CHAPITRE V

Loi de Coulomb et champ électrique. — Maximum et minimum du potentiel. — * Origine et extrémité d'une ligne de force. — Surfaces fermées à potentiel constant. — Equilibre électrique d'un conducteur. — Force électrique près de la surface. — Pression électrostatique. — Application à un conducteur sphérique. — Electrisation par influence. — Théorème de Poisson. — Tube de force limité à deux conducteurs. — Problème général de Téquilibre. — Capacité d'un conducteur.— Energie des conducteurs électrisés. — Condensateurs. — Batteries électriques. — Unités électrostatiques. — Les diélectriques.

46. Loi de Coulomb et champ électrique. — Coulomb a déter* miné expérimentalemeDt les lois des attractions et des répulsions de sphères électrisées d'un très petit diamètre. La formule à laquelle ces expériences ont conduit pour représenter l'attraction ou la répulsion de deux masses électriques m et ni est

on regarde comme postVtve l'électricité qu'un tube de verre acquiert par le frottement, et comme négative celle qu'acquiert par le frottement un bâton de résine. La force <p prend une valeur positive ou négative, suivant qu'elle est attractive ou répulsive, c'est-à-dire suivant qu'elle s'exerce entre deux ^masses de signes contraires ou entre deux masses de même signe.

Cette formule est absolument la même que celle qui exprime l'action mutuelle de deux masses magnétiques.

Tout ce qui a été démontré au chapitre II concei'nant les actions magnétiques s'applique aux actions électrostatiques. Il est donc inutile de reproduire ici les considérations théoriques concernant le potentiel de r action mutuelle^ P énergie potentielle dun système

de masses électriques^ le potentiel cTun champ électrique^ les lignes et tubes de force^ le théorème de Green^ son application aux tubes de force^ les équations de Laplace et de Poisson.

Mais, à côté de ces analogies entre les masses électriques et les masses magnétiques, il existe des différences essentielles.

Tandis que les masses magnétiques conservent des positions fixes dans les corps aimantés, les masses électriques peuvent se mouvoir librement à la surface et dans l'intérieur des corps dits conducteurs.

La théorie de l'électricité statique doit tenir compte de cette mobilité ; elle est, pour ce motif, absolument différente de la théorie du magnétisme.

Avant d'aborder l'étude des conducteurs électrisés, il est utile de compléter l'étude des actions électrostatiques, en démontrant quelques théorèmes qui existent aussi, mais moins utilement, pour les actions magnétiques.

47. Maximum et minimum du potentiel. — L'action d'une masse électrique m, placée au point P d'un champ électrique, devient prédominante dans Textrème voisinage de ce point, en sorte que la force électrique à la surface d'une sphère de petit rayon ayant son centre en P se réduit sensiblement à sa composante provenant de la masse m. La surface de cette petite sphère peut, par conséquent, être considérée comme une surface de niveau, à la sortie de laquelle le potentiel croit ou décroît dans tous les sens, suivant que la masse m est positive ou négative. On voit ainsi que le potentiel passe par un minimum ou par un maximum sur chacune des masses agissantes.

Réciproquement, si le potentiel devient maximum ou minimum en un point P, il y a nécessairement de l'électricité en ce point. En effet, le potentiel étant décroissant en tous sens, ou croissant en tous sens, autour de ce point, la surface de niveau passant par un point très voisin est une surface fermée ; les lignes de force correspondant aux divers points de cette surface sont toutes entrantes ou toutes sortantes, en sorte que le flux de force a une valeur différente de zéro ; il existe donc une masse électrique au point P.

48. Origine et extrémité d'une ligne de force. — Une ligne de force finie ne peut avoir pour origine ou pour extrémité qu'un point oix la surface de niveau devient une sphère de rayon nul. En d'autres termes, une ligne de force naît sur une masse électrique et meurt sur une autre.

Une masse électrique m, si elle pouvait constituer à elle seule le champ électrique, donnerait pour surfaces de niveau des sphères concentriques à rayons croissant indéfiniment ; les lignes de force, rayons de ces circonférences, seraient des demi-droites indéfinies. D'après les idées de Faraday il n'en serait jamais ainsi dans la nature ; un champ électrique contiendrait toujours plusieurs masses possédant des signes différents, et une ligne de force aurait toujours une origine et une extrémité à distances finies.

