des carrés 2 (a -h 6)' des coefficients sommés deux à deux. Puis, an moyen d'une Table des carrés, on trouvera facilement les coefficients avec de simples additions ou soustractions. A cet effet, nous avons donné, à la fin de l'Ouvrage, une Table qui fournit les cairés des nombres depuis o,ooi jusqu'à 1 1 ,999, tirée d'un travail de Schweiger, et que nous avons étendue de lo à 12, laquelle, dans les limites des observations communes et en préparant convenablement les équations, suffira dans la plupart des cas.

31. Exemple I. — Détermination de la valeur en secondes d\ine dii^ision d^un nix^eau à bulle d'air.

Plaçons sur une lunette d'un cercle méridien ou d'un

théodolite un niveau, et donnons à la lunette diverses inclinaisons, qu'on lira sur le cercle. A ces inclinaisons correspondront autant de courses de la bulle d'air, et par suite autant de lectures de divisions relatives à la position de son centre.

On peut représenter chaque inclinaison (X) de la lunette, lue sur le cercle, par une inclinaison initiale x du niveau et par le liombre des divisions (n) parcourues par le centre de la bulle réduite en secondes, en supposant connue la valeur angulaire ç de chaque division.

En faisant diverses expériences, on pourra obtenir les valeurs de x et de 7. Voici par exemple un tableau :