MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS POUR DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

34. Lorsque les équations de condition ne sont plus linéaires, mais d'une forme quelconque, on peut encore appliquer la méthode exposée, pourvu que Ton connaisse

un premier système de valeurs qui satisfassent approximalivement aux équations; alors on pourra déterminer les différences entre ces valeurs et les plus plausibles, ce qui conduira également au but.

Soient, par exemple, diverses équations à trois inconnues,

F (j7, jr, z, «, ^ ,...) = o,

où Xy j^ z sont les inconnues, et a, i, a', b\ a", &'', . . . les quantités constantes assignées par les observations. Soient Xi, Yiy z^ les valeurs de x, y^ z, qui satisfont déjà avec une certaine approximation aux équations données. Les valeurs les plus plausibles, c'est-à-dire celles qui rendront minimum la somme des carrés des erreurs, pourront être représentées ainsi

!ar = x, -4- (î.r,,

En substituant ces valeurs dans (i ), développant par la série de Taylor selon les puissances ascendantes de Jx, J/, $z^ et négligeant les puissances supérieures à la première, puisque les valeurs des d sont très-petites, il viendra

F^ -4- -^ ^a:, H- — i $r, H- —^ Sz,= o, djc dy dz

. d¥\ ^ dF\ , dF\ ,

^ dv dy dz

^ dF\ ^ dY, , df, ,

où en général F["^ indique le résultat de la substitution de ^1» Xn ^11 dans l'équation F^"^