En attribuant à une ligne de force la direction de la force électrique dont elle est l'enveloppe, on détermine le sens de son parcours en le faisant correspondre à la décroissance du potentiel. Il en résulte qu'une masse positive est une origine de lignes de force^ tandis qu^une masse négative est une extrémité de lignes de force.

49. Surfaces fermées à potentiel constant. — Lorsqu'une surface fermée est à potentiel constant, il y a deux cas à distinguer, suivant qu'elle contient des masses agissantes ou qu'elle n'en contient pas.

Dans le premier cas, c'est une surface de niveau proprement dite, normale à des lignes de force qui partent des masses positives intérieures ou viennent aboutir aux masses négatives intérieures.

Dans le second cas, aucune ligne de force ne peut exister à rintérieur de la surface, car, pour en sortir, il faudrait qu'elle coupât la surface en deux points au moins donnant la même valeur du potentiel sur une même ligne de force, ce qui exigerait que le potentiel passât par un maximum ou par un minimum dans rintervalle. Le potentiel est donc constant à l'intérieur de la surface; celle-ci, renferme, pour ainsi dire, un volume de niveau. Si cette surface ne porte aucune masse électrique, aucune

TBAITÉ PRATIQUE D'ELECTaiCITi. 5

ligne de force ne peut commencer ou finir sur elle ; le potentiel reste donc constant à Textérieur dans son voisinage ; on peut tracer autour d'elle une nouvelle surface à potentiel constant, à laquelle les mêmes raisonnements s'appliquent, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton rencontre des masses agissantes.

50. Equilibre électrique d*un conducteur. — Considérons un conducteur isolé, placé dans un champ électrique quelconque Chargeons-le d'électricité et supposons qu'il soit en équilibre.

Si la force électrique en un point intérieur quelconque n'était pas nulle, il est clair qu'une masse m d'électricité placée en ce point ne resterait pas en repos. Par conséquent la force élec-trique est nulle pour tout point intérieur d*un conducteur en équi-

Jibre.

Il en résulte que le potentiel V est constant à l'intérieur du conducteur et sur la surface elle-même ; on voit ainsi que la surface d!un conducteur en équilibre est une surface de niveau.

Puisque le potentiel est constant, ses dérivées secondes sont partout nulles à l'intérieur du conducteur; on a donc, pour chaque point intérieur

ce qui dénote l'absence de toute masse électrique en ce point. Il en résulte que toute f électricité se trouve localisée sur la surface du conducteur.

La charge électrique d'un conducteur est comprise entre la surface extérieure de ce corps et une surface enveloppante très voisine. On peut assimiler cette charge à une couche continue d'épaisseur variable. Soit e l'épaisseur correspondant à l'élément de surface dS et p la densité électrique du volume tdS ; la masse •électrique comprise dans ce volume élémentaire sera pedS ; en posant

nous obtiendrons ce qu'on appelle la densité superficielle correspondante.

La charge totale du conducteur est

M =/adS,

rintégration étant supposée faite pour toute la surface ; la valeur correspondante du potentiel Y pour un point extérieur quelconque est

51. Force électrique prôs de la surface. — Il est intéressant de déterminer la valeur de la force électrique en un point extérieur infiniment voisin delà surface du conducteur. Soit (fig. 18) 6SS rélément de surface correspondant à ce point P; prenons le périmètre de cet élément pour base d'un tube de force que nous limiterons extérieurement par la surface de niveau S passant par P; prolongeons ce tube à Tintérieur du conducteur

en le limitant par une surface arbitraire ù infiniment voisine de celle du conducteur. Le flux de force correspondant à ce tube fermé se réduit à FeiŒ, F désignant la force électrique en P ; sa valeur est d'ailleurs iTcr dS^ d'après le théorème de Green; par conséquent

FdS = 4icff dS

et, comme on a sensiblement dL = dS^ cette formule se réduit à

De là ce théorème dû à Coulomb : La force électrique en un point extérieur infiniment voisin de la couche électrique superficielle dim conducteur en équilibre s'obtient en multipliant par itz la densité superficielle de la couche électrique au droit de ce point,

52. Pression électrostatique. — La force électrique F est la résultante de deux autres, provenant, la première, de Télectricité répandue sur l'élément dS et, la seconde, de Télectricité répandue sur le reste de la surface du conducteur ainsi que des autres masses contenues dans le champ ; désignons ces deux composantes par F| et Fs, nous aurons

Fj + F, = 47r<r.

68 TRAITÉ PRATIQUE D^ÉLEGTRICITÉ

Pour un point P' symétrique de P relativement à Télément dS, la force électrique totale est nulle ; or elle se compose d'une force provenant de Félément atS, laquelle est égale à Fi avec un signe contraire, et d'une force provenant du reste des masses électriques, laquelle est égale à Fs, sans changement de signe; nous avons donc

Il résulte de ces deux relations que

F, = 2ir<T ;

c'est la valeur de Taclion exercée sur Tunité de masse placée au centre de l'élément dS par toutes les masses extérieures à cet élément ; sur la masse o-c/S portée par cet élément, Faction des masses extérieures est

Cette action est toujours dirigée suivant la normale extérieure au conducteur, quel que soit le signe de a. Sa valeur par unité de surface est 2ii9' ; on lui donne le nom de pression électrostatique. En résumé, la pression électrostatique par unité de surface en un point quelconque de la surface du conducteur s'obtient en multipliant par 2tc le carré de la densité de la couche électrique correspondante.

53. Application à un conducteur sphérique. — L'équilibre électrique d'un conducteur sphérique isolé et non soumis à l'influence d'un champ électrique s'établit évidemment avec une densité superGcielle constante. Si l'on désigne par M la chaîne totale, la valeur constante du potentiel intérieur s'évalue en considérant le centre de la sphère ; on trouve ainsi

R désignant le rayon de la sphère. La densité superficielle a pour valeur

La valeur F de la force électrique en un point extérieur P,

dont la distance au centre de la sphère est r, s'obtient en appliquant le théorème de Green à une surface sphérique concentrique au conducteur et passant par P ; cette valeur est

comme si toutes les masses électriques étaient réunies au centre de la sphère. Le potentiel au même point a pour valeur

La pression électrostatique par unité de surface est

elle est, par conséquent, proportionnelle au carré de la charge. Pour une sphère d^un centimètre de rayon, ayant une charge électrique d*une unité GGS par centimètre carré de surface, la pression électrostatique par centimètre carré de surface serait égale à 2n dynes, soit environ 6,41 milligrammes.

54. Electrisation par influence. — Lorsqu'un corps est placé dans le voisinage d*un conducteur électrisé, il s*électrise luimême par influence. Le phénomène est surtout sensible lorsqu'il s'agit d*un corps conducteur. Si le corps influencé est primiti vement à l'étal neutre, les quantités d'électricité positive et d'électricité négative qui deviennent actives sont égales en valeur absolue, en sorte que la charge totale est nulle.

Lorsqu'un corps électrisé présente une cavité dans laquelle on n'introduit aucune masse électrique, le potentiel reste constant à l'intérieur de cette cavité comme à l'intérieur du conducteur.

Mais si la cavité (fig. 19) contient diverses masses électriques, m, m' ...., sa surface S' se chargera, par influence, d'une couche d'électricité libre et l'équilibre s'établira. Considérons une surface fermée

Fig. 19.

S, comprise entre la surface S du conducteur et la surface S' de la cavité ; le flux de force total relatif à S est nul, puisqu'il n'y a pas de forces électriques dans la substance conductrice ; le théorème de (ireen donne, par conséquent,

M désignant la charge totale de S\ On voit ainsi que la charge totale de la surface de la cavité est égale et de signe contraire à la somme algébrique des masses que cette cavité renferme. Aucune ligne de force ne traverse la surface S' ; le système des masses inductrices m^ m\... et de la masse induite M est sans action à Textérieur. Si le conducteur était primitivement à l'état neutre, sa charge totale devant rester nulle, il prendrait sur sa surface extérieure S une charge

égale à la somme algébrique des masses inductrices.

55. Théorème de Poisson — Poisson a énoncé le théorème suivant : Un système quelconque de masses électriques exerce à Vex-térieur d'une surface fermée enveloppante quelconque la même action qu'une charge totale égale à la somme algébrique de ces masses et répandue sur la surface suivant une certaine loi.

Supposons, en effet, que cette surface devienne celle d'une cavité pratiquée dans un conducteur ; elle prendra, par influence une charge d'électricité égale et de signe contraire à la somme algébrique des masses données, et l'action de celte charge à l'extérieur de la surface sera égale et directement opposée à celle de ces masses. Il suffit de changer le signe de la densité électrique en chaque point de la surface pour obtenir la distribution qui satisfait au théorème de Poisson. Remarquons, d'ailleurs, que la couche ainsi définie ne doit pas être en équilibre spontané.

56. Tube de force limité à deux conducteurs. — Considérant deux conducteurs en équilibre, prenons un élément superficiel dS de l'un d'eux pour base d'un tube de force qui vient aboutir à un élément superficiel rfS' de l'autre. Ce tube de force est normal

aux deux éléments dS et d S^ puisque les surfaces S et S' sont des surfaces de niveau ; fermons-le par deux surfaces arbitraires passant par les périmètres des éléments dS> et dS^ et intérieures aux conducteurs correspondants. Le flux de force total relatif à ce tube fermé sera identiquement nul ; la somme algébrique frdS + ^dS' des masses intérieures doit donc être nulle, d*aprës le théorème de Green. Par conséquent les deux éléments superficiels correspondants qxCun tvjbe de force découpe sur deux conducteurs ont des charges électriques égales et de signe contraire.

57. Problôme général de Téquilibre. — Le problème général de l'équilibre se pose dans les termes suivants :

Etant donnés un système de conducteurs ainsi que les charges électriques de chacun d^eux^ trouver quelle doit être la distribution à la surface de chacun de ces conducteurs pour que F équilibre se produise.

Comme on peut assimiler une masse électrique concentrée sur un point à une couche électrique répandue sur une sphère d'un rayon infiniment petit, Ténoncé précédent n'exclut pas des données du problème les masses isolées ; mais Fétude de la distribution n'est à faire que sur les conducteurs de dimensions finies.

En supposant que cet équilibre soit réalisé, le potentiel V pour un point quelconque de l'espace satisfera nécessairement aux conditions suivantes :

1® Sur la surface S de chaque conducteur, on doit avoir

— r ^ dS = 47r/c7dS = 4i:M,

n désignant la normale extérieure à l'élément rfS et M la charge totale du conducteur ;

2^* A l'intérieur de chaque conducteur et dans toute l'étendue du milieu interposé entre les conducteurs on doit avoir

AV = o,

condition nécessaire et suffisante, d'après l'équation de Laplace, pour qu'il n'y ait pas d'électricité libre au point considéré ;

3° A la surface de chaque conducteur et dans tout Tintérieur on doit avoir

V = constante,

condition nécessaire et suffisante pour que la surface du conducteur soit une surface de niveau et pour que la force électrique soit partout nulle à l'intérieur.

Si l'on parvenait à déterminer la fonction Y d'après ces conditions (problème analytique qui présente, en général, les plus grandes difficultés), on pourrait connaître la densité électrique cr en chaque point de la surface de chacun des conducteurs par la

formule

__ j àv Atz an'

Il est facile de démontrer que le problème est complètement déterminé, c'est-à-dire qu'il n'existe qu'un seul état d'équilibre.

Remarquons d'abord que pour deux états d'équilibre distincts, chaque conducteur prendrait deux potentiels intérieurs constants ; la superposition des charges électriques correspondant à ces deux états produirait un potentiel intérieur égal à la somme des deux potentiels dont il s'agit et, par conséquent, constant. On voit ainsi que la superposition de deux états (Téquilibre dotme un nouvel état d équilibre. On peut multiplier par un facteur constant la densité électrique en chaque point sans troubler l'équilibre, car on pourrait obtenir le résultat de cette opération en superposant plusieurs états d'équilibre.

Remarquons encore que si les charges de plusieurs conducteurs en présence sont nulles séparément y tous ces conducteurs sont à fétat neutre. Considérons, en effet, celui de ces conducteurs qui posséderait le potentiel le plus élevé ; ce potentiel décroîtra extérieurement dans tous les sens à partir de ce conducteur, en sorte que toutes les lignes de force seront émergentes ; la somme des ûux de force relative à une surface enveloppante très voisine de celle du conducteur est nulle, en vertu du théorème de Green, puisque la charge du conducteur est nulle par hypothèse ; tous les éléments de cette somme, étant de même signe, sont nuls séparément, donc la. densité électrique est nulle en chaque point de la

surface. Supprimant par la pensée ce conducteur à Tétat neutre, qui ne peut excercer aucune action sur ceux qui Tentourent, nous démontrerons de la même manière la neutralité d'un des conducteurs restants, et ainsi de suite.

Gela posé, considérons deux états d*équilibre distincts. Soient 7 et (/ les densités électriques correspondant à ces deux états pour un élément de surface dS de Tun quelconque des conducteurs. Nous pouvons obtenir un nouveji état d*équilibre en changeant le signe de toutes les densités cr' ; en superposant cet état au premier nous aurons encore un état d'équilibre, caractérteé par les densités (T — (/.Si les deux états d'équilibre cr et </ correspondaient à un même système de charges électriques des conducteurs, l'équilibre (f — 9^ correspondrait à des charges totales toutes nulles séparément ; tous les conducteurs seraient, par conséquent, à l'état neutre et Ton aurait <r = <j^; les deux états d'équilibre (r et 9^ ne pourraient donc pas être distincts, ce qu'il fallait démontrer.

Désignons par Ai, A,, ..., Ai les conducteurs en présence, par Ml, M„ ..., Mn leurs charges respectives, et par Vi, Vj, ..., Vn leurs potentiels respectifs lorsque Téquilibre est établi.

Si tous les conducteurs étaient isolés et à l'état neutre, sauf le conducteur A^ auquel on donnerait une charge égale à Tunité, réquilibre s'établirait avec les potentiels particuliers

en remplaçant l'unité de charge par Mm sur le conducteur Am, on aurait un nouvel état d'équilibre avec les potentiels

M« 9 aa.B ^a ) 9 <ï-,« Mm.

Appliquons ce raisonnement à chacun des conducteurs donnés, c est-à-dire faisons varier Tindice m depuis 1 jusqu'à n; nous obtiendrons n états d'équilibre distincts dont la superposition produira l'état d'équilibre des conducteurs Ai, Ai, ..., A^, portant respectivement les charges données Mi, Mi, ..., M^. Le potentiel Vn du conducteur quelconque A^ a donc pour valeur

Vj, = Q^. 1 M| + a„, I M, + ... + ^m. ■ Mn ; de là ce théorème : Lorsqu'un système de conducteurs est en équi-

libre^ le potentiel de chacun d'eux est une fonction linéaire des charges de ces conducteurs.

Le globe terrestre est considéré comme un conducteur dont le potentiel est toujours nul. En mettant en communication avec le sol un conducteur placé dans un champ électrique quelconque, on oblige le potentiel de ce conducteur à rester nul.

Supposons que l'on mette en présence les uns des autres plusieurs conducteurs communiquant tous avec le sol, à Fexception d'un seul auquel on donne une charge quelconque. Lorsque Téquilibre est établi, le potentiel du conducteur isolé prend une valeur déterminée V, tous les autres conducteurs ayant un potentiel nul. A Fextérieur du conducteur isolé, dont la surface est une surface de niveau renfermant toutes les masses agissantes, le potentiel total prend en chaque point une valeur comprise entre Y et zéro. Si, pour fixer les idées, la charge du conducteur isolé est positive, la valeur du potentiel à l'extérieur reste toujours positive, et, par conséquent, supérieure à la valeur nulle du potentiel intérieur de chacun des conducteurs communiquant avec le sol; il en résulte qu'une ligne de force (marchant, par définition, dans le sens de la décroissance du potentiel) peut bien finir, mais non commencer isur un de ces conducteurs; en d'autres termes chacun de ces conducteurs ne peut être chargé que d'électricité négative. Un tube de force émanant de l'élément quelconque dS de la surface du conducteur isolé vient aboutir soit au sol, soit à un des conducteurs communiquant avec lui. Par conséquent : Chacun des conducteurs communiquant avec le sol est chargé d'électricité contraire à celle du conducteur isolé, et sa charge n^est qu'une fraction de la charge de ce dernier (n® 56).

58. Capacité d'un conducteur. — Le potentiel d'un conducteur possédant une charge donnée, c'est-à-dire la valeur constante du potentiel sur la surface et à Fintérieur, dépend du champ électrique dans lequel le conducteur est placé. Réciproquement la charge qu'il faut donner à ce conducteur pour faire acquérir à son potentiel une valeur déterminée dépend du champ électrique ambiant.

Si le conducteur dont il s'agit est en présence de plusieurs autres, communiquant ou non avec le sol, la charge con-espon-

dant à un potentiel donné dépend non seulement de la forme du conducteur considéré, mais encore aussi des formes et des positions de tous les autres.

On appelle capacité du conducteur la charge nécessaire pour rendre son potentiel égal à t unité lorsque tous les conducteurs qui Fentourent sont maintenus au potentiel zéro.

Désignons cette capacité par C; la chaire nécessaire pour porter le conducteur au potentiel V aura pour valeur